title: Rue de l'Alzette

text: L'immeuble situé au 4 rue de l'Alzette, aussi dénommée la "Maison des paons", a été construit comme maison de rapport, en style Art Nouveau nancéien. Le bâtiment de trois étages plus des combles aménagés avec lucarnes a sa façade décorée de bas-reliefs à motifs de feuilles de châtaigniers. Au deuxième étage, la baie principale composée de trois fenêtres jumelées possède un balcon de forme ondulée sur toute sa largeur, reposant sur deux consoles. Au troisième étage, le balcon, sans console, est réduit à la largeur de la fenêtre centrale. De part et d'autre de ce balcon, un bas-relief représentant un paon au repos tandis qu'au-dessus de la baie, juste en dessous de la corniche, un paon est représenté faisant la roue. Les grilles des balcons, en fer forgé, reproduisent un décor de tournesol.


title: Rue de l'Alzette

text: La maison Sichel a été construite en 1909 pour sa partie ouest et en 1924 pour sa partie est, par l'architecte allemand C. Diétrich né à Neustadt an der Weinstraße (anciennement Neustadt an der Haardt) en Rhénanie-Palatinat.


title: Rue de l'Alzette

text: En 1873, les frères Gillain ouvrent une quincaillerie à Esch-sur-Alzette, qui sera reprise plus tard par Julius Sichel et Cie. Ce sont les Sichel, une famille juive d'Alsace-Lorraine, qui vont faire construire ce bâtiment dont le rez-de-chaussée et le premier étage sont à vocation commerciale et les étages supérieurs des appartements de rapport. En 1975, les activités de la vente au détail de la quincaillerie Sichel sont reprises par la société en nom collectif Gaston Schwertzer, José Legan et Cie. En 1984, Marc Schwertzer et sa femme reprennent en main le magasin. En 1991, le département quincaillerie, à l'origine du succès du magasin, ferme ses portes, et est remplacé par un nouveau département d'arts de la table, de cadeaux et de mobilier de décoration.


title: Rue de l'Alzette

text: La maison Sichel est un fleuron de l'historicisme au Luxembourg. Le grand magasin de quincaillerie est le fruit direct de la production industrielle florissante au début du . Le recours aux coffrages modernes et aux armatures métalliques permettent de réaliser de vastes espaces réservées à la vente. L'immeuble offre un aspect monumental avec sa toiture en croupe dominée par un lanternon élancé, ses deux tourelles en surplomb, surmontées par un tambour octogonal, couronné par un dôme débordant de section à arc plein cintre coiffé d'un arc en accolade, et son étage en attique. Le rez-de-chaussée et le premier étage offrent de larges baies vitrées à encadrement métallique. La façade des étages supérieurs ainsi que l'entrée privative à droite de l'immeuble, est en pierre de taille avec de nombreux décors de guirlandes de fruits, et de nombreux bas-reliefs représentant un sculpteur, Mercure et la science sur la tourelle de gauche et un mineur, une forge et le travail des champs sur celle de droite. Au-dessus de l'entrée privative, un œil-de-bœuf ovale, entouré d'une guirlande de feuilles stylisées, avec en haut une coquille Saint-Jacques et en bas un être fantastique. De chaque côté de l'œil de bœuf, un médaillon avec au centre une abeille, symbole de la persévérance.  Bâtiment néogothique construit en 1909, avec la présence typique d'arcs en accolade, en dos-d'âne, de fenêtres géminées à imposte trilobé. La travée de droite porte en couronnement au-dessus des fenêtres géminées du troisième étage, un fronton à volutes richement décoré surmonté d'un pinacle, avec blason imaginaire coiffé d'une couronne, affichant le monogramme du propriétaire et la date de construction et en dessous du blason, une banderole vide. De chaque côté de ce fronton, à hauteur du second étage une niche vide surmontée d'un fleuron. Le reste du bâtiment se compose de deux étages plus un étage de comble dont les lucarnes simples ou géminées possèdent un encadrement de volutes et sont surmontées de fleurons.


title: Rue de l'Alzette

text: Les embrasures des fenêtres du premier et deuxième étage sont richement sculptées. La façade est rythmée et divisée par des pilastres cannelés à chapiteau décoré de mascaron.  Immeuble de style Art nouveau de deux étages plus un étage de comble, avec un mélange d'influences des différentes tendances de l'époque: influences belges pour les balcons métalliques en corbeille de la travée de droite où se situe l'entrée privée à rosace, des influences nancéiennes pour le pinacle Gothico-Art nouveau de cette travée, et des influences plus germaniques pour les décors sculptés plus lourds et compacts. La travée de droite nettement plus étroite que les autres, avec la porte et les fenêtres très hautes, les balcons en saillie et son pinacle, donne l'impression de se dresser comme une tourelle. L'immeuble est en pierres de taille claires et en briques émaillées blanche et les sculptures sont inspirées par la nature végétale.


title: Rue de l'Alzette

text: Cet immeuble de rapport de style gothico-baroque, a sa façade en briques jaunes tandis que les chambranles des fenêtres sont en pierres de taille blanches abondamment sculptées. L'immeuble est de deux étages plus combles aménagés avec lucarnes. Au premier et au second étage, deux paires de fenêtres géminées séparées par une colonne à chapiteau à fleurs. Les fenêtres du premier étage, rectangulaires, sont couronnées d'un blason situé sous une moulure trilobée. Au second étage, les fenêtres à arc en anse de panier sont surmontées d'un cartouche rectangulaire avec blason et banderoles sans devises.


title: Rue de l'Alzette

text: Les mansardes sont en pierres de taille richement sculptées et la pente de la toiture de la mansarde est en pierre.  À la droite du bâtiment, l'entrée privée à arc plein cintre outrepassé, est surmontée d'un tympan de style Renaissance reposant sur deux colonnes s'appuyant sur deux sculptures de têtes d'allure moyenâgeuses. Le tympan qui possède en son centre un bas-relief représentant un blason est surmonté d'un fleuron.


title: Rue de l'Alzette

text: Attenant à l'immeuble gothico-baroque du 65, se trouve au 67 un autre immeuble de rapport de style Gothico-Art Nouveau, en briques blanches et en pierres de taille claires. L'entrée privée est surmontée d'un pinacle, en bas-relief sur un oriel situé au premier étage soutenu par des consoles à motifs floraux de style Art nouveau, et qui sert de base à un balcon du second étage. Au niveau des combles, un pignon de style gothique avec deux fenêtres géminées surmontées de trilobes. Au-dessus des fenêtres du premier étage, des cartouches avec des motifs géométriques en bas-relief, dont entre autres un motif de mouchettes au-dessus des fenêtres géminées. Le 90 rue de l'Alzette est une maison d'angle de trois étages, plus combles mansardées, à pan coupé, construite en 1915 par l'entreprise Chilot. Elle est située à l'intersection entre la rue de l'Alzette et la rue du X Septembre. L'immeuble est en pierres de taille blanches et briques rouges, avec des décors en céramiques. L'entrée du magasin sur le pan coupé est encadrée de deux imposantes consoles Renaissance soutenant le balcon du premier étage. La balustrade métallique du balcon est encadrée par les deux socles massifs de pots à feu. La porte d'entrée à arc plein cintre est surmontée d'une tête de Mercure ailée, le dieu du commerce. L'aspect du pan coupé varie selon les niveaux: La fenêtre du premier étage est rectangulaire, celle du second étage à arc plein cintre et celle du troisième de nouveau rectangulaire. Le balcon du premier et du deuxième étage possèdent une balustrade métallique, alors que celui du troisième a une balustrade à balustres en pierre.


title: Rue de l'Alzette

text: La façade est cadrée par une corniche d'inspiration ionique. Sur les façades latérales, les fenêtres du premier et second étage sont rectangulaires, tandis que celles du troisième sont à arc plein cintre. Le chambranle des fenêtres du troisième est en brique rouge, avec pour soutenir l'arc des impostes en pierre sculptées, et une clef d'arc en pierre avec mascaron ou blason.


