title: Мост Бронкс — Уайтстоун

text: Пункты оплаты проезда за наличный расчёт при въезде на мост были демонтированы в 2017 году. Сейчас пересечение моста по автотрассе в любом случае происходит в безостановочном режиме.


title: Мост Бронкс — Уайтстоун

text: По мосту пролегает два городских маршрута автобусов: Q44 (Select-Bus-Service), обслуживаемый NYCTA, и Q50-Limited (бывший QBx1), обслуживаемый MTA Bus.


title: Мост Бронкс — Уайтстоун

text: В 1943 году, после расширения проезжей части до трёх полос в каждую сторону, на мосту был ликвидирован тротуар, а результате чего было запрещено и пересечение Ист-Ривер по этому мосту на велосипеде. Велосипедисты были вынуждены пользоваться автобусами QBx1 (тогда под управлением другого перевозчика) для поездок через мост, пользуясь велосипедными площадками в автобусах. Однако с 2005 года, после передачи маршрутов старой транспортной компании к "MTA Bus", поменялись и модели обслуживающих маршрут автобусов, и в них не была предусмотрена возможность провоза велосипедов. В результате велосипедисты стали вынуждены использовать мост Трайборо. Согласно заявлениям МТА, автобусы с велосипедными площадками должны быть возвращены на маршрут Q50-LTD в 2018 году.


title: No Tourists

text: No Tourists () — седьмой студийный альбом группы The Prodigy, выпуск которого состоялся 2 ноября 2018 года на независимом лейбле "Take Me to the Hospital".


title: No Tourists

text: 19 июля 2018 года на радиошоу "Annie Mac" (BBC Radio 1) состоялась премьера первого сингла с альбома, песни "Need Some1". Видеоклип на песню, снятый Пако Ратерта, был выложен на официальный YouTube-канал группы. Второй сингл "Light Up the Sky" и видеоклип на него появился 26 сентября 2018 года. 11 октября состоялась премьера третьей песни "Fight Fire With Fire", записанной при участии хип-хоп-дуэта Ho99o9. Последним, четвёртым синглом перед выходом альбома стал "We Live Forever", выпущенный 25 октября.


title: No Tourists

text: Песни альбома были в основном сочинены Лиамом Хоулеттом, хотя он отметил, что это работа всей группы в целом. Кроме того, в альбоме задействован ряд приглашённых музыкантов. Запись музыки происходила главным образом в домашней студии, хотя какие-то фрагменты были записаны в Москве.


title: No Tourists

text: Хоулетт пояснил название альбома и одноимённой песни следующим образом: «Это о людях, которые в основном плывут по течению из-за своей лени, — „туристах“. Они идут по проторенным дорожкам в стремлении сохранить комфорт. (…) Мы сами никогда не были туристами и старались делать свою музыку, не похожую на других».


title: Премия XBIZ лучшей актрисе — пародия

text: Премия XBIZ лучшей актрисе — пародия () — ежегодная награда, вручаемая компанией XBIZ, лучшей актрисе года в жанре кинопародии. Награда была учреждена в 2013 году. По состоянию на январь 2019 года, последней обладательницей этой награды является Джоанна Энджел.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Группа Лоренца является группой Ли симметрий пространства-времени в специальной теории относительности. Эта группа может быть реализована как набор матриц, линейных преобразований или унитарных операторов на некотором гильбертовом пространстве. Группа имеет различные . В любой релятивистски-инвариантной физической теории эти представления как-то должны быть отражены. Сама физика должна быть сделана на их основе. Более того, специальная теория относительности вместе с квантовой механикой являются двумя физическими теориями, которые тщательно проверены и объединение этих двух теорий сводится к изучению бесконечномерных унитарных представлений группы Лоренца. Это имеет как историческую важность в основном течении в теоретической физике, так и связи с более спекулятивными теориями настоящего времени.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Полная теория конечномерных представлений алгебры Ли группы Лоренца выводится с использованием общих рамок теории представлений . Конечномерные представления связной компоненты formula_1 полной группы Лоренца получаются путём использования и экспоненты матрицы. Полная теория конечномерных представлений (а также спинорной группы, двойное покрытие) formula_2 компоненты formula_1 получается, и явно задаётся в терминах действия на пространстве функций на представлениях групп formula_2 и formula_5. Представления обращения времени и инверсии пространства даны в разделе «Инверсия пространства и обращение времени», завершая конечномерную теорию для полной группы Лоренца. Кратко изложены общие свойства представлений ("m", "n"). Рассматривается действие на пространствах функций с действиями на сферических гармониках и P-символах Римана в качестве примеров. Бесконечномерный случай неприводимых унитарных представлений конкретизирован для formula_2 главной серии и . Наконец, дана формула Планшереля для formula_2 и представления группы классифицированы и реализованы для алгебр Ли.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: За разработкой теории представлений последовала разработка более общей теории представлений полупростых групп, в основном благодаря Эли Жозефу Картану и Герману Вейлю, но группа Лоренца получила особое внимание ввиду важности в физике. Существенный вклад в теорию для групп Лоренца внесли физик Юджин Вигнер и математик Валентин Баргман с их , одно из заключений которой, грубо говоря, "классификация всех унитарных представлений неоднородной группы Лоренца сводится к классификации всех возможных релятивистских уравнений". Классификацию неприводимых бесконечномерных представлений группы Лоренца установил PhD-кандидат Поля Дирака в теоретической физике , позднее ставший математиком в 1947. Соответствующая классификация для группы formula_8 была опубликована независимо Баргманом и Израилем Моисеевичем Гельфандом вместе с Марком Ароновичем Наймарком в том же году.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Неформальное введение содержит некоторые предварительные требования к читателю, не знакомому с теорией представлений. Стандартные результаты, использованные здесь из общей теории конечномерных представлений, очерчены в разделе «Введение в теорию конечномерных представлений». Базис алгебры Ли и другие соглашения представлены в разделе «Соглашения и базисы алгебры Ли».


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Цель данного раздела — проиллюстрировать роль теории представлений групп в математике и физике. Строгость и детали уходят на второй план, поскольку главная установка — зафиксировать "понятие" конечномерных и бесконечномерных представлений группы Лоренца. Читатели, знакомые с этими концепциями, могут пропустить этот раздел.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Пространство само по себе обладает симметрией. Оно выглядит одинаково, как бы вы не вращали его, и вращательная симметрия рассматривается как изотропия пространства. В данном случае обычно используются , что означает, что наблюдатель вращается сам. Математически, "активная" операция вращения осуществляется путём умножения радиус-векторов на матрицу поворота. выполняется только путём вращения базисных векторов координатной системы (координатную систему можно считать закреплённой к вращающемуся наблюдателю, физически вращается наблюдатель). Таким образом, любая точка пространства получает новые координаты, как будто бы вращалось пространство.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Группа Лоренца содержит все матрицы вращения, продолженные на четвёртое измерение, с нулями в первой строке и первом столбце, за исключением верхнего левого элемента, который равен единице.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Имеются, кроме того, матрицы, которые выполняют лоренцевские бусты (пространственно-временные вращения). Их можно рассматривать, при пассивном наблюдении, как (постоянно!) задающие скорость координатной системы (а с нею и наблюдателя) в выбранном направлении.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Наконец, используются два специальных преобразования для обращения координатной системы в пространстве — инверсия пространства, а во времени — обращение времени. В первом случае обращаются пространственные оси координат. Во втором случае обращается "направление" времени. Это можно рассматривать при пассивном наблюдении как установка наблюдателем хода часов "назад", так что часы идут против обычного хода часовой стрелки. Физическое время идёт вперёд.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Математически группа Лоренца определяется как множество преобразований, сохраняющих билинейную форму


title: Теория представлений группы Лоренца

text: в которой левая сторона является скалярным произведением Минковского двух событий в пространстве-времени, а правая сторона является пространственно-временным интервалом, см. статью для математических деталей.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: В пространстве-времени специальной теории относительности, которое называется пространством Минковского, пространство и время переплетаются. Тогда четыре координаты точек в пространстве-времени, называемые событиями, меняются неожиданным (до появления специальной теории относительности) образом с замедлением времени и сокращением длины как два немедленных следствия. Четырёхмерные матрицы преобразований Лоренца составляют группу Лоренца. Её элементы представляют симметрии и, подобно физическим объектам, могут вращаться с помощью матриц вращения, физические объекты (координаты которых теперь включают координату времени) могут быть "преобразованы" с помощью матриц, представляющих преобразования Лоренца. В частности, 4-вектор, представляющий событие в системе отсчёта Лоренца преобразуется как


title: Теория представлений группы Лоренца

text: или в краткой форме


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Основная особенность любой конечной группы — её "таблица умножения", называемая также таблицей Кэли, в которой записаны результаты умножения двух элементов. "Представление" группы можно рассматривать как новый набор элементов, конечномерных и бесконечномерных матриц, "дающих ту же таблицу произведений" после отображения старых элементов в новые взаимнооднозначно. То же самое верно в случае бесконечных групп, таких как группа вращений SO(3) группы Лоренца. Таблицу умножения труднее изобразить визуально в случае группы несчётного размера (размера множества вещественных чисел). Один из путей сделать это — вполне упорядочить элементы группы с ординальным числом являющимся . «Бесконечная таблица Кэли» тогда индексируется двумя ординалами formula_12, записанными в .