title: Rue de l'Alzette

text: Sur le pan coupé, étaient fixés deux médaillons représentant le président français Raymond Poincaré (1860-1934) et le roi des Belges Albert. Ces médaillons ont été enlevés par les nazis pendant la Seconde Guerre mondiale.  Le 91 rue de l'Alzette est un immeuble de rapport en style Louis XVI revisité de deux étages, avec combles aménagés. Le bâtiment de cinq travées, deux larges encadrant trois plus étroites. La travée de droite en légère avancée, possède de larges baies en retrait par rapport à la façade, celle du premier étage avec un balcon convexe à balustres en pierres et celle du second étage, encadrée par deux colonnes toscanes.


title: Rue de l'Alzette

text: Un oriel à trois fenêtres, situé au niveau du premier étage de la travée de gauche, sert de base au balcon du second étage qui ouvre sur trois fenêtres à arc plein cintre étroites et hautes.


title: Rue de l'Alzette

text: Entre le premier et le second étage une corniche à denticules, en forte avancée, coupe horizontalement en deux la façade. Verticalement, les travées sont séparées par des colonnes plates à chapiteau ionique.  Les dessous des balcons du premier étage sont décorés de reliefs de guirlandes de fruits, médaillons et rubans croisés.


title: Rue de l'Alzette

text: Cet immeuble Art nouveau en pierres de taille blanches est surtout remarquable par ses deux têtes de femmes aux longs cheveux, portant le linteau en anse de panier de la grande baie vitrée du rez-de-chaussée, sur lequel repose le balcon du premier étage.


title: Rue de l'Alzette

text: Immeuble de coin en pierres de taille avec une corniche à denticules décorées de mascarons représentant des figures grotesques à grandes oreilles, avalant par la bouche et les oreilles des guirlandes de feuilles.


title: Un havre de paix

text: Un havre de paix ("Safe Haven") est un film américain réalisé par Lasse Hallström, sorti en 2013. Il s'agit d'une adaptation du best-seller homonyme de l'écrivain américain Nicholas Sparks.


title: Un havre de paix

text: Katie arrive à Southport et emménage dans cette petite ville de bord de mer. Elle y rencontre Alex, un homme ayant perdu sa femme et vivant avec ses deux enfants. Cette relation marque le début d'une idylle romantique mais le passé mystérieux de la jeune femme la rattrape petit à petit. En effet, Katie est recherchée par un policier le même qui apparaît peu à peu dans ses flashbacks... Et il est déterminé à la retrouver.


title: Air Uganda

text: Meridiana Africa Airlines, connue sous son nom commercial Air Uganda est une compagnie aérienne privée de l'Ouganda, fondée en 2007, qui appartient au groupe , un fonds de l'Aga Khan (Aga Khan Development Network). Elle intègre l'IATA le .


title: Dark Paradise

text: Lana Del Rey affirme lors d'une entrevue en juin 2012 qu'elle ne compte pas sortir le titre en tant que single, mais qu'elle dévoilera une vidéo accompagnant la chanson en septembre 2012, ainsi qu'une autre vidéo pour le titre '. Mais le clip n'a jamais été publié, pas plus que celui de '. Ce ne sont pas les seules vidéos que la chanteuse avait annoncé et qui ne sont toujours pas dévoilées ; le titre " devait aussi bénéficier d'un clip. Fin janvier 2013, un remix officiel de la chanson est diffusée sur une radio allemande et annoncée comme prochain single. Le single, en version remixée, sort le mars mais seulement dans certains pays d'Europe de l'Est.


title: Dark Paradise

text: Le single sort plus de 13 mois après la sortie de l'album et étant le sixième single sans compter les singles promotionnels, il reçoit un mauvais accueil de la part du public. Il ne pénètre dans le top 40 d'aucun pays excepté la Pologne, où la chanteuse est très appréciée, et se classe même cinquième dans ce pays.


title: 206

text: L'année 206 (CCVI)) était une année commune commençant un mercredi (le lien affichera le calendrier complet) du calendrier julien. À l'époque, elle était connue comme l'année du consulat de Umbrius et Gavius (ou, moins fréquemment, l'année 959 Ab urbe condita). La dénomination 206 pour cette année a été utilisée depuis le début de la période médiévale, lorsque l'ère du calendrier Anno Domini est devenue la méthode la plus répandue en Europe pour nommer les années.


title: Blackfish (film)

text: Le film est en grande partie centré sur la vie de l'orque Tilikum du parc aquatique et des morts qu'elle a causé mais, plus généralement, cherche à démontrer les dangers de la captivité sur ces animaux.


title: Blackfish (film)

text: Le film a été présenté au cours du festival du film de Sundance 2013, où il a été acheté par Magnolia Pictures afin de bénéficier d'une diffusion plus large.


title: Blackfish (film)

text: Le documentaire se concentre sur la captivité de l'orque Tilikum, responsable de la mort de trois personnes, et des conséquences de la captivité sur ces cétacés.


title: Blackfish (film)

text: " suit la vie de Tilikum, de sa capture en 1983 au large de l'Islande, à l'animosité des autres baleines retenues en captivité à son égard et, enfin, à son isolement dans un bassin ; éléments qui selon Cowperthwaite, ont contribué à l'agressivité de l'orque.Cowperthwaite a travaillé sur le film après la mort de la dresseuse de Tilikum, Dawn Brancheau, en réponse aux affirmations de diffusant l'idée que cette attaque résultait du fait que la jeune femme portait une queue-de-cheval.


title: Blackfish (film)

text: En France, le film est diffusé à la télévision sur Arte en juin 2014 et le 2 juillet 2016.


title: Blackfish (film)

text: Le film a reçu un accueil extrêmement positif. L'agrégateur de critiques lui accorde la note de 98 % ainsi que le label , et résume . Le ' l'a défini de la façon suivante : . et ' ont tous deux loué ', soutenant que le film est . ' a donné au documentaire la note de B- et écrit qu'il et qu'il s'inclinait devant cette prise de position.


title: Blackfish (film)

text: Par ailleurs, la famille de Dawn Brancheau, soigneuse tuée par Tillikum, et dont l'histoire est l'objet de Blackfish, ne cautionne pas le film.


title: Blackfish (film)

text: Blackfish est sujet à des controverses quant à son contenu et à sa forme.


title: Blackfish (film)

text: Deux anciens soigneurs de SeaWorld ayant participé au film, ont pris la parole publiquement depuis sa sortie pour expliquer qu'ils avaient été manipulés par la production quant à l'objectif final du film. Ces soigneurs expliquent s'être sentis trahis par la production et renier le message du film.Une autre des critiques exprimées est l'absence de confrontation des différents points de vue. Cette absence ne serait pas volontaire de la part de la production qui affirme dans le documentaire que SeaWorld aurait refusé de participer au film.


title: Blackfish (film)

text: Un avocat spécialisé dans la défense de l'industrie du tourisme et du divertissement, ancien cadre de Cedar Fair Entertainment Company et d'Universal Orlando, et membre de la "New England Association of Amusement Parks & Attractions" et de la "International Association of Amusement Parks & Attractions", Erik H. Beard, avance d'autres arguments :


title: Blackfish (film)

text: Dans son film, Cowperthwaite dénonce notamment les affirmations de , notamment celles prétendant que les baleines en captivité vivent plus longtemps, ce qui est sujet à controverses. Des études scientifiques semblent cependant contredire ce point de vue : La société , qui a refusé de participer à la production du film, a expliqué après sa diffusion que le film était inexact, fallacieux et exploitait une tragédie, dans une lettre ouverte publiée sur son site internet. a également créé une section dédiée sur son site internet intitulée (« La vérité sur " »).


title: Blackfish (film)

text: Le 27 février 2014, a adressé une plainte au Département du Travail des États-Unis, clamant que l'inspecteur de l'Occupational Safety and Health Administration (inspection du travail) qui a enquêté sur la mort de Brancheau a eu un comportement contraire à l'éthique en participant au film. Par la suite, la réalisatrice a démenti un grand nombre des critiques de Seaworld et a invité les représentants de SeaWorld à un débat public.