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Преобразуемые объекты могут отличаться от обычных физических объектов, распростёртых в трёх пространственных измерениях (и времени, если система отсчёта не покоится). Для этих объектов нужна теория представлений для математического описания преобразований, индуцированных обычными преобразованиями Лоренца пространства-времени. Например, электромагнитное поле часто (наивно) представляется путём назначения каждой точке пространства-времени трёхмерного вектора, представляющего электрическое поле, и другого трёхмерного вектора, представляющего магнитное поле.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Когда пространство вращается, происходят классически ожидаемые вещи. Вектора электрического и магнитного полей в обозначенной точке вращаются с сохранением длины и угла между векторами.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: При лоренцевских бустах они ведут себя по-другому, показывая, что эти два вектора не являются отдельными физическими объектами. Электрические и магнитные компоненты смешиваются. См. рисунок справа. Тензор электромагнитного поля показывает явно ковариантную математическую структуру электромагнитного поля. Она имеет шесть независимых компонент в событии.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Задачей представления группы Лоренца является, в конечномерном случае, поиск нового набора матриц, не обязательно размера , которые бы удовлетворяли той же таблице умножения, что и матрицы в оригинальной группе Лоренца. Возвращаясь к примеру электромагнитного поля, определяем, что нужны матрицы, которые можно применить к шестимерным векторам, содержащим все шесть компонент электромагнитного поля. Таким образом, ищутся матрицы , такие, что


title: Теория представлений группы Лоренца

text: корректно выражают преобразование электромагнитного поля при преобразовании Лоренца Те же рассуждения можно применить к биспинорам Дирака. Поскольку они имеют -компоненты, исходные -матрицы в группе Лоренца непригодны, даже если ограничиться вращениями. Необходимо другое -представление.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Раздел, посвящённый конечномерным представлениям, предназначен для показа "всех" таких представлений с помощью конечномерных матриц, подчиняющихся правилам в таблице умножения.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Бесконечномерные представления обычно реализуются как действующие на множестве вещественных или комплексных функций на множестве , согласующиеся с действием группы. «Множество согласуется с a действием группы» означает, по сути, что если formula_15 и formula_16, то formula_17 с formula_18. Если formula_19 означает множество всех комплексных функций от , которое является векторным пространством, представление группы может быть определено согласно Росману как


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Следует подчеркнуть, что снова


title: Теория представлений группы Лоренца

text: является представлением группы . Это представление группы конечномерно тогда и только тогда, когда является конечным множеством. Этот метод является очень общим, и обычно используются векторные пространства более специализированных функций на множествах, находящихся под рукой. Для иллюстрации этой процедуры рассмотрим группу -мерных матриц как подмножество евклидового пространства formula_22 и пространство многочленов, той же максимальной степени или даже однородных многочленов степени , определённых на formula_22. Эти многочлены (как функции) ограничены на formula_24. Множество formula_25 автоматически получается оснащённым действиями группы, а именно


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Здесь formula_27 означает "левое действие (с помощью )", formula_28 означает "правое действие (с помощью )", а formula_29 означает "сопряжение (с помощью )". При этих действиях действующие вектора являются функциями. Получающиеся представления являются (если функции не ограничены) в первом и во втором случаях соответственно и "правым регулярным представлением" группы на formula_30.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Целью теории представлений в бесконечномерном случае является классификация всех различных возможных представлений и выражения их в терминах векторных пространств функций и действий стандартных представлений на аргументы функций.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Для того, чтобы связать представления на бесконечномерных пространствах с конечномерными случаями, выбирается упорядоченный базис для векторного пространства функций и исследуются действия на базисных функциях при заданных преобразованиях. Выписывается "образ" базисных функций при преобразовании, выраженный как линейная комбинация базисных функций. Конкретно, если является базисом, вычисляем


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Коэффициенты при базисных функциях в выражении для каждого преобразования базисной функции является столбцом в матрице представления. Обычно получающаяся матрица имеет счётную бесконечную размерность.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Снова требуется, чтобы множество бесконечных матриц, полученных таким образом, находилось во взаимнооднозначном соответствии с исходными -матрицами "и" чтобы таблица умножения соответствовала таблице умножения -матриц. Следует подчеркнуть, что в бесконечномерном случае редко интересуются всей матрицей полностью. Они показаны здесь, только чтобы подчеркнуть общие черты. Но "индивидуальные" матричные элементы часто вычисляются, особенно для алгебр Ли (ниже).


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Группа Лоренца является группой Ли и, будучи таковой, имеет алгебру Ли, Алгебра Ли является векторным пространством матриц, которые могут считаться моделью группы вблизи тожественного элемента. Алгебра наделена операцией умножения, скобкой Ли. С этой операцией произведение в группе вблизи тождественного элемента может быть выражено терминах алгебр Ли (но не очень просто). Связью между (матричной) алгеброй Ли и (матричной) группой Ли служит экспонента матрицы. Эта связь взаимнооднозначна вблизи тождественного элемента группы.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Вследствие этого часто достаточно найти представления алгебры Ли. Алгебры Ли являются существенно более простыми объектами для работы, чем группы Ли. Вследствие того факта, что алгебра Ли является конечномерным векторным пространством, в случае лоренцевой алгебры Ли размерность равна и нужно найти лишь конечное число представляющих матриц алгебры Ли, по одной для каждого элемента базиса алгебры Ли как векторного пространства. Остальное следует из линейности, а представление группы получается путём возведения в степень.


title: Теория представлений группы Лоренца

text:
Один из возможных выборов базиса для алгебры Ли в стандартном представлении дан в разделе «Соглашения и базисы алгебры Ли».
Многие из представлений, как конечномерные, так и бесконечномерные, важны в теоретической физике. Представления возникают при описании полей в классической теории поля и, наиболее важно, в теории электромагнитного поля и частиц в , а также как частиц и квантовых полей в квантовой теории поля и различных объектов в теории струн. Теория представлений даёт также теоретическую основу для понятия спина. Теория представлений входит также в общую теорию относительности в том смысле, что в достаточно малых областях пространства-времени, физика является представлением специальной теории относительности.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Конечномерные неприводимые неунитарные представления вместе с неприводимыми бесконечномерными унитарными представлениями "неоднородной" группы Лоренца, группы Пуанкаре, являются представлениями, имеющими прямую физическую значимость.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Бесконечномерные унитарные представления группы Лоренца появляются при "ограничении" неприводимых бесконечномерных унитарных представлений группы Пуанкаре, действующей на гильбертовых пространствах и квантовой теории поля. Но они представляют также математический интерес и "потенциальную" прямую физическую значимость в другой роли, не просто как ограничения. Имелись спекулятивные теории (тензоры и спиноры имеют бесконечные дубликаты в "экпансорах" Дирака и "экспинорах" Хариша-Чандры), согласующиеся с релятивистской и квантовой механикой, но они не нашли доказанного физического применения. Современные спекулятивные теории потенциально имеют те же ингредиенты.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Если смотреть с точки зрения математики, целью которой является классификация и описание, то теория представлений группы Лоренца с 1947 является пройденной главой. Но в связи с программой Баргмана – Вигнера, имеются (к 2006 году) нерешённые чисто математические проблемы, связанные с бесконечномерными унитарными представлениями.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Неприводимые бесконечномерные унитарные представления могут иметь косвенную значимость для физической действительности в современных спекулятивных теориях, поскольку (обобщённая) группа Лоренца появляется как малая группа группы Пуанкаре пространственноподобных векторов в пространствах-времени более высокой размерности. Соответствующие бесконечномерные унитарные представления (обобщённой) группы Пуанкаре являются так нызываемыми "тахионными представлениями". Тахионы появляются в спектре бозонных струн и ассоциируются с нестабильностью вакуума . Даже хотя тахионы не могут быть реализованы в природе, эти представления должны быть математически "приняты" для понимания теории струн. Это потому, что состояния тахиона появляются в теориях суперструн в попытке создать реалистичные модели.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Открытой проблемой (на 2006 год) является завершение программы Баргмана – Вигнера для группы изометрий пространства-времени Ситтера . В идеале, физические компоненты функции волны могли бы быть реализованы на гиперболоиде радиуса , вложенном в formula_33, и соответствующие уравнения ковариантной волны бесконечномерного унитарного представления известны.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Для математиков свойственно считать группу Лоренца, большей частью, группой Мёбиуса, которой она изоморфна. Группу можно представить в терминах набора функций, определённых на сфере Римана. Они являются P-символами Римана, которые выражаются как гипергеометрические функции.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Хотя электромагнитное поле вместе с гравитационным полем являются единственными классическими полями, доказывающими точное описание природы, другие типы классических полей также важны. При рассмотрении квантовой теории поля (КТП), для описания которой используется вторичное квантование, исходной точкой является одно и более классических полей, где, например, волновые функции, решающие уравнение Дирака, рассматриваются как классические поля "предшествующие" (вторичному) квантованию. В то время как вторичное квантование и лагранжев формализм, ассоциированный с ним, не являются фундаментальными аспектами КТП, на самом деле ко всем теориям квантового поля можно подходить с этой стороны, включая стандартную модель. В этих случаях имеются классические версии уравнений поля, вытекающих из уравнения Эйлера — Лагранжа, и полученных из лагранжиана с помощью принципа наименьшего действия. Эти уравнения поля должны быть релятивистски инвариантными и их решения (которые будут расцениваться как релятивистские функции волны согласно определению ниже) должны преобразовываться по некоторому представлению группы Лоренца.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Действие группы Лоренца на пространство "конфигураций поля" (конфигурация поля — это история пространства-времени конкретного решения, например, электромагнитное поле во всём пространстве во всё время является "одной" конфигурацией поля) напоминает действие на гильбертовых пространствах квантовой механики, за исключением того, что коммутаторные скобки заменены на скобки Пуассона теории поля.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Для целей настоящего раздела введём следующее определение: "Релятивистская функция волны" — это множество функций formula_34 в пространстве-времени, которые преобразуются под произвольным собственным преобразованием Лоренца как


title: Теория представлений группы Лоренца

text: где — -мерное матричное представление преобразования , принадлежащее той же прямой сумме представления, которое будет введено ниже.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Наиболее полезными релятивистскими квантовыми механиками "одночастичных" теорий (строго последовательной таковой теории не существует) являются уравнение Клейна — Гордона и уравнение Дирака в их оригинальном виде. Они релятивистски инварианты и их решения преобразуются под группой Лоренца как (formula_36) и биспиноры соответственно (formula_37). Электромагнитное поле является релятивистской функцией волны согласно этому определению, преобразующейся под formula_38.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Бесконечномерные представления могут быть использованы в анализе рассеяния/


title: Теория представлений группы Лоренца

text: В квантовой теории поля возникает требование релятивистского инварианта среди других путей потребовать, чтобы S-матрица была обязательно инвариантом Пуанкаре. Отсюда следует, что имеется одно или более бесконечномерных представления группы Лоренца, действующих на пространстве Фока. Один из способов гарантии такого представления — существование лагранжева описания (с современными требованиями, см. ссылку) системы, использующее канонический формализм, из которого может быть выведена реализация генераторов группы Лоренца.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Преобразование операторов поля иллюстрирует взаимодополняющие роли конечномерных представлений группы Лоренца и бесконечномерных унитарных представлений группы Пуанкаре, что свидетельствует о глубоком единстве между математикой и физикой. Для примера рассмотрим определение -компонентного . Релятивистский оператор поля — это множество функций, значениями которых являются операторы, на пространстве-времени, которые преобразуются при подходящих преобразованиях Пуанкаре согласно выражению.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Здесь является унитарным оператором, представляющим в гильбертовом пространстве, на котором определена , является -мерным представлением группы Лоренца. Правилом преобразования служит квантовой теории поля.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Из соглашений о дифференциальных связях, которым должен следовать оператор поля для описания отдельной частицы с определённой массой и спином (или спиральностью), выводится, что


title: Теория представлений группы Лоренца

text: где formula_40 интерпретируются как соответственно. Оператор рождения formula_41 преобразуется согласно формулам


title: Теория представлений группы Лоренца

text: и аналогично для оператора аннигиляции. В данном случае следует подчеркнуть, что оператор поля преобразуется согласно конечномерному неунитарному представлению группы Лоренца, в то время как оператор создания преобразуется под бесконечномерном унитарном представлении группы Пуанкаре, описываемом массой и спином частицы. Связью между этими двумя служат "функции волны", называемые также "коэффициентными функциями"


title: Теория представлений группы Лоренца

text: которые несут "оба" индекса, как , оперирующий преобразованиями Лоренца, так и индекс , оперирующий преобразованиями Пуанкаре. Это можно назвать связью Лоренца–Пуанкаре. Чтобы продемонстрировать связь, применим к обоим частям уравнения преобразование Лоренца, что даёт, например, для


title: Теория представлений группы Лоренца

text: где является представлением неунитарной группой Лоренца , а является унитарным представлением так называемого "вращения Вигнера" , ассоциированного с и , которое выводится из представления группы Пуанкаре, а является спином частицы.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Все вышеприведённые формулы, включая определение оператора поля в терминах операторов рождения и уничтожения, как и дифференциальные уравнения, которым удовлетворяет оператор поля для частицы с указанной массой, спином и представлением, которое он должен преобразовывать, а также функция волны, могут быть выведены лишь из теоретических соглашений, как только заданы рамки квантовой механики и специальной теории относительности


title: Теория представлений группы Лоренца

text: В теориях, в которых размерность пространства-времени может быть больше formula_45, обобщённые группы Лоренца formula_46 подходящей размерности занимают место группы .


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Требование лоренцевой инвариантности принимает, видимо, наиболее драматический эффект в теории струн. С "классическими" релятивистскими струнами можно работать в лагранжевых рамках с помощью . Это работает в релятивистки инвариантной теории в пространстве-времени любой размерности. Но, оказывается, в теории открытых и закрытых бозонных струн (самой простой теории струн) невозможно квантование таким способом, каким группа Лоренца представляется в пространстве состояний (гильбертовом пространстве), если размерность пространства-времени не равна 26. Соответствующий результат для теории суперструн снова приводит к требованию лоренцевой инвариантности, но теперь с суперсимметрией. В этих теориях алгебра Пуанкаре заменяется на , которая является , расширяющей алгебру Пуанкаре. Структура такой алгебры в высокой степени определяется требованием инварианта Лоренца. В частности, фермионные операторы (класса ) принадлежат или представлению пространства (обычной) лоренцевой алгебры Ли. Единственная возможная размерность пространства-времени в таких теориях равна 10.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Теория представлений групп в общем, и групп Ли в частности, является очень богатой областью. Полная группа Лоренца не является исключением. Группа Лоренца имеет некоторые свойства, которые делают её «податливой», а другие её же свойства делают её «не очень податливой» в контексте теории представлений. Группа является , а тогда и , но не связной, и ни одна из её компонент не является односвязной. Возможно, наиболее важно, что группа Лоренца не компактна.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Для конечномерных представлений наличие полупростоты означает, что с группой Лоренца можно работать тем же образом, как и с другими полупростыми группами, используя хорошо разработанную теорию. Кроме того, все представления строятся из неприводимых, поскольку алгебра Ли обладает "свойством полной приводимости". Однако с некомпактными группами Лоренца в комбинации с отсутствием односвязности нельзя работать во всех аспектах в простых рамках, которые применимы к односвязным компактным группам. Из некомпактности следует для связной простой группы Ли, что не существует нетривиальных конечномерных представлений. Отсутствие односвязности приводит к групп. Несвязность означает, что для представлений полной группы Лоренца обращение времени и инверсию пространства следует рассматривать отдельно.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Разработка теории конечномерных представлений группы Лоренца большей частью следует стратегии общей теории. Теория Ли, разработанной Софусом Ли в 1873. В 1888 по существу выполнил Вильгельм Киллинг. В 1913 для представлений простых алгебр Ли доказал Картан и этим же путём следует данная статья. Ричард Брауэр в 1935–38 годах занимался разработкой теории , описывающих как спиновые представления лоренцевой алгебры Ли могут быть вложены в алгебры Клиффорда. Группа Лоренца получила также исторически специальное внимание в теории представления, см раздел «История бесконечномерных унитарных представлений» ниже, ввиду её исключительной важности в физике. Математики Герман Вейль и и физики Юджин Вигнер и Валентин Баргман внесли существенный вклад как в общие теории представлений так и, в частности, в теорию групп Лоренца. Физик Поль Дирак был, возможно, первым, кто явно связал всё вместе в практическом приложении с уравнением Дирака в 1928.Согласно стратегии, были найдены неприводимые комплексные линейные представления комплексификации, formula_47 алгебры Ли formula_48 группы Лоренца. Подходящий базис для formula_48 задаётся тремя генераторами вращений и тремя генераторами бусты. Они в явном виде даны в разделе «Соглашения и базисы алгебры Ли».


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Алгебра Ли является , а базис заменяется на компоненты


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Компоненты formula_51 и formula_52 по отдельности удовлетворяют алгебры Ли formula_53 и, более того, коммутируют друг с другом,


title: Теория представлений группы Лоренца

text: где являются индексами, принимающими значениями , а formula_55 является трёхмерным символом Леви-Чивиты. Пусть formula_56 и formula_57 означают комплексные линейные оболочки и соответственно.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Имеем изоморфизмы


title: Теория представлений группы Лоренца

text: где formula_58 является комплексификацией алгебры formula_59


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Полезность этих изоморфизмов проистекает из факта, что вcе неприводимые formula_53, а потому (см. стратегию) все неприводимые комплексные линейные представления formula_61 известны. Согласно конечному заключению стратегии, неприводимое комплексное линейное представление алгебры formula_58 изоморфно одному из . Они приведены в явном виде в разделе «Комплексные линейные представления formula_63»


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Алгебра Ли formula_64 является алгеброй Ли группы formula_65 Она содержит компактную подгруппу с алгеброй Ли formula_66. Последняя является вещественной компактной вещественной формой алгебры formula_64. Тогда из первого утверждения унитарного приёма представления группы взаимнооднозначно соответствуют голоморфным представлениям группы formula_65


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Согласно компактности, применима к и, следовательно, ортогональность непереводимых характеров может быть также использована. Неприводимые унитарные представления группы в точности являются тензорными произведениями неприводимых унитарных представлений группы


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Привлекая односвязность, можно использовать второе утверждение унитарного приёма. Объекты в следующем списке находятся во взаимнооднозначном соотношении:


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Тензорное произведение представлений появляется в алгебрах Ли в одной из форм


title: Теория представлений группы Лоренца

text: где является тождественным оператором. Здесь пердполагается последняя интерпретация, которая следует из уравнения . Наибольший вес представления алгебры formula_58 индексируется значениями для . (Наибольшие веса в действительности равны formula_73, но обозначения здесь адаптированы к обозначениям алгебры formula_74). Тензорные произведения двух таких комплексных линейных сомножителей тогда образуют неприводимые комплексные линейные представления алгебры formula_75


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Наконец, formula_76-линейные представления крайние слева, (алгебры) formula_48, и крайние справа, formula_61 в формуле получаются из formula_79-линейных представлений алгебры formula_64, описанной в предыдущем параграфе.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Вещественные линейные представления для алгебр formula_58 и formula_48, рассматриваемые здесь, предполагают, что комплексные линейные представления алгебры formula_58 известны. Явные реализации и представления групп даны ниже.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Комплексные линейные представления комплексификации алгебры formula_84, полученные с помощью изоморфизмов в уравнении , находятся во взаимнооднозначном соответствии с вещественными линейными представлениями алгебры formula_58. Множество всех, "по меньшей мере вещественных линейных", неприводимых представлений алгебры formula_58 тогда индексируется парой formula_87. Индексы комплексных линейных представлений, точно соответствующих комплексификации вещественных линейных formula_53 представлений, имеют вид , в то время как индексы сопряжённых линейных имеют вид . Все другие представления являются только вещественными линейными. Свойства линейности следуют из канонического вложения, крайне правого в формуле , алгебры formula_58 в её комплексификацию. Представления в виде или formula_90 задаются "вещественными" матрицами (второе не является неприводимым). Явными вещественными линейными formula_87-представлениями алгебры formula_58 являются


title: Теория представлений группы Лоренца

text: где formula_93 являются комплексными линейными неприводимыми представлениями алгебры formula_58, а formula_95 являются их комплексными сопряжёнными представлениями. (В математической литературе обычно применяются индексы , но здесь выбраны дроби для согласования с индексами для formula_96 алгебры Ли.) Здесь скалярное произведение интерпретируется в первоначальном смысле как . Эти представления конкретно реализованы ниже.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Через указанный изоморфизм в уравнении и знание комплексных линейных неприводимых представлений алгебры formula_64, разрешённой относительно и , получаются все неприводимые представления алгебры formula_47 и, путём ограничения, представления алгебры formula_48. Представления алгебры formula_48, полученные таким образом, являются вещественными линейными (а не комплексными или антилинейными), поскольку алгебры не замкнуты относительно сопряжения, но они остаются неприводимыми. Поскольку алгебра formula_48 является , все её представления можно построить как прямые суммы неприводимых представлений.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Тогда неприводимые представления конечной размерности алгебры Лоренца классифицируются упорядоченными парами половинок целых чисел и , которые традиционно записываются как


title: Теория представлений группы Лоренца

text: где является конечномерным векторным пространством. Они, с точностью до подобия, единственным образом задаются выражениями


title: Теория представлений группы Лоренца

text: где является -мерной единичной матрицей, а


title: Теория представлений группы Лоренца

text: являются -мерными неприводимыми formula_104, которые называются также спиновыми матрицами или "матрицами момента импульса". Они явно задаются формулами


title: Теория представлений группы Лоренца

text: где означает символ Кронекера. В компонентах с formula_106, formula_107 представления задаются уравнениямиНедиагональные прямые суммы


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Так как для любого неприводимого представления, для которого , необходимо оперировать над полем комплексных чисел, и имеют особую важность для физики, поскольку это позволяет использовать линейные отображения над вещественными числами.Подход в этом разделе основывается на теоремах, которые, в свою очередь, основываются на фундаментальном . Соответствие Ли является, по сути, словарём между связными группами Ли и алгебрами Ли. Связь между ними является из алгебры Ли в группу Ли, которое обозначается formula_116. Общая теория суммирована в разделе «Введение в теорию конечномерных представлений».


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Если алгебра formula_117 для некоторого векторного пространства является представлением, представление связной компоненты группы определяется уравнениями


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Это определение применяется независимо от того, результирующее представление проективно или нет.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: С практической точки зрения важно знать, может ли первая формула в быть использована для всех элементов "группы". Это выполняется для всех formula_118, однако, в общем случае, например, для formula_2, не все находятся в образе .