title: Blackfish (film)

text: La fin du film d'animation de Pixar " a été revue après que les réalisateurs John Lasseter et Andrew Stanton ont vu le film et parlé à Gabriela Cowperthwaite.


title: Blackfish (film)

text: Les groupes et chanteurs Heart, Barenaked Ladies, Willie Nelson, Martina McBride, .38 Special, Cheap Trick, REO Speedwagon, Pat Benatar, The Beach Boys, Trace Adkins et Trisha Yearwood ont annulé leurs concerts prévus au cours de l'événement au SeaWorld Orlando et au Busch Gardens Tampa en 2014.


title: Blackfish (film)

text: En réponse au film, le sénateur de New York a proposé une loi en février 2014 pour interdire la captivité des orques. En mars 2014, le député de Californie a proposé une loi intitulée , qui, si elle est votée, interdirait les spectacles d'orques en captivité et libérerait toutes les orques actuellement détenues ; cette loi aurait un effet direct sur le parc de et son spectacle « ».


title: Blackfish (film)

text: À la suite de cette proposition, ainsi qu'une baisse majeure de l'action à Wall Street (30 %) consécutive à des résultats négatifs, Seaworld annonce en août 2014 qu'il va agrandir les bassins des orques. Après San Diego, où le nouveau bassin de 38 millions de litres d'eau pour une surface de 6 000 mètres carrés et une profondeur de 15 mètres (soit le double du bassin actuel) sera prêt en 2018, ceux d'Orlando et de San Antonio seront aussi agrandis.


title: Blackfish (film)

text: En 2017, Seaworld est visé par deux enquêtes aux États-Unis : la première du ministère de la Justice américain et une autre de Securities and Exchange Commission. En effet, la société est accusée d'avoir minimisé l'impact du documentaire sur ses résultats financiers.


title: Alvin Weinberg

text: Alvin Martin Weinberg ( – ) est un physicien américain, il administra le laboratoire national d'Oak Ridge pendant et après le projet Manhattan. Il retourna à Oak Ridge, Tennessee en 1945 et y resta jusqu'à sa mort en 2006. Il fut le premier à employer le terme « Pacte Faustien » pour décrire l'énergie nucléaire.


title: Alvin Weinberg

text: Il fut diplômé d'un doctorat en mathématiques en biophysique de l'Université de Chicago en 1939, Weinberg rejoint ensuite l'équipe du Projet Manhattan au Metallurgical Laboratory en . En collaboration avec la physicienne Katharine Way, il analyse les données des flux neutroniques des premières conceptions de réacteurs nucléaires d'Enrico Fermi pour voir s'il est possible de créer une réaction en chaîne nucléaire autonome.


title: Alvin Weinberg

text: L'année suivante, il fait partie du groupe théorique de Eugene Wigner qui a pour but de créer les réacteurs nucléaires qui transformeront l'uranium en plutonium.


title: Alvin Weinberg

text: L'un des précurseurs du concept de réacteur nucléaire à fission aux sels de thorium fondus.


title: Archidiocèse de Valence

text: L'archidiocèse de Valence (en latin : ' ; en catalan : ' ; en espagnol : ") est une église particulière de l'Église catholique en Espagne. Érigé au , il est supprimé en 712, rétabli en 1238 et élevé au rang d'archidiocèse métropolitain en 1492. Depuis 2009, l'archevêque métropolitain de Valence est Carlos Osoro Sierra.


title: Archidiocèse de Valence

text: L'archidiocèse se situe dans une partie de la province d'Alicante avec les comarques du comtat, de Marina Alta (sauf Calp qui dépend du diocèse de Orihuela et Alicante), le nord de la comarque de Alcoià (le sud avec les villes de Castalla, Ibi, Onil, Tibi dépend du diocèse de Orihuela et Alicante) et une partie de l'Alto Vinalopó (sauf Biar, Salinas, Sax, Villena dépendant du diocèse de Orihuela et Alicante). Il est archevêché métropolitain avec pour suffragant les trois diocèses d'Ibiza, de Majorque, de Minorque qui couvrent la communauté autonome des îles Baléares et les diocèses de Orihuela-Alicante et de Segorbe-Castellón. L'évêché est à Valence où se trouve la cathédrale de l'assomption de Notre Dame, son territoire couvre une superficie de avec 651 paroisses regroupées en 8 vicariats épiscopales et 34 archidiaconés.


title: Archidiocèse de Valence

text: L'archidiocèse de Valence confine au sud avec le diocèse d'Orihuela-Alicante, à l'ouest avec le diocèse d'Albacete et celui de Cuenca ; et au nord, avec le diocèse de Teruel et Albarracín et celui de Segorbe-Castellón. À l'est, la mer Méditerranée sépare l'archidiocèse de Valence du diocèse d'Ibiza. L'ensemble forme la province ecclésiastique de Valence.


title: Archidiocèse de Valence

text: La cathédrale de Valence dédiée à sainte Marie, est la cathédrale de l'archidiocèse et une basilique mineure depuis le .


title: Archidiocèse de Valence

text: Les quatre autres basiliques mineures de l'archidiocèse sont :


title: Charles Workman

text: Charles Workman est un mafieux américain membre de la Yiddish Connection né en 1908 à Manhattan, New York et décédé en janvier 1979, dans le Queens, New York .


title: Charles Workman

text: Workman a grandi dans le Lower East Side de Manhattan et a quitté l'école à 17 ans, où il était déjà connu comme voyou. Quand il eut 18 ans, il fut arrêté une première fois pour vol. En 1927, il fut de nouveau arrêté pour avoir tiré sur un homme lors d'une dispute pour , l'homme a survécu et n'a pas déposé plainte. Après sa peine, il a commencé à travailler pour la Murder Incorporated.


title: Charles Workman

text: Charlie (Charles) Workman était un tueur à gages pour la Murder Incorporated. géré par Lepke Buchalter et Albert Anastasia. La Murder Incorporated était spécialisée dans le recrutement de tueurs pour la mafia. Il est prouvé que Workman a été responsable de plus de 20 meurtres.


title: Charles Workman

text: Workman et un autre tueur à gages, Emanuel Weiss, ont tiré sur Dutch Schultz et trois de ses hommes, le 23 octobre 1935. Schultz a développé une péritonite à cause des balles rouillées des pistolets utilisés. Il est mort 22 heures après avoir été abattu.


title: Charles Workman

text: Workman a été reconnu coupable pour l'assassinat de Schultz et a passé 23 ans en prison.


title: Charles Workman

text: En 1940, Abe Reles dénonce ses anciens partenaires du Murder Incorporated, son témoignage a envoyé plusieurs de ses anciens amis à la chaise électrique, comme Lepke Buchalter, Emanuel Weiss, Frank Abbandando et Martin Goldstein, entre autres. Workman a été l'un des plus chanceux et a échappé à la peine de mort mais a été condamné à vie en 1941.


title: Charles Workman

text: En 1942, il a offert d'aider l'armée et est allé pour une mission suicide au Japon. Mais son patriotisme n'a pas suffit pour le libérer.


title: Charles Workman

text: En 1964, il a été mis en liberté conditionnelle et a trouvé un emploi dans l'industrie de vêtements.


title: Andrzej Witkowski

text: Andrzej Witkowski, né le , est un escrimeur polonais pratiquant le fleuret.


title: Henri de Gourcy

text: Antoine Henri Gaston, comte de Gourcy-Récicourt dit Henri de Gourcy, né le au château de Jallanges à Vernou-sur-Brenne et mort le au château de Chaltrait, est un capitaine de cavalerie et graveur français.


title: Henri de Gourcy

text: Le comte Henri de Gourcy appartient à une famille de la noblesse de Lorraine. Il est le fils de Charles Antoine comte de Gourcy et d'Adrienne de Bizemont.


title: Henri de Gourcy

text: Capitaine de cavalerie, il quitte l'armée en 1859 pour épouser Flavie Augustine de Mellet de Fayolle.


title: Henri de Gourcy

text: Revenu sous l'uniforme pour combattre durant la Guerre franco-prussienne de 1870, il est décoré de la Légion d'honneur en 1871.


title: Henri de Gourcy

text: Graveur amateur, élève de Maxime Lalanne, il fournit en eaux-fortes la maison Alfred Cadart et Luquet, de la Société des aquafortistes, puis livre quinze gravures pour "L'Illustration nouvelle" (1868-1881). On lui doit de nombreuses vues de châteaux français.


title: Henri de Gourcy

text: Il publie dans le journal "La France illustrée" une série de gravures et exécute des affiches pour des congrès.


title: BitTorrent (entreprise)

text: BitTorrent, Inc. est une entreprise de Californie qui a créé le protocole BitTorrent et qui a commercialisé le logiciel BitTorrent lui-même basé sur le protocole.


title: Magdalena Grabowska

text: Magdalena Grabowska, née Kumiet le , est une escrimeuse polonaise, pratiquant l'épée.


title: Nadège Dubospertus

text: , née le à Montfermeil et vivant à Milan, est un mannequin français dont la carrière s'est principalement déroulée en Italie avec le pseudonyme Nadège du Bospertus.


title: Nadège Dubospertus

text: Nadège Dubospertus est née à Montfermeil. Elle étudie l'économie jusqu'en 1988, lorsqu'elle elle est remarquée, à Paris, par un jeune photographe. Elle obtient rapidement sa première couverture pour le magazine français "20 ans", réalisée par le photographe Barbro Anderson. Le tournant de sa carrière se produit lorsque Herb Ritts la choisit pour la publicité de la campagne internationale d'une marque de produits capillaires. Elle apparaît, en un temps très court, sur les couvertures de mode| magazines de mode internationaux, dont "Marie Claire", le magazine allemand "Madame", "Elle", "W", "Joy", "Mirabella", deux fois en couverture de "Vogue Paris", le magazine italien "Vitality" ainsi que plusieurs autres couvertures de magazines italiens. Elle travaille alors avec des photographes tels que Patrick Demarchelier, Arthur Elgort, , Albert Watson, Walter Chin, Peter Lindbergh, Wayne Maser, Steven Meisel, Gilles Bensimon, Tizanio Magni, Neil Kirk, Bruce Weber, et bien sûr, Herb Ritts.


title: Nadège Dubospertus

text: Elle devient l'image publicitaire de campagnes internationales, dont celles de Ralph Lauren, Chanel, Sportmax ou Versace, et le parfum "Allure" de Chanel. Elle défile pour des créateurs de mode, dont Versace, Armani, Chanel, Les Copains, Day, , Laura Biagiotti, Dior, Ralph Lauren, Calvin Klein, Azzedine Alaïa dont elle est proche . Elle devient la muse de Giorgio Armani et de Versace.


title: Nadège Dubospertus

text: En 1995, elle co-présente avec Jean-Luc Delarue un talk-show diffusé chaque dimanche sur France 2, "Déjà le retour", avec des interviews de célébrités.


title: Nadège Dubospertus

text: En 1999, Mercedes-Benz la choisit comme égérie publicitaire de la campagne pour le lancement européen de la nouvelle voiture smart.


title: Nadège Dubospertus

text: Au début de 2009, elle est le sujet d'une série de photographies prises par Bob Krieger présentées lors de l'exposition Première VicenzaOro. Puis choisie pour la campagne AI2009/10 Enzo Fusco prise par le photographe Septime Benedusi.


title: Nadège Dubospertus

text: Vers 2012, elle est journaliste de mode du magazine .


title: Borislav Stefanović

text: Borislav Stefanović (en serbe cyrillique : ; né le à Novi Sad) est un homme politique serbe. Il est membre de la présidence du Parti démocratique (DS) et président du groupe parlementaire du DS à l'Assemblée nationale de la République de Serbie.


title: Borislav Stefanović

text: Borislav Stefanović naît le à Novi Sad. En 1993, il termine ses études secondaires dans la filière juridique du lycée de Sremski Karlovci puis sort diplômé de la Faculté de droit de l'université de Novi Sad en 1999.


title: Borislav Stefanović

text: De 1999 à 2002, il travaille pour le cabinet d'avocats de Fedora Kolesar à Novi Sad puis, à partir de 2002, au ministère des Affaires étrangères de la République fédérale de Yougoslavie (SRJ) et, à partir de 2003, à la Direction de l'analyse et de la planification de ce ministère.


title: Borislav Stefanović

text: De 2003 à 2006, Borislav Stefanović est secrétaire pour les relations avec le Congrès américain à l'ambassade de Serbie-et-Monténégro à Washington et, en 2006-2007, il est promu au grade de ministre-conseiller, d'ambassadeur adjoint et de chef du département politique de l'ambassade.


title: Borislav Stefanović

text: À partir de 2007, il est chef de cabinet du ministre des Affaires étrangères et directeur politique de ce ministère. En 2011, il est nommé à la tête de la délégation serbe dans le cadre des négociations avec Pristina.


title: Borislav Stefanović

text: Sur le plan politique, Borislav Stefanović devient membre du Parti démocratique (DS) de Boris Tadić en 2003.


title: Borislav Stefanović

text: Lors des élections législatives du , il figure sur la liste de la coalition Un choix pour une vie meilleure, soutenue par Tadić, le président sortant. La coalition recueille voix, soit 22,06 % des suffrages, ce qui lui vaut 67 sièges à l'Assemblée nationale de la République de Serbie ; Borislav Stefanović est élu député et devient président du groupe parlementaire du DS.


title: Borislav Stefanović

text: À l'Assemblée, en plus de cette fonction, il participe aux travaux de la Commission des affaires étrangères et de la Commission du Kosovo et de la Métochie.


title: Borislav Stefanović

text: Ne partageant plus l'orientation idéologique du Parti démocrate, qu'il juge trop à droite, il fonde en 2015 le parti La gauche de Serbie.


title: Borislav Stefanović

text: Il est agressé à coups de barre de fer le 23 novembre 2018. Son agression entraine des manifestations contre le régime autoritaire de Aleksandar Vučić.


title: Borislav Stefanović

text: Borislav Stefanović est père d'un enfant. Il parle anglais et espagnol.


title: Union des travailleurs de Colombie

text: L'Union des travailleurs de Colombie (: "") est un syndicat colombien fondé en 1946 et d'inspiration catholique. Il fut créé avec le soutien du Parti conservateur colombien.


title: Union des travailleurs de Colombie

text: L'origine de l'UTC se trouve dans un changement d'attitude de la hiérarchie catholique vis-à-vis du « danger communiste », et de l'amoralisme des classes populaires urbaines. En 1945, la Conférence épiscopale colombienne rappelle aux ouvriers la nécessité de respecter l'ordre naturel des choses et notamment le droit de propriété et du patron. Sur cette base, une "Federación Agraria Nacional" ( Fanal : Fédération agraire nationale) est créée en par des membres de l'Action catholique et de plusieurs membres des associations de producteurs agricoles (Federación de Cafeteros, etc.). en parallèle, se crée l' "Union de Trabajadores de Boyacá" (UTRABO : Union des travailleurs de Boyacá) qui se crée dans le Boyacá, un département rural aux relations sociales particulièrement archaïques. Un an après, suite l'échec de la "Confederación nacional de los trabadojes" créée par les partisans de Jorge Eliécer Gaitán au congrès fondateur de laquelle des observateurs de la hiérarchie catholique participent, est créé la "Unión Nacional de Trabadojes de Antioquia" (UTRAN : Union nationale des travailleurs d'Antioquia) sous l'égide de l"'Organización Católica Social Arquidiocesana" (OCSA : Organisation catholique sociale archidiocésaine) qui comprenait des membres de l'organisation patronale de l'Antioquia. Le lors d'un congrès à Bogota est créée l"'Unión de Trabadojes de Colombia" sur la base de la Fanal et de l'Utran et rassemblant 24 syndicats, dont 11 appartiennent à l'Utran. En plus du soutien de l'Église catholique colombienne, l'UTC reçoit aussi celui du Parti conservateur colombien. L'UTC connait alors une certaine expansion pendant deux ans, particulièrement dans les zones où le poids de l'Église et du Parti conservateur est important. Elle bénéficie aussi du soutien de l'administration du Président Mariano Ospina Pérez qui veut éliminer les éléments les plus radicaux du mouvement ouvrier. Comme le reste du mouvement ouvrier, elle est profondément désorganisée pendant la période de "La Violencia".