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Однако formula_120 "является" сюръективным. Один из путей показать это — использовать изоморфизм formula_121, в котором правая часть — группа Мёбиуса. Это фактор-группа группы formula_122 (см. ссылку на статью). Факторотображение обозначается через formula_123. Отображение formula_124 является отображением на. Применяем формулу с , который является дифференциалом на тождестве. Тогда


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Поскольку левая сторона сюрьективна (так как и таковы), правая сторона сюръективна, а следовательно formula_126 сюръективно . Наконец, используем аргумент ещё раз, но теперь с известным изоморфизмом между и formula_127, чтобы показать, что является отображением «на» для связной компоненты группы Лоренца.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Группа Лоренца "дважды связна", т. е. formula_128 является группой с двумя классами эквивалентности петель в качестве элементов.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Чтобы показать фундаментальную группу группы formula_129, рассматриваем топологию её накрывающей группы formula_2. Согласно теореме о полярном разложении любая матрица formula_131 может быть "единственным образом" выражена в виде


title: Теория представлений группы Лоренца

text: где — унитарная матрица с определителем, равным единице, следовательно, матрица лежит в и является эрмитовой с нулевым следом. Условия для следа и определителя означают:


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Очевидно, что непрерывное взаимнооднозначное отображение является гомеоморфизмом с непрерывным обратным отображением, задаваемым выражениями (место отождествляется ч formula_134)


title: Теория представлений группы Лоренца

text: что явно показывает, что formula_2 односвязна. Но formula_137 где formula_138 является центром группы formula_2. Отождествление и — это то же самое, что и отождествление унитарных множителей и , которое, в свою очередь, эквивалентно отождествлению на сфере formula_140 Топологически


title: Теория представлений группы Лоренца

text:
где последний множитель односвязен. Геометрически, очевидно (с целью визуализации formula_142 можно заменить на formula_143), что путь из в в formula_144 "является" петлёй в formula_145, поскольку и являются антиподными точками, и что он не стягивается в точку. Но путь из в и снова к , петля в formula_142 и "двойная петля" (считая formula_147, где formula_148 является накрывающим отображением) в formula_145, которая "стягиваема" в точку (непрерывно двигаясь от «вверх по лестннице» в formula_142 и стягивает путь в точку ). Тогда является группой с двумя классами эквивалентности петель в качестве элементов, или, выражаясь проще, "дважды связна".
Поскольку formula_151 имеет два элемента, некоторые представления алгебры Ли приводят к . Если известно, что представление проективно, формулу можно применять ко всем элементам группы и всем представлениям, включая проективные, принимая во внимание, что представление элемента группы будет зависеть от того, какой элемент алгебры Ли ( в ) используется для представления элемента группы в стандартном представлении.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Для группы Лоренца -представление является проективным, когда является половиной целого числа. См. раздел «Спиноры».


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Для проективного представления группы formula_129 выполняется


title: Теория представлений группы Лоренца

text: поскольку любая петля в , обходя дважды, ввиду двойной связности, стягиваема в точку, так что её класс гомотопии является классом постоянного отображения. Отсюда следует, что функция имеет два значения. Невозможно однозначно выбрать знак для получения непрерывного представления всей formula_129, но, возможно, "локально" около каждой точки.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Рассмотрим formula_5 как "вещественную" алгебру Ли с базисом


title: Теория представлений группы Лоренца

text: где formula_156-ы означают матрицы Паули. Из отношений


title: Теория представлений группы Лоренца

text: получаем


title: Теория представлений группы Лоренца

text: что в точности имеет вид -мерной версии соотношений коммутирования для алгебры formula_48 (см. «Соглашения и базисы алгебры Ли» ниже). Таким образом, отображение formula_158, formula_159, продолженное по линейности, является изоморфизмом. Поскольку группа formula_2 односвязна, она является группы formula_129.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Пусть formula_162 — путь из formula_163 в formula_164, обозначим его класс гомотопии через formula_165 и пусть formula_166 — множество таких классов гомотопии. Определим множество


title: Теория представлений группы Лоренца

text: и снабдим его мультипликативной операцией


title: Теория представлений группы Лоренца

text: где formula_167 является произведением путей formula_168 и formula_169:


title: Теория представлений группы Лоренца

text: С этим умножением группа становится группой, изоморфной formula_2, универсальной накрывающей группой группы . Поскольку каждая имеет два элемента, по построению выше, имеется накрытие 2:1 formula_172. Согласно теории алгебры Ли formula_173 и formula_174 группы изоморфны. Накрывающее отображение задаётся просто формулой formula_175.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Пусть formula_2 действует на множестве всех эрмитовых матриц formula_177 посредством операции


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Отображение является автоморфизмом группы в formula_180. Тогда formula_181 является 4-мерным представлением группы formula_182. Его ядро должно, в частности, переводить единичную матрицу в себя, formula_183, а потому formula_184. Тогда formula_185 для из ядра, так что, по лемме Шура, является единичной матрицей, умноженной на константу, и должна быть равна , поскольку formula_186. Пространство formula_177 отображается в пространство Минковского посредством


title: Теория представлений группы Лоренца

text:
Действие на formula_177 сохраняет определители. Индуцированное представление группы formula_2 на formula_190 с помощью изоморфизма, приведённого выше, заданное формулой
сохраняет лоренцево скалярное произведение, поскольку


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Это означает, что принадлежит полной группе Лоренца . Согласно теореме о связности, поскольку formula_2 связна, её образ при отображении в связен, а потому содержится в .


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Можно показать, что отображение Ли formula_193 является изоморфизмом formula_194. Отображение является отображение в.


title: Теория представлений группы Лоренца

text:
Тогда formula_2, поскольку она односвязна, является универсальной накрывающей группой группы , изоморфной группе выше.
Экспоненциальное отображение formula_196 не является отображением на. Матрица


title: Теория представлений группы Лоренца

text: находится в formula_2, но нет никакого formula_198, такого, что formula_199.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: В общем случае, если является элементом связной группы Ли с алгеброй Ли formula_200 то, по формуле ,


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Матрицу можно записать в виде


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Комплексные линейные представления formula_5 и formula_2 более просты для получения, чем представления алгебры formula_203. Их можно (обычно так и делается) создавать с нуля. Голоморфные представления групп (что означает, что соответствующее представление алгебры Ли является комплексным линейным) связаны с комплексным линейным представлением алгебры Ли возведением в степень. Вещественные линейные представления алгебры formula_5 являются в точности -представлениями. Они могут быть также возведены в степень. -Представления являются комплексными линейными и они являются (изоморфны) представлениями наибольшего веса. Они обычно индексируются только одним целым числом (но здесь используется половина целого).


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Для удобства в этом разделе используются математические соглашения. Элементы алгебры Ли отличаются на множитель и не имеют множителя в экспоненциальном отображении по сравнению с физическими соглашениями, применяемыми повсеместно. Пусть базисом formula_5 будет


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Выбор базиса и обозначения являются стандартными для математической литературы.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Неприводимые голоморфные -мерные представления formula_206 могут быть реализованы на пространстве однородных многочленов степени от 2 переменных formula_207, элементами которого являются


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Действие formula_2 задаётся формулой


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Ассоциированным formula_5-действием является, используя формулу и определение выше, для базисных элементов алгебры formula_5


title: Теория представлений группы Лоренца

text: С выбором базиса для formula_212 эти представления становятся матричными алгебрами Ли.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: -Представления реализуется на пространстве многочленов formula_213 от formula_214, однородных степени от переменных formula_215 и однородных степени от formula_216. Представления задаются формулой


title: Теория представлений группы Лоренца

text: При рассмотрении формулы опять, находим, что


title: Теория представлений группы Лоренца

text:
В частности, для базисных элементов:
\phi_{\mu,\nu}(X) &= -z_2\frac{\partial}{\partial z_1} - \overline{z_2}\frac{\partial}{\partial \overline{z_1}} \\


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Представления , определённые выше формулой (как ограничения вещественной формы formula_217) тензорного произведения неприводимых комплексных линейных представлений formula_218 и formula_219 алгебры formula_220 неприводимы, и они являются единственными неприводимыми представлениями.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Представления являются -мерными. Это наиболее просто следует из подсчёта размерностей в любой конкретной реализации, такой, как приведённой в разделе «Представления группы formula_2 и алгебры formula_58». Для алгебры Ли formula_174 общего вида применима ,


title: Теория представлений группы Лоренца

text: где является множеством положительных корней, является наибольшим весом, а равно половине суммы положительных корней. Скалярное произведение formula_228 является скалярным произведением алгебры Ли formula_200 инвариантным под действием группы Вейля на алегбре formula_230 . Корни (вещественные элементы formula_231 через это скалярное произведение отождествляются с элементами алгебры formula_232 Для formula_220 формула сокращается до formula_234, "где нужно учитывать существующие обозначения". Наибольший вест равен .


title: Теория представлений группы Лоренца

text:
Если представление группы Ли не точное, то является нетривиальной нормальной подгруппой. Существует три случая.
В случае первый случай исключается, поскольку группа полупроста. Второй случай (и первый) исключается, поскольку проста. В третьем случае изоморфна фактор-группе formula_235. Однако formula_138 является центром formula_2. Отсюда следует, что центр группы тривиален, и это исключает третий случай. Отсюда можно сделать заключение, что любое представление и любое проективное представление для конечномерных векторных пространств является точным.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: При использовании фундаментального соответствия Ли утвержения и доводы выше переносятся непосредственно на алгебры Ли с заменой (абелевых) нетривиальных недискретных нормальных подгрупп на (одномерные) нетривиальные идеалы в алгебре Ли, а центр группы заменяется центром алгебры formula_238. Центр любой полупростой алгебры Ли тривиален, а алгебра formula_48 является полупростой и простой, а потому не имеет нетривиальных идеалов.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Есть связанный факт, что если соответствующее представление группы formula_2 точное, то представление является проективным. Обратно, если представление не проективно, то соответствующее представление группы formula_2 не точное, а является представлением .