title: Tuc (biscuit)

text: TUC est une marque commerciale de gâteaux apéritif faisant partie de la gamme LU, appartenant au groupe américain Mondelēz International (issu d'une scission de l'américain Kraft Foods). Vendus en Europe, Asie, Amérique du Nord et Afrique du Nord, les biscuits sont de forme octogonale (aspect de rectangle aux coins coupés) et de couleur jaune doré. La face est piquetée de trous (pour éviter les bulles de cuisson), et ceux du centre forment les lettres TUC.


title: Tuc (biscuit)

text: La marque TUC a été lancée par une biscuiterie familiale belge, Parein, en 1958. Celle-ci voulait lancer en Europe le « cracker » américain, et le nom fut choisi comme acronyme de « Trade Union Corporation », terme figurant dans un article de journal lu par Louis Parein lors du retour en avion de son voyage d'affaires effectué aux États-Unis. La biscuiterie fut rachetée par le groupe Lu-Brun en 1977.


title: Tuc (biscuit)

text: Outre le Tuc original, la gamme s'est progressivement enrichie de diverses saveurs, la première étant le gout bacon, en 1986. Elle est de nos jours déclinée en différents formats : TUC Break, TUC Crispy, TUC Crack's. Depuis que la marque appartient au groupe Kraft Foods (renommé Mondelez en 2012), elle apparaît également mélangée à d'autres produits du groupe, comme le Milka Tuc. L'intégralité de la gamme TUC est fabriquée en Belgique.Les TUC sont régulièrement mis en cause pour leurs effets négatifs sur l'organisme : contenant une quantité importante d'huile de palme et de sel, ils causent une augmentation des risques de maladies cardio-vasculaires. Ils ont été également épinglés par l'association 60 millions de consommateurs car contenant du sulfite de sodium, classé comme toxique.


title: Río San Francisco (Colombie)

text: Le río San Francisco, également appelé río Vicachá, est un cours d'eau de Colombie. Lors des premières années suivant la fondation de "Nuestra Señora de la Esperanza", qui devint plus tard Bogota, le río San Francisco délimitait la ville au nord.


title: Río San Francisco (Colombie)

text: Le río San Francisco prend sa source dans le páramo de Cruz Verde, au pied du cerro de Monserrate, dans le département de Cundinamarca. Il est canalisé dès les abords de Bogota.


title: Río San Francisco (Colombie)

text: Au croisement de l'actuelle "avenida Caracas" et de la "calle Sexta", le río San Francisco rejoint, sous terre, le , non loin du bâtiment de Médecine légale.


title: Río San Francisco (Colombie)

text: La canalisation souterraine chemine tout au long de l'avenue de "Los Comuneros", appelée également "calle Sexta". Le río San Francisco redevient visible "carrera 24" puis, après une déviation, il reçoit les eaux usées des quartiers Primavera, Jasmín, Galán, San Rafael et Pradera. Il traverse la "carrera 68" pour rejoindre, à la hauteur de l'avenue Boyáca, le río Fucha, appelé aussi río San Cristóbal.


title: Río San Francisco (Colombie)

text: Le río San Francisco et plusieurs autres petits cours d'eau traversent ainsi Bogota jusqu'à l'extrémité sud-ouest du plateau où est située la capitale de la Colombie, plus précisément dans la partie sud de l'Altiplano Cundiboyacense de la Cordillère orientale. Ces petits cours d'eau rejoignent le "río Bogotá", ou "río Funza", qui plonge au bord du plateau, à Tequendama formant ainsi une magnifique chute d'eau de , le Salto del Tequendama. Le río San Francisco, initialement appelé río Vicachá, qui signifie "Éclat de la nuit", bénéficiait d'un puissant débit pourvoyant à l'approvisionnement en eau de toute la ville.


title: Río San Francisco (Colombie)

text: La paroisse de "Las Nieves" le délimitait au sud. En 1550, lors de l'établissement de la communauté religieuse franciscaine et la construction de l'église de San Francisco sur sa rive nord, le nom de río San Francisco lui fut donné.


title: Río San Francisco (Colombie)

text: Pendant les années 1930, le río fut canalisé et, à l'emplacement libéré, fut tracée l'avenue Jiménez de Quesada. Entre 1999 et 2001, sur cette avenue, fut établi l"'Eje Ambiental", axe important de Bogota.


title: Río San Francisco (Colombie)

text: En 1551, le premier pont sur le río San Francisco, le pont de San Miguel, fut construit. Il était en bois et ne tarda pas à être détruit par le courant. Il fut reconstruit en pierre en 1602.


title: Río San Francisco (Colombie)

text: D'autres ponts virent le jour à mesure que Bogota se développait. La ville compte aujourd'hui dix-huit ponts.


title: Alfred W. Crosby

text: Alfred Worcester Crosby Jr., né le à Boston et mort le à Nantucket, est un historien, professeur et auteur de livres tels que "The Columbian Exchange" (l'Échange colombien - 1972), " Ecological Imperialism" (1986) ou "The Measure of Reality".


title: Alfred W. Crosby

text: Dans ses travaux, il donne des explications biologiques et géographiques sur le fait que les européens ont été en mesure de conquérir relativement facilement les autres continents dont l'Amérique du nord et du sud.


title: Alfred W. Crosby

text: D'après l'historien , Crosby a ajouté la biologie au processus de l'exploration humaine, donnant des explications à des évènements aussi divers que la conquête de l'Amérique centrale par les Conquistadors ou la chute de l'empire Inca.


title: Alfred W. Crosby

text: Crosby est professeur émérite à l'université du Texas à Austin, intervient à l'université de Washington, de Yale, en Nouvelle-Zélande et en Finlande.


title: Institut d'éducation motrice

text: Un Institut d'éducation motrice (IEM) est en France un établissement médico-social qui propose des prises en charge pour les enfants et adolescents sujets à une déficience motrice importante.Les IEM accueillent et accompagnent :


title: Institut d'éducation motrice

text: Les enfants et adolescents en IEM disposent des mêmes garanties de leurs droits fondamentaux, y compris en termes de scolarisation, que les catégories de publics accueillis ou accompagnés dans les autres catégories d’ESSMS.


title: Institut d'éducation motrice

text: Le financement des IEM est assuré par l'Assurance maladie et fait l’objet d’une tarification par le directeur général de l’agence régionale de santé.


title: Big Science

text: Le terme Big Science (en français, mégascience) est utilisé pour désigner un type de science apparu pendant et après la Seconde Guerre mondiale, requérant de larges investissements financiers et financé principalement par des gouvernements ou des groupements gouvernementaux internationaux.


title: Big Science

text: Les efforts d'un individu ou d'un petit groupe (la "Small Science") sont encore pertinents aujourd'hui, car ils peuvent conduire à des résultats théoriques ayant un impact significatif. Cependant, la vérification empirique de ces résultats théoriques nécessite souvent des expériences utilisant des constructions, comme le grand collisionneur de hadrons (LHC), coûtant des milliards de dollars.


title: Big Science

text: Bien que la science et la technologie aient toujours été des facteurs importants dans l'issue des guerres et aient toujours été financées par les autorités militaires, l'augmentation du financement de la science militaire après la Deuxième Guerre mondiale n'a pas de précédent dans l'histoire. La Seconde Guerre mondiale a souvent été appelée la "guerre des physiciens" à cause du rôle joué par ces scientifiques dans le développement de nouvelles armes, notamment la fusée, le radar, et la bombe atomique. La majeure partie du développement du radar et de la bombe atomique ont eu lieu dans une nouvelle forme de centre de recherche : un grand laboratoire parrainé par le gouvernement, employant des milliers de techniciens et de scientifiques, et géré par des universités (dans ces deux cas, l'Université de Californie et le "Massachusetts Institute of Technology").


title: Big Science

text: Après l'explosion des premières bombes atomiques, l'importance de la recherche scientifique est devenue évidente pour tout pays souhaitant jouer un rôle majeur dans la politique internationale. Après le succès du Projet Manhattan, les gouvernements sont devenus les grands commanditaires de la science et le fonctionnement de la recherche a subi plusieurs changements importants. Cela a été particulièrement marqué aux États-Unis et en Union soviétique pendant la guerre froide, mais aussi, dans une moindre mesure, dans de nombreux autres pays.


title: Big Science

text: La "Big Science" implique généralement une ou plusieurs des caractéristiques suivantes :À la fin du , on comptait des projets de "Big Science" non seulement en physique et en astronomie, mais aussi dans les sciences de la vie (par exemple, le projet du génome humain). Les lourds investissements du gouvernement et des industriels dans la science académique ont également brouillé la frontière entre la recherche publique et la recherche privée, où des départements universitaires entiers, même dans les universités publiques, sont souvent financés par des entreprises privées. Les militaires ont été à l'origine des premiers projets de "Big Science", mais aujourd'hui, on compte plusieurs projets de "Big Science" qui ne sont pas des projets militaires.


title: Big Science

text: L'avènement de la "Big Science" a généré de nouveaux problèmes dans la gestion des sciences et a suscité certaines critiques.


title: Big Science

text: Par exemple, les résultats des expériences de la "Big Science", qui nécessitent des machines massives et uniques comme les accélérateurs de particules, sont souvent difficiles à vérifier et à reproduire. Aussi, l'accès aux gigantesques installations scientifiques de la "Big Science" est souvent limité aux chercheurs reconnus, ce qui conduit à des accusations d'élitisme.


title: Big Science

text: L'augmentation du financement gouvernemental se traduit souvent par une augmentation du financement militaire, ce qui, selon certains, trahit l'idéal du Siècle des Lumières qui est la quête de la connaissance pour elle-même. Par exemple, l'historien Paul Forman a fait valoir que, pendant la Seconde Guerre mondiale et la guerre froide, l'attribution massive de fonds liés à la défense a incité un changement dans la recherche en physique en déplaçant l'accent de la recherche fondamentale à la recherche appliquée.


title: Big Science

text: Plusieurs scientifiques se plaignent également que l'exigence d'un financement accru les force à investir une grande partie de leur temps dans la recherche de subventions et dans d'autres activités bureaucratiques budgétaires. Aussi, les connexions intenses entre les intérêts académiques, gouvernementaux et industriels ont soulevé des doutes sur l'objectivité des scientifiques lorsque les résultats de leurs recherches peuvent être en conflit avec les intérêts de leurs commanditaires.


title: Big Science

text: En outre, un large partage des connaissances scientifiques est nécessaire pour le progrès rapide des sciences fondamentales et appliquées. Toutefois, le partage de données peut être entravé pour diverses raisons. Par exemple, les découvertes scientifiques peuvent être interdites de publication par des intérêts militaires ou brevetés par des entreprises. La compétition pour les fonds de recherche peut également augmenter les cachotteries entre les scientifiques, car les évaluateurs peuvent valoriser l'unicité et l'originalité d'un projet plutôt que des améliorations à des sujets connus.


title: Big Science

text: La vulgarisation de l'expression "Big Science" est généralement attribuée à un article d'Alvin Weinberg, alors directeur du Laboratoire national d'Oak Ridge, publié dans la revue Science en 1961. Cet article était une réponse au discours d'adieu de Dwight D. Eisenhower, dans lequel le président sortant des États-Unis mettait en garde contre les dangers de ce qu'il appelait le complexe militaro-industriel et la soumission potentielle « des chercheurs de la nation au gouvernement fédéral, aux allocations de recherche et au pouvoir de l'argent ». Weinberg a comparé les grands projets de la science du aux merveilles des civilisations passées (les pyramides d'Égypte, le palais de Versailles) :


title: Big Science

text: L'article de Weinberg a mentionné des dangers que la "Big Science" faisait courir à la science et il a suggéré de limiter la "Big Science" aux laboratoires nationaux et de prévenir son incursion dans le système universitaire.


title: Big Science

text: Depuis l'article de Weinberg, il y a eu de nombreuses études historiques et sociologiques sur les effets de la "Big Science" à la fois dans et hors des laboratoires. Peu de temps après cet article, Derek Price a donné une série de conférences qui ont été publiées en 1963 dans un livre intitulé "Little Science, Big Science". Le livre décrit la transition historique et sociologique de la "Little Science" à la "Big Science" et les différences qualitatives entre les deux. Le livre a inspiré le domaine de la scientométrie ainsi que de nouvelles perspectives sur la science à grande échelle dans d'autres domaines.


title: Big Science

text: L'historien de Harvard Peter Galison a écrit plusieurs livres portant sur la formation de la "Big Science". Les principaux thèmes comprennent l'évolution de la conception expérimentale, des expériences sur tables de laboratoire aux projets de collisionneurs d'aujourd'hui ; les changements associés dans les normes de preuve ; et les modèles de communications entre des chercheurs dont l'expertise ne se recouvre que partiellement. Galison a introduit la notion de "zones commerciales", empruntée à l'étude sociolinguistique des pidgins, pour caractériser la manière dont ces groupes apprennent à interagir.


title: Big Science

text: D'autres historiens ont postulé de nombreux précurseurs à la "Big Science" : l'Uraniborg de Tycho Brahe (dans lequel des instruments astronomiques importants ont été construits, souvent avec peu d'utilité pratique) et le grand laboratoire de cryogénie établi par Heike Kamerlingh Onnes en 1904 ont été cités comme des exemples de "Big Science".


title: Analyse harmonique non commutative

text: L'analyse harmonique non commutative est une branche des mathématiques qui est parvenue à maturité vers la fin des années 1970 ; elle généralise l'analyse harmonique classique et consiste, comme cette dernière (qui remonte au ), à développer une fonction en composantes fondamentales. Elle a des applications dans de nombreux domaines : les équations aux dérivées partielles qui, avec leurs problèmes aux bords, ont des groupes de symétrie non commutatifs ; la Mécanique quantique ; récemment, les sciences de l'ingénieur (traitement d'images, robotique, chimie, théorie des systèmes dynamiques non linéaires, etc.) ; la théorie des nombres (, ).


title: Analyse harmonique non commutative

text: L'analyse harmonique, à ses débuts, considérait des fonctions périodiques et en réalisait la décomposition en série de Fourier. Une fonction périodique (de période 1, après normalisation) peut être considérée comme définie sur le tore formula_1, et la théorie des groupes commutatifs localement compacts montre que l'« espace dual » du tore, sur lequel dont définis les coefficients de Fourier, est l'ensemble formula_2 des entiers relatifs, qui est de nouveau un groupe abélien ; aussi les coefficients de Fourier d'une fonction périodique forment-ils une suite de nombres complexes. Réciproquement, quand on réalise la synthèse de Fourier, on passe par la « formule de Plancherel » des coefficients de Fourier, définis sur formula_2, à la fonction périodique dont ils sont issus, définie sur formula_4 qui est le « dual » de formula_2.


title: Analyse harmonique non commutative

text: Ceci est un cas particulier du théorème de dualité de Lev Pontryagin et Egbert van Kampen, qui montre que le « bidual » d'un groupe localement compact commutatif "G" s'identifie à "G". D'autre part, on peut associer à une fonction définie sur la droite réelle formula_6 sa transformée de Fourier, elle aussi définie sur formula_6, qui est son propre dual ; puis on peut faire l'opération inverse, par la formule de Plancherel. L'analyse harmonique consiste donc à associer à une fonction, définie sur un groupe topologique "G" (qu'on supposera être un groupe de Lie quand on voudra définir sur ce groupe, par exemple, la notion de dérivée), une autre fonction, définie sur l'« espace dual » formula_8 de ce groupe.