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Представление алгебры Ли не эрмитово. Таким образом, соответствующее (проективное) представление группы не является унитарным Это следствие некомпактности группы Лоренца. Фактически, связная простая некомпактная группа Ли не может иметь "каких-либо" нетривиальных унитарных конечномерных представлений. Существует топологическое доказательство этого. Пусть formula_242, где является конечномерным, является непрерывным унитарным представлением некомпактной связной простой группа Ли . Тогда formula_243, где явяется компактной подгруппой группы , состоящей из унитарных преобразований пространства . Ядро представления является нормальной подгруппой группы . Поскольку группа проста, является либо всей группой , и в этом случае тривиально, либо тривиально, и в этом случае является . В последнем случае является диффеоморфизмом на его образ, formula_244 и является группой Ли. Это означало бы, что является вложенной некомпактной подгруппой компактной группы , что невозможно с топологией пространства на formula_245, поскольку все "вложенные" подгруппы Ли группы Ли замкнуты. Если было бы замкнуто, оно было бы компактно, а тогда была бы компактна группа , что противоречит предположению.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: В случае группы Лоренца это можно видеть непосредственно из определения. Представления и , используемые при построении, являются эрмитовыми. Это означает, что матрица является эрмитовой, а является антиэрмитовой. Неунитарность не является проблемой в квантовой теории поля, поскольку от объектов наблюдения не требуется иметь лоренц-инвариантную положительно определённую норму.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Представление является, однако, унитарным, если оно ограничено подгруппой вращения , но эти представления не являются неприводимыми как представления группы SO(3). Разложение Клебша — Гордана может быть испоьзовано, чтобы показать, что представление имеет -инвариантные подпространства наибольшего веса (спина) formula_246, где каждый возможный наибольший вес (спин) возникает ровно одни раз. Взвешенное подпространство наибольшего веса (спина) является -мерным. Так, например, (, ) представление имеет подпространства со спином 1 и спином 0 размерности 3 и 1 соответственно.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Поскольку оператор момента импульса задаётся равенством formula_247, наибольший спин в квантовой механике вращательного подпредставления будет равен formula_248 и применимо «обычное» правило сложения угловых моментов и формализм 3j-символов, 6j-символов, и т.д..


title: Теория представлений группы Лоренца

text: -инвариантные пространства неприводимых представлений определяют, имеет ли представление спин. Из предыдущего параграфа видно, что представление имеет спин, если является полуцелым. Простейшими являются formula_110 и formula_109, спиноры Вейля размерности . Тогда, например, formula_251 и formula_252 являются суммой представлений размерностей formula_253 и formula_254 соответственно. Заметим, что согласно предыдущему параграфу существуют подпространства со спинами как formula_255, так и formula_256 в последних двух случаях, так что не похоже, чтобы эти представления представляли "одиночные" физические частицы, которые должны хорошо себя вести при . Невозможно исключить в общем случае, однако, чтобы представления с множественными подпредставлениями с различными спинами могли представлять физические частицы с вполне определённым спином. Может существовать подходящее релятивистское уравнение волны, которое проецируется на "нефизические компоненты", оставляя только один спин.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Построения чистых спинов formula_257 представления для любого (для ) из неприводимых представлений вовлекает вычисление тензорных произведений представления Дирака с неспинорным представлением, выделение подходящего пространства и, наконец, наложение дифференциальных ограничений


title: Теория представлений группы Лоренца

text:
Следующие теоремы применяются для проверки, не изоморфно ли неприводимого представления оригинальному представлению:
Здесь элементы группы Вейля рассматриваются как ортогональные преобразования, действующие умножением матриц на вещественном векторном пространстве корней. Если является элементом группы Вейля полупростой алгебры Ли, то formula_262. В случае алгебры formula_220 группой Вейля является formula_264. Отсюда следует, что каждое formula_265 изоморфно его двойственному formula_266 Система корней алгебры formula_267 показана на рисунке справа. Группа Вейля генерируется элементами formula_268, где formula_269 является отражением в плоскости, ортогональной к , когда пробегает все корни. Изучение показывает, что formula_270, так что formula_271. Используя факт, что если formula_272 являются представлениями алгебры Ли и formula_273, то formula_274, получаем для formula_129


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Если является представлением алгебры Ли, то formula_277 является представлением, где черта свеху означает поэлементное комплексное сопряжение в матрицах представления. Это следует из факта, что комплексное сопряжение коммутирует со сложением и умножением. В общем случае любое неприводимое представление алгебры formula_278 может быть записано единственным образом в виде formula_279, где


title: Теория представлений группы Лоренца

text: с formula_281 голоморфной (комплексной линейной) и formula_282 антиголоморфной (сопряжённой линейной). Для formula_5, поскольку представление formula_284 голоморфно, представление formula_285 антиголоморфно. Прямое исследование явных выражений для formula_286 и formula_287 в уравнении ниже показывает, что они голоморфны и антиголоморфны соответственно. Более тесное рассмотрение выражения также позволяет отождествить formula_281 и formula_282 для formula_290 с


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Используя вышеприведённые тождества (рассматриваемые как поточечное сложение функций), для получаем


title: Теория представлений группы Лоренца

text: где утверждение для представлений группы следует из = . Отсюда следует, что неприводимые представления имеют представителей в виде вещественных матриц тогда и только тогда, когда formula_293. Приводимые представления вида formula_294 также имеют вещественные матрицы.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: В общей теории представления, если является представлением алгебры Ли formula_174, то существует ассоциированное представление алгебры formula_174 на , также обозначаемое , которое задаётся формулой


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Подобным же образом представление группы даёт представление на группы , также обозначаемое , которое задаётся формулой


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Если и являются стандартными представлениями на formula_297 и если действие ограничено на алгебре formula_298 то два вышеупомянутых представления являются присоединённым представлением алгебры Ли и присоединённым представлением группы соответственно. Соответствующие представления (formula_299 или formula_300) всегда существуют для любой матричной группы Ли и являются наиболее важными для изучения теории представления в общем, и для любой заданной группы Ли в частности.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Если применить это к группе Лоренца, когда является проективным представлением, то прямые вычисления с использованием формулы показывают, что индуцированное представление на является собственным представлением, т.е. представлением без фазовых множителей.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: В квантовой механике это означает, что если или является представлением, действующим на некотором гильбертовом пространстве , то соответствующие индуцированные представления действуют на множестве линейных операторов на . Как пример, индуцированное представление представления проективного спина formula_111 на является непроективным 4-векторным (, ) представлением.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Для простоты рассмотрим только «дискретную часть» алгебры , то есть, если задан базис для , то множество постоянных матриц различных размерностей, включая возможные бесконечные размерности. Индуцированное 4-векторное представление выше на этом упрощённом имеет инвариантное 4-размерное подпространство, натянутое на четыре гамма-матрицы. (Метрические соглашения отличаются в статье, указанной в ссылке.) Соответствующим образом, полная клиффордова , formula_302 комплексификацией которой являетсяformula_303 генерируемая гамма-матрицами, разлагается на прямую сумму пространств представлений скалярных неприводимых представлений, , псевдоскалярных неприводимых представлений, также , но с обратным значением собственного значения чётности , см. следующий раздел ниже, уже упомянутых векторных неприводимых представлений formula_304, псевдовекторных неприводимых представлений formula_304 с обратным собственным значением чётности +1 (не −1) и тензорных неприводимых представлений formula_38. Размерности складываются в значение . Другими словами,


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Шестимерное пространство представления тензора formula_38-представление внутри formula_309 играет две роли. Первая


title: Теория представлений группы Лоренца

text: где formula_310 являются гамма-матрицами. На сигмы, только из которых не нулевые вследствие антисимметрии скобки, натянуто пространство представления. Более того, они имеют соотношения коммутирования лоренцевой алгбры Ли,


title: Теория представлений группы Лоренца

text: и, следовательно, составляют представление, находящееся внутри formula_309, formula_111 спинорное представление. Для деталей см. статьи «Биспинор» и .


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Вывод: любой элемент комплексификацировнной formula_309 в (то есть любая комплексная матрица ) имеет вполне определённые свойства преобразования Лоренца. Кроме того, этот элемент имеет спинорное представление лоренцевой алгебры Ли, которое при экспоненциировании становится спинорным представлением группы, действующим на formula_314, превращая его в пространство биспиноров.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Существует много других представлений, которые можно вывести из неприводимых путём взятия прямых сумм, тензорных произведений и факторгрупп неприводимых представлений. Среди других методов получения представлений — ограничение представления большей группы, содержащей группу Лоренца, например, formula_315 и группу Пуанкаре. Такие представления в общем случае не являются неприводимыми.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Группа Лоренца и её алгебра Ли имеют "свойство полной приводимости". Это означает, что любое представление сводится к прямой сумме неприводимых представлений. Приводимые представления поэтому здесь не обсуждаются.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: (Возможно проективное) представление является неприводимыми как представление группы , единичная компонента группы Лоренца, в физической терминологии собственная ортохронная группа Лоренца. Если , представление может быть расширено на представление всех , полных групп Лоренца, включая инверсию пространственной чётности и обращение времени. Представления formula_294 могут быть расширены аналогично .


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Для обращения чётности пространства рассматривается присоединённое действие на formula_48, где является стандартным представителем обращения чётности пространства, , задаваемого выражением


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Это те свойства и под , которые объясняют термины "вектор" для и псевдовектор или "аксиальный вектор" для . Аналогичным образом, если является любым представлением алгебры formula_48 и является его ассоциированным представлением группы, то действует на представлении путём присоединённого действия, formula_319 для алгебры formula_320 formula_164. Если включить в , то согласованность с уравнением требует, чтобы выполнялось


title: Теория представлений группы Лоренца

text: где и определены, как в первой секции раздела. Это может выполняться, только если formula_322 и formula_323 имеют одинаковые размерности, т.е., только если . Если , то formula_294 может быть расширено к неприводимому представлению группы formula_129, ортохронной группы Лоренца. Представление с обратной чётностью не приходит автоматически с основным построением представлений. Оно должно быть указано отдельно. Матрица может быть использована в formula_111 представлении.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Если чётность входит со знаком минус ( матрица ) в представление , оно называется псевдоскалярным представлением.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Обращение времени formula_327 действует аналогично на алгебре formula_48 как


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Путём явного включения представления для , как и для , получается представление полной группы Лоренца . Для физики здесь возникает небольшая проблема, в частности, в квантовой механике. Когда рассматривается полная , четыре дополнительных генератора, вместе с и , генерируют группу. Они интерпретируются как генараторы параллельного переноса. Компонента времени является гамильтонианом . Оператор удовлетворяет отношению


title: Теория представлений группы Лоренца

text: по аналогии с вращениями с алгеброй formula_48 заменёнными на полную . После простого удаления переменных 's из следовало бы, что любое состояние с положительной энергией в гильбертовом пространстве квантовых состояний с инвариантостью обращения времени было бы состоянием с отрицательной энергией . Такие состояния не существуют. Оператор поэтому выбирается и , так что он антикоммутирует с , давая formula_330, и его действие в гильбертовом пространстве равным образом становится антилинейным и антиунитарным. Его можно выразить как суперпозицию комплексного сопряжения с умножением на унитарную матрицу. Для математического рассмотрения вопроса см. статью , но с оглядкой на разночтение терминологии — не "представление".


title: Теория представлений группы Лоренца

text: При построении теорий, таких как КЭД, которая инвариантна по чётности пространства и обращению времени, могут быть использованы cпиноры Дирака, в то время как другие теории, в которых инвариантности нет, такие как электрослабое взаимодействие, должны быть сформулированы в терминах спиноров Вейля. Представление Дирака formula_111 обычно берётся для включения как чётности пространства, так и обращения времени. Без обращения чётности пространства, оно не является неприводимым представлением.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Третья дискретная симметрия, входящая в CPT-теорему, вместе с и , симметрия зарядового сопряжения , напрямую не имеет ничего общего с инвариантностью Лоренца.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Если является векторным пространством функций от конечного числа переменных , то действие на скалярную функцию formula_332, заданную формулой


title: Теория представлений группы Лоренца

text: даёт другую функцию formula_333. Здесь formula_334 является -мерным представлением, а является, возможно, бесконечномерным представлением. Специальный случай этого построения получаем, когда является пространством функций, определённых на самой линейной группе , рассматриваемой как -мерное многообразие, вложенное в formula_335 (с в качестве размерности матриц) Это установки, в которых формулируются и . Первое из упомянутых демонстрирует существование разложения Фурье функций на компактных группах в характеры конечномерных представлений. Последняя теорема, давая более явные представления, использует для получения представления комплексных некомпактных групп, например, formula_336


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Следующие разделы иллюстрируют действие группы Лоренца и подгрупп вращения на некоторых пространствах функций.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Подгруппа трёхмерных евклидовых вращений имеет бесконечномерное представление в гильбертовом пространстве


title: Теория представлений группы Лоренца

text: где formula_338 являются сферическими гармониками. Произвольная квадратично интегрируемая функция на может быть выражена как


title: Теория представлений группы Лоренца

text: где являются обобщёнными .


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Действия группы Лоренца ограничиваются действиями на и выражаются как


title: Теория представлений группы Лоренца

text: где получаются из представителей нечётных размерностей генераторов вращений.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Единичная компонента группы Лоренца изоморфна группе Мёбиуса . Эту группу можно рассматривать как конформные отображения либо комплексной плоскости, или, через стереографическую проекцию, сферы Римана. Таким образом, саму группу Лоренца можно рассматривать как действующую конформно на комплексной плоскости или на сфере Римана.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: На плоскости преобразование Мёбиуса, которое описывается комплексными числами formula_339, действует согласно формуле.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: и может быть представлена комплексными матрицами


title: Теория представлений группы Лоренца

text: поскольку умножение на ненулевой комплексный скаляр не меняет . Это элементы группы formula_2 и они единственны с точностью до знака (поскольку formula_341 даёт ту же ), следовательно, formula_342


title: Теория представлений группы Лоренца

text: P-символы Римана, решения дифференциального уравнения Римана, являются примером множества функций, которые преобразуются друг в друга под действием группы Лоренца. P-символы Римана выражаются как


title: Теория представлений группы Лоренца

text: где formula_343 являются комплексными константами. P-функция справа может быть выражена с использованием стандартных гипергеометрических функций. Вот эта связь


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Константы множества из верхнего ряда слева являются гипергеометрического уравнения. Их "показателями", т. е. решениями определяющего уравнения для продолжения вокруг сингулярной точки , будут и , соответствующие двум линейно независимым решениям, а для продолжения вокруг сингулярной точки ими будут и formula_344. Аналогично, показателями для будут и для двух решений.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Тогда мы имеем


title: Теория представлений группы Лоренца

text: где условие (иногда называемое тождеством Римана).


title: Теория представлений группы Лоренца

text: для показателей решений дифференциального уравнения Римана используется для определения .


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Первый набор констант в левой части в , , представляет регулярные особые точки дифференциального уравнения Римана. Второе множество t, formula_346, является набором соответствующих показателей в formula_347 для одного из двух линейно независимых решений и, соответственно, formula_348 являются показателями в точках для второго решения.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Определим действие группы Лоренца на множестве всех P-символов Римана, принимая


title: Теория представлений группы Лоренца

text: где formula_349 являются элементами матрицы


title: Теория представлений группы Лоренца

text: для formula_350 преобразования Лоренца.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Определим


title: Теория представлений группы Лоренца

text: где является P-символом Римана. Получившаяся функция снова является P-функцией Римана. Эффект преобразования Мёбиуса аргумента выражается в сдвиге полюса в новое место, а следовательно, изменения критичных точек, но нет изменения в показателях дифференциального уравнения, которому новая функция удовлетворяет. Новая функция выражается выражением


title: Теория представлений группы Лоренца

text: где


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Группа Лоренца formula_129 и её двойное покрытие formula_2 имеют бесконечномерные унитарные представления, которые независимо изучали Баргман, Гельфанд и Наймарк и Хариш-Чандра по наущению Поля Дирака. Эту тропу в исследования начал протаптывать Дирак, когда он придумал матрицы и , нужные для описания высших спинов (сравните с матрицами Дирака), протоптал своими разработками Фирц (см. статью Фирца и Паули) и предложил предшественника . Дирак в своей статье предложил конкретное бесконечномерное представление пространства, элементы которого назвал экспансорами, в качестве обобщения тензоров. Эти идеи взял на вооружение Хариш–Чандра и в статье 1947 года расширил понятие спиноров на экспиноры как бесконечномерное обобщение спиноров.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Теория для группы Лоренца, которые требуются для гармонического анализа на гиперболоидной модели 3-мерного , находящегося в пространстве Минковского, в значительной мере проще, чем в общей теории. Она вовлекает только представления из сферической и может быть изучена прямо, поскольку в радиальных координатах лапласиан на гиперболоиде эквивалентен лапласиану на formula_354 Эта теория обсуждается в статьях Такашаши, Хедьгасона и в посмертных текстах Йоргенсона и Ленга.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Главные серии или унитарные главные серии являются унитарными представлениями из одномерных представлений нижней треугольной подгруппы группы formula_355 Поскольку одномерные представления подгруппы соответствуют представлениям диагональных матриц с ненулевыми комплексными элементами и , они имеют вид


title: Теория представлений группы Лоренца

text: для целого и вещественного с formula_357. Представления являются неприводимыми представлениями. Единственные повторения, т.е. изоморфизмы представлений, возникают, когда заменяется на . По определению представления реализуются на слоях на formula_358, которые изоморфны сфере Римана. Когда , эти представления образуют так называемую сферическую главную серию.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Ограничение главной серии на максимальную компактную подгруппу formula_359 группы может быть реализовано как индуцированное представление подгруппы при использовании отождествления formula_360, где formula_361 является максимальным тором в подгруппе , состоящим из диагональных матриц с formula_362. Это представление порождается 1-мерным представлением formula_363 и оно независимо от formula_364. По , на подгруппе они разлагаются в прямую сумму неприводимых представлений подгруппы с размерностями formula_365 с неотрицательным целым .


title: Теория представлений группы Лоренца

text: С использованием отождествления между сферой Римана без точки и formula_79 главная серия может быть определена прямо на formula_367 по формуле.


title: Теория представлений группы Лоренца

text:
Неприводимость можно проверить несколькими путями:
Для formula_372 дополнительная серия определена на пространстве formula_367 для скалярного произведения.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: с действием, которое задаётся уравнением


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Представления дополнительной серии неприводимы и попарно неизоморфны. Как представление подгруппы , каждое изоморфно гильбертову пространству прямых сумм всех неприводимых представлений нечётной размерности для подгруппы . Неприводимость можно доказать путём анализа действия алгебры formula_174 на алгебраическую сумму этих подпространств или непосредственно без использования алгебры Ли.


title: Теория представлений группы Лоренца

text:
Единственными неприводимыми унитарными представлениями группы formula_2 является главная серия, дополнительная серия и тривиальное представление.
Поскольку действует как на главной серии и тривиально на остальных, это даст все неприводимые унитарные представления группы Лоренца, если чётно.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Чтобы разложить левое регулярное представление группы на formula_377 нужна только главная серия. Это немедленно даёт разложение на подпредставлениях formula_378 левого регулярного представления группы Лоренца и formula_379, регулярного представления в 3-мерном гиперболическом пространстве. (Первое использует только представления главной серии с чётным "k", второе — только представления с .)


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Левое и правое регулярное представление и определяются на formula_377 формулами


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Теперь, если является элементом , оператор formula_382, определённый как


title: Теория представлений группы Лоренца

text: является оператором Гильберта — Шмидта. Определим гильбертово пространство   формулой


title: Теория представлений группы Лоренца

text: и formula_386 обозначают гильбертово пространство операторов Гильберта – Шмидта на formula_367. Тогда отображение , определённое на выражением


title: Теория представлений группы Лоренца

text: расширяется до унитарного отображения группы formula_377 в .


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Отображение удовлетворяет свойству переплетения


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Если formula_391 входят в formula_392, тогда согласно унитарности


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Тогда, если formula_393 обозначает свёртку formula_394 и formula_395, а formula_396 то


title: Теория представлений группы Лоренца

text: На две последние приведённые формулы обычно ссылаются как на и формулу соответственно.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Формула Планшереля распространяется на все formula_397. По теореме Жака Диксмье и Поля Маллявена любая гладкая функция с компактным носителем на formula_398 является конечной суммой свёртки подобных функций, формула обращения выполняется для таких . Это можно распространить на существенно более широкий класс функций, удовлетворяющих слабым условиям дифференцируемости.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Стратегия, которой следуют в классификации неприводимых бесконечномерных представлений, заключается, по аналогии конечномерному случаю, в "допущении" их существования, а затем исследованию их свойства. Сначала допустим, что имеется неприводимое бесконечномерое представление на гильбертовом пространстве группы . Поскольку является подгруппой, является её представлением. Каждое неприводимое подпредставление группы является конечномерным, а представление группы разложимо в прямую сумму неприводимых конечномерных унитарных представлений группы , если унитарно.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Шаги следующие:


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Подходящий базис и метки задаются как


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Если бы это было "конечномерным" представлением, то соответствовало бы наименьшему собственному значению матрицы в представлении, равному formula_400, а соответствовало бы наибольшему собственному значению, равному . В бесконечномерном случае formula_401 сохраняет этот смысл, но не сохраняет. Для простоты считается, что заданное встречается лишь один раз в данном представлении (это случай конечномерных представлений), и можно показать, что это предположение можно откинуть (с некоторым усложнением вычислений) с сохранением результатов.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Следующий шаг — вычисление матричных элементов операторов и , образующих базис алгебры Ли formula_74 Элементы матрицы formula_403 и formula_404 известны из теории представления групп вращения и задаются формулами.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: где метки и опущены, поскольку они те же самые для всех базисных векторов в представлении.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Согласно соотношению коммутирования


title: Теория представлений группы Лоренца

text: тройка является и Теорема Вигнера — Эккарта применима для коммутирования матричных элементов между состояниями, представленными выбором базиса. Матричные элементы матрицы


title: Теория представлений группы Лоренца

text: где верхний индекс означает, что величина является компонентой ранга formula_408 (что также объясняет присутствие множителя ), а нижние индексы относятся в величине в формулах ниже