title: Analyse harmonique non commutative

text: Celui-ci est défini comme étant l'ensemble des classes d'équivalence des représentations unitaires irréductibles de "G" ; lorsque "G" est un groupe « apprivoisé », par exemple un groupe de Lie semi-simple, cet espace est muni d'une « topologie naturelle » et d'une mesure « canonique », la . Lorsque le groupe "G" est commutatif, ces représentations irréductibles s'identifient aux caractères de "G" ; formula_8 est alors de nouveau un groupe commutatif localement compact, et la mesure de Plancherel est la mesure de Haar sur formula_8 : ceci est lié au fait que, dans ce cas, toutes les représentations unitaires irréductibles de "G" sont de dimension (ou « degré ») 1.


title: Analyse harmonique non commutative

text: Sur un groupe non commutatif, ce n'est plus le cas, et déjà sur un groupe fini ou compact non commutatif, les « coefficients de Fourier » d'une fonction, qui constituent la « cotransformée de Fourier » de cette fonction, sont des matrices. On peut encore définir les caractères comme étant les traces des représentations irréductibles : dans le cas d'un groupe compact, ce sont des traces au sens usuel (traces de matrices) ; dans le cas d'un groupe non compact, ce sont des traces dans un sens généralisé qui est fondé à la fois sur la notion d'opérateur à trace et sur celle de distribution (« caractères de Harish-Chandra »).


title: Analyse harmonique non commutative

text: La « décomposition de Fourier » sur un groupe non commutatif non compact comporte une partie discrète, analogue aux coefficients de Fourier d'une fonction périodique : c'est la « série discrète » ; et une partie continue, analogue à la transformée de Fourier d'une fonction sur la droite réelle : c'est la « série principale ». La partie purement formelle de l'analyse harmonique non commutative peut être présentée assez simplement, par généralisations successives, en partant des développements en série de Fourier et de la transformation de Fourier sur la droite réelle puis sur un groupe commutatif, en envisageant ensuite le cas d'un groupe compact, enfin en montrant comment le « formalisme de Peter-Weyl » peut s'étendre au cas d'un groupe non compact.


title: Analyse harmonique non commutative

text: En revanche, dès qu'on veut, comme l'a fait Harish-Chandra, dépasser le cadre purement formel et expliciter dans le cas général la formule de Plancherel, qui permet de réaliser la synthèse de Fourier à partir des caractères, l'analyse harmonique non commutative est « hérissée de difficultés conceptuelles » et « nécessite des moyens techniques considérables », suivant les expressions de Jean Dieudonné. Le groupe formula_11 des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels et de déterminant 1 est le groupe non compact semi-simple de la plus petite dimension possible ; tout en restant relativement simple, il a une structure suffisamment riche pour donner un bon aperçu des points fondamentaux de la théorie générale.


title: Analyse harmonique non commutative

text: Frigyes Riesz et Ernst Sigismund Fischer en 1907 pour les séries de Fourier, Michel Plancherel en 1910 pour la transformation de Fourier, ont démontré les théorèmes qui portent leur nom (théorème de Riesz-Fischer et théorème de Plancherel) et qui sont au cœur de l'analyse harmonique commutative, respectivement sur le tore et sur la droite réelle. Leur extension sur un groupe commutatif a été réalisée par Pontryagin et van Kampen dans les années 1934-1935. L'analyse harmonique sur un groupe compact non commutatif a été établie par Hermann Weyl et son étudiant en 1927. Ces théories ont été réunies et simplifiées dans le livre d'André Weil publié en 1940, le théorème de Plancherel sur un groupe commutatif y trouvant sa forme générale.


title: Analyse harmonique non commutative

text: Le passage aux groupes non compacts non commutatifs s'est effectué sur la base de nombreux travaux dont un thème commun est la théorie des représentations : il faut citer en premier lieu les travaux portant sur les représentations des groupes finis : ceux de Ferdinand Georg Frobenius qui a introduit la notion de caractère d'un groupe non commutatif fini en 1896 et a démontré l'orthogonalité de deux caractères irréductibles ; le livre classique de William Burnside sur les groupes finis, paru en 1911 ; les relations d'orthogonalité d'Issai Schur (1924). Il convient de mentionner aussi les nombreux travaux portant sur les groupes et algèbres de Lie, dont Élie Cartan, Hermann Weyl, Claude Chevalley comptent parmi les protagonistes les plus notoires. Datant des années 1940, les travaux d'Israel Gelfand et ses collaborateurs Mark Aronovitch Naïmark et Dmitrii Abramovich Raikov (algèbres stellaires, représentations unitaires irréductibles), de John von Neumann et Francis Joseph Murray (algèbres de von Neumann, sommes continues d'espaces de Hilbert) ; plus tard, vers la fin des années 1950 et le début des années 1960, ceux de François Bruhat (distributions sur un groupe localement compact et représentations des groupes "p"-adiques) et Jacques Dixmier (algèbres stellaires, algèbres de von Neumann, mesure de Plancherel). S'appuyant sur le notions créées par Claude Chevalley, Emil Artin et George William Whaples, les travaux d'André Weil et John Tate ont montré à partir des années 1950 que toute la théorie algébrique des nombres peut se présenter comme une application de l'analyse harmonique sur les groupes d'adèles et d'idèles de corps de nombres .


title: Analyse harmonique non commutative

text: On peut faire remonter les débuts de l'analyse harmonique non commutative proprement dite à 1947, lorsque Gelfand et Naïmark, étudiant le groupe formula_12, ont déterminé deux types de représentations irréductibles : celles constituant la « », associées aux sous-groupes diagonaux, et dont les caractères s'expriment grâce aux « », et celles constituant la « série complémentaire », ces dernières n'entrant pas dans la formule de Plancherel car elles y ont un poids nul. Toutes les représentations irréductibles sont de l'un ou l'autre de ces types. Ils ont généralisé ce résultat en 1950 à tous les groupes classiques complexes.


title: Analyse harmonique non commutative

text: Mais en 1947 encore, Valentine Bargmann a mis en évidence dans le cas de formula_11 un phénomène qui n'intervenait pas dans le cas complexe : l'existence d'une « », analogue à la « série de Fourier généralisée » de Peter-Weyl dans le cas d'un groupe compact, ainsi que des relations d'orthogonalité semblables à celles des caractères des séries de Fourier, de ceux de Frobenius-Schur et de ceux de Peter-Weyl. Entre 1950 et 1955, Irving Segal et ont établi le cadre formel général. Mautner a montré en 1950 que le groupe formula_11 est « apprivoisé » (on dit aussi « de type I ») et a émis la conjecture qu'il en est de même de tous les groupes de Lie semi-simples. Cette conjecture a été démontrée par Harish-Chandra l'année suivante (1951).


title: Analyse harmonique non commutative

text: La théorie s'est ensuite orientée vers les calculs effectifs avec divers mathématiciens, dont Roger Godement, Atle Selberg (et sa formule des traces qui, obtenue en 1956, généralise la formule sommatoire de Poisson), et surtout Harish-Chandra. Ce dernier a explicité la formule de Plancherel pour formula_11 en 1952 ; puis il s'est lancé dans un programme colossal, dont la réalisation a demandé un quart de siècle, visant à expliciter la formule de Plancherel des groupes semi-simples, puis des groupes réductifs généraux. Un passage obligé était l'étude approfondie de la série discrète, travail qui à lui seul était considérable ; cette étude a été reformulée, selon un point de vue différent, par Michael Atiyah et Wilfried Schmid en 1977 dans un article de synthèse. L'aboutissement des travaux de Harish-Chandra a été publié entre 1970 et 1975. Le cas des groupes nilpotents a été étudié à partir des idées d'Alexandre Kirillov (« méthode des orbites ») qui ont mûri vers la même période. Parmi les groupes résolubles non nilpotents, certains sont « apprivoisés », donc susceptibles de donner lieu à une analyse harmonique, d'autres non ; un critère obtenu par Louis Auslander et Bertram Kostant en 1967 permet de les distinguer.