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Здесь первые множители справа являются коэффициентами Клебша — Гордана для связки с для получения . Вторые множители являются "приведёнными матричными элементами". Они не зависят от или , но зависят от и, конечно, от . Для полного списка ненулевых уравнений см. статью Хариша-Чандры.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Следующий шаг — потребовать, чтобы выполнялись отношения алгебры Ли, т.е. что


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Это приводит к набору уравнений, для которых решениями являются


title: Теория представлений группы Лоренца

text: где


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Наложение требования унитарности соответствующего представления "группы" ограничивает возможные значения для комплексных чисел formula_413 и formula_414. Унитарность представления группы переходит в требование к представлениям алгебры Ли быть эрмитовыми, что означает


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Это переходит в


title: Теория представлений группы Лоренца

text: и ведёт к


title: Теория представлений группы Лоренца

text:
где является углом в полярной форме. Из formula_418 следует, что formula_419 и formula_420 выбирается по договорённости. Есть два возможных случая:
Это показывает, что представления выше являются "всеми" бесконечномерными неприводимыми унитарными представлениями.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Метрика задаётся матрицей formula_434 и используются физические соглашения для алгебр Ли и экспоненциальное отображение. Этот выбор произволен, но будучи выбранным, не меняется. Один из возможных базисов алгебры Ли в 4-векторном представлении задаётся формулами:


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Соотношения коммутирования алгебры Ли formula_48:


title: Теория представлений группы Лоренца

text: В обозначениях трёхмерного пространства это будет


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Выбор базиса выше удовлетворяет вращениям, но возможен и другой выбор. Следует отметить кратное использование символа выше и ниже.


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Принимая, в свою очередь, formula_439 и formula_440, полагая


title: Теория представлений группы Лоренца

text: в общей формуле и, используя тривиальные отношения formula_442 и formula_443, получаем


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Это левые и правые представления спиноров Вейля. Они действуют путём умножения на матрицу в 2-мерных комплексных векторных пространствах (с выбором базиса) formula_444 и formula_445, элементы которых formula_446 и formula_447 называются левыми и правыми спинорами Вейля соответственно. Если дано


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Их прямая сумма как представлений образуется формулами,


title: Теория представлений группы Лоренца

text: Это есть, с точностью до преобразования подобия, formula_449 представление алгебры formula_48. Оно действует на 4-компонентные элементы formula_451 пространств formula_452, называемые биспинорами, умножением на матрицу. Представление может быть получено более общим и независимым от базиса способом с помощью алгебры Клиффорда. Эти выражения для биспиноров и спиноров Вейля продолжаются по линейности алгебры Ли и представлениями на все алгебры formula_74 Выражения для представлений групп получаются путём возведения в степень.


title: Петелиус, Пиркка-Пекка

text: Пиркка-Пекка Петелиус (; род. 31 мая 1953, Алаторнио, Финляндия) — финский комедийный актёр кино и телевидения, режиссёр, сценарист и певец. Получил известность благодаря главной роли в фильме Аки Каурисмяки «Гамлет идёт в бизнес» (1987).


title: Петелиус, Пиркка-Пекка

text: Петелиус также известен как орнитолог. Вёл телевизионную программу «Возвращение к природе» () на канале Yle TV1.


title: Петелиус, Пиркка-Пекка

text: Дебютировал в 1975 году.


title: Петелиус, Пиркка-Пекка

text: В 1987 сыграл роль Гамлета в драматическом нуарном фильме режиссёра Аки Каурисмяки «Гамлет идёт в бизнес». До этого он снимался в другом фильме Каурисмяки под названием «Союз Каламари».


title: Петелиус, Пиркка-Пекка

text: В 1994 озвучивал Тимона в финской версии мультфильма «Король Лев».


title: Петелиус, Пиркка-Пекка

text: В 2007 исполнил роль финского военного деятеля времён Второй мировой войны генерала-лейтенанта Акселя Айро в военном фильме «Тали – Ихантала 1944», основанном на событиях сражения при Тали-Ихантала.


title: Петелиус, Пиркка-Пекка

text: В 2017 получил высшую государственную награду Финляндии для деятелей искусств — Pro Finlandia.


title: Петелиус, Пиркка-Пекка

text: В 1998 женился на актрисе и певице Сари Сиикандер (), в 2003 они развелись.


title: Альбиновка

text: Альбиновка — название населённых пунктов на Украине:


title: Ленокс, Люси

text: Люси Ленокс (англ. "Luci Lenox"; род. 20 июня 1968 года, Кембридж, Англия ) — Режиссер по работе с актерами (англ. Casting Director), режиссер, актриса, является членом CSA,ICDN, ADC.


title: Ленокс, Люси

text: Среди успешных проектов, в которых работала Люси, такие художественные фильмы как:  “Вики, Кристина, Барселона”, режиссер Вуди Аллен,  “Голос Монстра” - Х.A. Байона, “Средь Бела Дня” - Мабрук Эль Мекри, “Диктатор” – Ларри Чарлез,  “"Парфюмер": История одного убийцы” режиссер Том Тыквер и другие. Ее недавние кастинги для телевизионных серий включают такие проекты, как: Изумрудный город  для NBC, Под несчастливой звездой для ABC и Shondaland.


title: Ленокс, Люси

text: Люси Ленокс (Luci Lenox) – Режиссер по работе с актерами, которая более пятнадцать лет работает в киноиндустрии между Барселоной, Испанией и Великобританией. Ее специализацией являются, как международные проекты, которые снимаются в Испании, так и Европейские совместные проекты. Люси также любит работать с начинающими кинематографистами и восходящими звездами.


title: Ленокс, Люси

text: Люси Ленокс  работала над фильмами, которые в совокупности выиграли более 100 наград. Один из недавних известных проектов является фильм “Виктория” режиссера Себастьяна Шиппера, который получил многочисленные награды на Кинофестивале “Берлинале” в 2015 году. Люси также работала над рекламными проектами для многих ведущих Мировых Режиссеров и Агентств, включая , Ноама Мурро, Трактор, Иоганна Крамера, , , Бенито Монторио, Дин Фримен и Тодд Филд среди многих других.


title: Ленокс, Люси

text: Основными клиентами Люси Ленокс являются: Constantin, Filmax, MediaPro, Disney, Summit, Intrepid и Kanzaman.


title: Губа, Паулина

text: Паулина Губа (; род. 14 мая 1991, Отвоцк) — польская легкоатлетка, которая специализируется в толкании ядра. Чемпионка Европы 2018 года в Берлине. Призёр двух летних Универсиад (2015 и 2017 года). Участвовала на олимпиаде 2016 года, в которой заняла 13-е место.


title: Губа, Паулина

text: Личный рекорд — 19,38 м, установлен 8 июля 2018 года.


title: Губа, Паулина

text: 27 августа 2017 года она выиграла бронзовую медаль на Универсиаде в Тайбее с результатом 17,76 м.


title: Губа, Паулина

text: 4 февраля 2018 года, в Спале, она улучшила свой личный опыт на десять сантиметров до 18,73 м.


title: Губа, Паулина

text: 8 августа 2018 года в финале чемпионата Европы в Берлине Полина Губа становится чемпионом Европы по своей дисциплине с окончательным результатом в 19.33 м. Она опередила на подиуме двукратную чемпионку Кристина Шваниц (19,19 м) и белорусскую спортсменку Алёну Дубицкую (18,81 м).


title: Дубицкая, Алёна Викторовна

text: Алёна Викторовна Дубицкая (род. 25 января 1990, Минск) — белорусская легкоатлетка, которая специализируется в толкании ядра. Бронзовый призёр чемпионата Европы 2018 года в Берлине. Участвовала на олимпиаде 2016 года, в которой заняла 8-е место.


title: Дубицкая, Алёна Викторовна

text: Личный рекорд - 19,03 м, установлен в 2014 году.


title: Дубицкая, Алёна Викторовна

text: В 2014 году она впервые совершила толчок за 19,00 м.


title: Дубицкая, Алёна Викторовна

text: 19 марта 2016, Дубицкая занимает 9-е место на мировом чемпионате в зале в Портленде с броском 17,45 м.


title: Дубицкая, Алёна Викторовна

text: 8 августа 2018 года спортсменка из Белоруссии завоевала бронзовую медаль чемпионата Европы в Берлине (результат - 18,81 м.). Её смогли обойти только чемпионка польская атлетка Паулина Губа (19,33 м) и немецкая спортсменка Кристина Шваниц (19,19 м).


title: Викторианская футбольная лига (значения)

text: Викторианская футбольная лига, Футбольная лига Виктории () — многозначный термин.


title: Зарецкая, Елена Наумовна

text: Елена Наумовна Зарецкая (род. 14 апреля 1952, Москва, СССР) — профессор, доктор филологических наук, заведующая кафедрой социально-гуманитарных дисциплин РАНХ и ГС при Призеденте РФ.


title: Зарецкая, Елена Наумовна

text: В 1973 году окончила филологический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова, отдел структурной и прикладной лингвистики.


title: Зарецкая, Елена Наумовна

text: В 1978 году окончила аспирантуру Ленинградского государственного университета им. Жданова, защитила диссертацию под руководством профессора Маслова Ю. С. и получила степень кандидата филологических наук.


title: Зарецкая, Елена Наумовна

text: В 1998 году — защитила диссертацию на тему «Теория речевой коммуникации» в МГУ им. Ломоносова и получила степнь доктор филологических наук.


title: Зарецкая, Елена Наумовна

text: С 1999 года является профессором в Российской академии народного хозяйства и государственной службы при Президенте РФ.


title: Зарецкая, Елена Наумовна

text: В 2003 году американский биографический институт включил биографию Елены Зарецкой в справочник выдающихся людей — Great Mind of the 21st Century, а в 2009 году издательство Marquis Who’s Who в энциклопедию Who’s Who in the World 2009.


title: Зарецкая, Елена Наумовна

text: Регулярно выступает на радио Маяк.


title: Зарецкая, Елена Наумовна

text: Много лет состояла в браке с Клапером Александром Яковлевичем, в котором родилось двое детей — Ольга и Дмитрий.


title: Зарецкая, Елена Наумовна

text: По словам Эдуарда Лимонова Зарецкая «претендует» на роль последней жены Алексея Львовича Хвостенко.


title: Зарецкая, Елена Наумовна

text: В настоящее время замужем за художником Чащинским Анатолием Дмитриевичем.


title: Зарецкая, Елена Наумовна

text: Автор более 70 книг и статей, в частности, учебника «Деловое общение» (монография в 2 томах), «Риторика: теория и практика речевой коммуникации», «Логика речи».


title: Зарецкая, Елена Наумовна

text:
Мастерство публичного выступления от Елены Зарецкой
Ловушка для родителей a la Russe


title: Пути Кайсар Михара

text: Пути Кайсар Михара (; , , Индонезия) — австрийская и актриса. Имеет чёрный пояс и разряд «Пендекар» (Мастер силата) IV степени. Отец пандека Михар () - минангкабау по материнской линии.


title: На высотах

text: «На Высотах» или «На Холмах» () — мюзикл американского автора и композитора Лин-Мануэля Миранды по либретто Крьяры Алегрии Худес, рассказывающий о жизни нью-йоркского района Вашингтонские высоты (Вашингтонские холмы). Мюзикл является лауреатом множества театральных и музыкальных премий, в том числе «Тони» и «Грэмми».


title: На высотах

text: Лин-Мануэль Миранда написал черновую версию мюзикла, учась на втором курсе Уэслианского университета. Во время работы он включил в него хип-хоп номера и ритмы сальсы, которые передавали характер персонажей. Его мюзикл принимают к постановке в студенческом театре, где он побил кассовый рекорд за год. После выпуска из университета Миранда вместе с однокурсниками Джоном Баффало Мэйлером и режиссёром Томасом Кайлом начинают перерабатывать материал. До первой постановки было написано как минимум 5 пробных вариантов сценария. В 2004 году к проекту присоединилась Кьяра Алегрия Худес.


title: На высотах

text:
В феврале 2007 года (после пробных показов в 2005 году в Коннектикуте) «На Высотах» стартовал во внебродвейском театре "37 Arts", где шел до июля. Постановка получила в основном положительные отзывы, была номинирована на 9 премий Драма Деск, из которых выиграла две, а также премию Obie.
В феврале 2008 года (с официальной премьерой 9 марта) в театре Ричарда Роджерса началось бродвейское шествие мюзикла.. Режиссёром выступил Томас Кайл, который провел мюзикл через все пробные показы. В январе 2009 года продюсеры объявили, что постановка окупила свои затраты в 10 млн долл. США.


title: На высотах

text: Аудио-запись основного состава была выпущена в июне 2009 года. Альбом выиграл на 51-й церемонии вручения «Грэмми» в номинации «Лучший альбом музыкального театра»..


title: На высотах

text: В 2008 году мюзикл был номинирован на 13 премий Тони и выиграл 4 из них, включая «Лучший мюзикл» и «Лучший сценарий». В 2009 году спектакль попал в шорт-лист Пулитцеровской премии за лучшую драму, однако проиграл.


title: На высотах

text: Бродвейская постановка закрылась 9 января 2011 года после более чем 1200 представлений.


title: На высотах

text: Над Вашингтонскими высотами встает солнце, и хозяин маленького магазинчика Уснави выходит на работу. Он продает всякую мелочевку и разливает утренний кофе жителям преимущественно иммигрантского латиноамериканского района на севере острова Манхэттен. Среди его постоянных клиентов Кевин и Камилла Розарио, владельцы маленькой службы такси. Их дочь Нина только что вернулась после первого года обучения в Стенфорде, но денег на обучение не хватает, и девушка не знает, как рассказать родителям, что ей придется оставить колледж. Приятель Уснави Бенни работает на Кевина Розарио и мечтает открыть собственный бизнес, однако Кевин не допускает его к организационной работе. У него и Нины начинается роман, от чего Кевин и Камилла не в восторге.


title: На высотах

text: Сам Уснави давно неровно дышит к Ванессе, мастеру салона красоты по соседству, где Даниэла и Карла перемывают косточки всем жителям района. Ванесса мечтает уехать из Вашингтонских высот, она даже нашла квартиру в центре, только денег все равно не хватает. Ей также нравится Уснави, но он слишком робок, чтобы ухаживать за девушкой, и она его провоцирует на приступ ревности.


title: На высотах

text: В газетах появляется сообщение, что в магазинчике Уснави был продан выигрышный лотерейный билет на сумму 96 тысяч долларов. Жители района мечтают, что можно сделать на эти деньги и гадают, кто же счастливчик. Им оказывается «бабушка всея района» Клаудия, которая давно мечтает вернуться в Гавану, но у нее никогда не было на это денег. Теперь они есть, и треть из ее выигрыша она предлагает Уснави, чтобы он также осуществил свою мечту о возвращении в Доминиканскую Республику.


title: На высотах

text: В городе стоит чрезвычайно жаркая погода, и в определенный момент не выдерживает электричество — Вашингтонские высоты вместе с остальным Нью-Йорком погружаются во мрак прямо в День независимости.


title: На высотах

text: В ноябре 2008 года студия Universal Pictures объявила, что она получила права на экранизацию мюзикла с предварительной датой релиза в 2011 году. Режиссёром на проект был определён Кенни Ортега, сценарий должна была написать Кьяра Алегрия Худес. Однако Universal отказалась от планируемого фильма, проект был отменен.


title: На высотах

text: В мае 2018 года было объявлено, что распространением фильма будет заниматься The Weinstein Company В качестве режиссёра за проектом был закреплен Джон Чу. В сентябре 2016 года Лин-Мануэль Миранда допустил возможность своего участия в фильме, но не в роли Уснави.


title: На высотах

text: После скандала с обвинением Харви Вайнштейна в неподобающем поведении Худес начала вести переговоры по расторжению контракта с продюсерской компанией. В апреле 2018 года права на фильм вернулись к Миранде и Худес. В мае 2018 года их за 50 млн долл. США выкупили Warner Bros. Pictures, обойдя в процессе борьбы несколько других компаний. Предварительно релиз фильм назначен на 26 июня 2020 года.


title: Памятник Игорю Курчатову (Москва)

text: Па́мятник И́горю Курча́тову — памятник советскому физику, изобретателю советской атомной бомбы, академику АН СССР Игорю Курчатову. Открытие состоялось 20 сентября 1971 года возле Института атомной энергии его имени. Авторами проекта являются скульптор Иулиан Рукавишников и архитекторы М. И. Богданов и М. Н. Круглов. В 1992 году памятник взят под государственную охрану.


title: Памятник Игорю Курчатову (Москва)

text: Бронзовый бюст учёного представляет собой его пятиметровую голову. Портретное сходство выражено в общих чертах, создавая впечатление, что скульптура сложена из отдельных крупных геометрических блоков. Статуя помещена на низкий цельноблочный постамент из чёрного полированного гранита по одним источникам или из лабрадорита — по другим. На пьедестале выбита только фамилия учёного. По замыслу автора монумент символизирует гениальность академика и величие его разума.


title: Памятник Игорю Курчатову (Москва)

text: В 2002 году его полностью отреставрировали. В 2015-м правительство Москвы запланировало очередную реставрацию памятника. Конкурс на её проведение объявили в апреле 2016-го, победителем стала «Реставрационная мастерская Наследие». В октябре методом лазерного сканирования создали 3D-модель монумента. С её помощью специалисты определили самые сложные детали статуи, объём загрязнений и разрушения. Работы завершили до конца года.


title: Вормсер

text: Вормсер:


Международный футбольный турнир в Алькудии (), также известный как COTIF () — "Организационный комитет международного футбольного турнира" — ежегодное футбольное соревнование молодёжных команд, проводящееся с 1984 года в испанском городе Алькудия-де-Карлет.


title: Международный футбольный турнир в Алькудии

text: Турнир появился после того, как команда города Алькудия участвовала в международном турнире проходившем во французском городе Боллене в 1983 году. Первоначально в соревновании принимали участие молодёжные команды клубов, стран и испанских провинций. Начиная с 2016 года, участвуют только национальные сборные до 20 лет. С 2012 года также проводится турнир среди взрослых женских клубов.


title: Лейнберг, Юхан

text: Юхан Лейнберг (; — ), также известный как пророк Малтсвет () — был основателем религиозной секты его имени в Эстонии.


title: Лейнберг, Юхан

text: Юхан Лейнберг родился в волости Коэру, уезда Ярвамаа. В молодости он был крестьянином, мельником, корчмарём и торговцем в Таллине. В 1854 году он начал проводить проповеди в северной Эстонии и призвал людей отказаться от накопления богатства. Кратковременное заключение в 1858 году увеличило его популярность, число его последователей достигло 200-300 семей. В 1860 Лейнберг начал продвигать идею переселения в Крым, переселившись туда в 1861. Наиболее фанатичные последователи в мае и июне 1861 года в Ласнамяэ ожидали прихода «Белого корабля», который должен был отвезти их в землю обетованную. Последователи Малтсвета также сыграли важную роль в крестьянских восстаниях в Албу и Ахула в ноябре 1861 года. К середине 1860-х годов, влияние Малтсвета сошло на нет. После возвращения в Эстонию в 1865 он снова начал заниматься бизнесом. Лейнберг умер в волости Амбла, уезда Ярвамаа.


title: Лейнберг, Юхан

text: Движение Малтсветианцев описывается Эдуардом Вильде (1865-1933) в романе «Пророк Малтсвет» (")". Опубликованная в 1908 году, эта книга стала третьей книгой трилогии, которая способствовала становлению Вильде как писателя. Как и в других, в книге были переплетены факты и вымыслы, но она была основан на письмах и записях интервью крымских эстонцев.


title: Лейнберг, Юхан

text: Финская писательница Айно Каллас написала короткий рассказ под названием «Белый корабль Ласнамяэ» (), который описывает членов религиозной секты Лейнберга ждущих белый корабль, который заберёт их в рай, как обещал им Лейнберг.


title: Стайня

text: Стайня — прямоугольная выгородка для содержания лошадей в пределах холодного двора крестьянской усадьбы у славянских народов.


title: Стайня

text: В единый ареал распространения термина «стайня» входят украинские, польские и литовские территории. Помимо этого, слово «стайня» широко использовалось на территории Белоруссии, однако в южных районах этой страны также имел хождение термин «конюшня». В этом значении слово «стайня» применялось в Архангельской, Смоленской, Брянской и Псковской областях. Во второй половине XVI — первой половине XVII веков понятие «стайня» использовалось не только в значении «конюшенный двор», но и как помещение для хранения транспортных средств: саней, возков и т. п. Через некоторое время для уточнения такой семантической нотации к термину «стайня» был добавлен компонент «на возы», то есть — стайня для экипажей. В дальнейшем выражение «стайня на возы» послужило переходной формой для образования термина «возовня».