title: Analyse harmonique non commutative

text: Pour résumer en une courte phrase les travaux ci-dessus, on peut dire que la cotransformation de Fourier et la transformation de Fourier sont des opérations inverses l'une de l'autre de formula_16 sur formula_17, "G" étant le groupe considéré, formula_8 son dual, et ces transformations étant "in fine" explicites ; c'est une généralisation du théorème de Plancherel. Parallèlement, Laurent Schwartz a généralisé ce théorème en 1948, dans une autre direction, celle de la transformation de Fourier des distributions tempérées : dans le cas où formula_19, le théorème de Plancherel reste valide si l'on remplace formula_20 par formula_21, l'espace de Schwartz, ou son dual formula_22, l'espace des distributions tempérées. et Friedrich Mautner, dans trois articles publiés entre 1955 et 1965, ont introduit la notion d'espace de Schwartz sur formula_11 ; cette approche a ensuite été généralisée par Harish-Chandra entre 1966 et 1976 au cas où "G" est un groupe de Lie semi-simple réel, puis au cas où "G" est un groupe réductif réel ou "p"-adique, faisant de l'«  » et son dual le cadre naturel de l'analyse harmonique non commutative. Néanmoins, la formule de Plancherel pour les groupes "p"-adiques est moins explicite que pour les groupes réels ; la classification des séries discrètes dans le cas "p"-adique reste un problème ouvert qui fait partie du programme de Langlands, et les applications de l'analyse harmonique non commutative à la théorie des nombres, qui ont commencé à se développer avec notamment Harish-Chandra, Armand Borel, Hervé Jacquet et Robert Langlands, restent un domaine dont l'exploration est loin d'être terminée.


title: Analyse harmonique non commutative

text: Dans tout ce qui suit, sauf mention du contraire, "espace topologique" signifie espace topologique séparé, localement compact et séparable, "groupe" signifie groupe topologique métrisable, séparable, connexe, localement compact et unimodulaire, "groupe de Lie" signifie groupe de Lie réel métrisable, séparable, localement compact, connexe et unimodulaire, "fonction" signifie fonction à valeurs complexes ; les espaces de Hilbert sont tous complexes et séparables. Un "opérateur" dans un espace de Hilbert "H" est un endomorphisme continu de "H" dans lui-même ; l'ensemble de ces opérateurs est une algèbre (sur le corps des complexes) notée formula_24. Un "automorphisme" de "H" (pour la structure d'espaces de Hilbert) est un élément formula_25 tel que formula_26 pour tous formula_27 ; l'ensemble de ces automorphismes est l'algèbre notée formula_28. Soit "X" un espace topologique muni d'une mesure de Radon formula_29 (ou soit formula_30 un espace mesurable et formula_29 une mesure « abstraite » sur formula_32) ; quand il n'y a pas d'ambiguïté, et sauf mention du contraire, deux fonctions formula_29-mesurable sur "X" et égales formula_29-presque partout ne sont pas distinguées. L'espace vectoriel des fonctions continues sur "X" est noté formula_35.


title: Analyse harmonique non commutative

text: Soit "G" un groupe et formula_36 une mesure de Haar sur "G" (invariante à gauche et à droite, puisque "G" est unimodulaire). Une "représentation unitaire" de "G" dans un espace de Hilbert "H" est un morphisme de groupes formula_37 tel que l'application formula_38 est continue pour tout formula_39. La dimension de "H" (finie ou infinie) est appelée le "degré" de "U". Toutes les représentations sont unitaires dans ce qui suit. Une représentation "U" est dite "irréductible" si tout sous-espace fermé non réduit à 0 de "H" et stable par "U" est nécessairement égal à "H". Deux représentations formula_40 et formula_41 sont "équivalentes" s'il existe un isomorphisme d'espace de Hilbert formula_42 tel que formula_43 pour tout formula_44. La "représentation triviale" de "G" dans "H" est l'application constante formula_45. Une "représentation scalaire" "U" est un multiple scalaire de la représentation triviale, c'est-à-dire telle que formula_46, où formula_47. Les "représentations régulières à gauche" "U" de "G" sont celles pour lesquelles formula_48, l'espace de Hilbert des classes (modulo l'égalité formula_36-presque partout) de fonctions à valeurs complexes de carré intégrable sur "G" par rapport à formula_36, et formula_51 est la translation à gauche formula_52 où formula_53 (formula_54) ; cette représentation est évidemment unitaire. On définit de même la représentation régulière à droite formula_55, où formula_56 (formula_54), et on peut raisonner sur l'une ou l'autre. Dans ce qui suit, « représentation régulière » signifie représentation régulière à gauche. Le problème central de l'analyse harmonique sur un groupe "G" (commutatif ou non) est, comme on va le voir, l'étude de la décomposition en composantes irréductibles de la représentation régulière de "G". Le lemme de Schur ci-dessous est un résultat classique d'algèbre lorsque l'espace de Hilbert "H" est de dimension finie ; lorsque "H" est de dimension infinie, c'est une conséquence de la théorie spectrale de Hilbert :


title: Analyse harmonique non commutative

text: On conviendra dans ce qui suit de ne pas distinguer deux représentations équivalentes, pour ne pas compliquer la terminologie.


title: Analyse harmonique non commutative

text: Un théorème dû à Gelfand et Raïkov montre que tout groupe "G" (localement compact) possède un système complet de représentations irréductibles, c'est-à-dire que pour tout élément formula_58, il existe un espace de Hilbert "H" et une représentation irréductible formula_59 telle que formula_60.


title: Analyse harmonique non commutative

text: Soit "Z" un espace topologique, formula_61 une mesure sur "Z", formula_62 une famille d'espaces de Hilbert, et formula_63 ; la famille formula_62 est appelée un champ d'espaces de Hilbert, un élément formula_65 où formula_66 est appelé un champ de vecteurs, un élément formula_67 où formula_68 est appelé un champ d'opérateurs. Le champ formula_62 est dit formula_61-mesurable s'il existe un sous-espace "S" de "V" tel que (i) pour tout champ de vecteurs formula_71, la fonction à valeurs réelles formula_72 est formula_61-mesurable, (ii) si formula_74 est tel que pour tout formula_75, la fonction formula_76 est formula_61-mesurable, alors formula_78, (iii) il existe dans "V" une suite formula_79 de champs de vecteurs telle que pour tout formula_80, la suite formula_81 soit totale dans formula_82. S'il en est ainsi, un champ de vecteurs "f" est dit formula_61-mesurable si pour tout "i", la fonction formula_84 est formula_61-mesurable ; il est dit de carré intégrable (par rapport à formula_61) s'il est formula_61-mesurable et si


title: Analyse harmonique non commutative

text: Les champs de vecteurs de carré intégrable forment un espace préhilbertien complexe "K" ; en quotientant par le sous-espace formé par les champs de vecteurs formula_61-négligeables, on obtient un espace préhilbertien séparé "H", et on peut montrer que "H" est complet, donc est un espace de Hilbert. C'est cet espace qui est appelé la "somme continue" du champ d'espaces de Hilbert formula_62. Il est noté


title: Analyse harmonique non commutative

text: Si "Z" est discret, cette "somme continue" est une somme hilbertienne et les formula_82 s'identifient canoniquement à des sous-espaces hilbertiens de "H" (ce qui est inexact, en général, si "Z" n'est pas discret).


title: Analyse harmonique non commutative

text: Soit maintenant "G" un groupe et formula_93 une famille, chaque formula_94 étant une représentation unitaire de "G" dans l'espace de Hilbert formula_82 ; formula_93 est appelée un champ de représentations unitaires. Si les fonctions formula_97 sont toutes mesurables, il existe une représentation unitaire unique "U" de "G" dans "H" telle que la relation formula_98 équivaut à formula_99. On dit alors que "U" est la somme continue des formula_94 et on écrit


title: Analyse harmonique non commutative

text: Si les formula_94 sont irréductibles, on a donc une décomposition de "U" en somme continue de représentations irréductibles. C'est le cas de la décomposition en série de Fourier et la transformée de Fourier, que nous allons rappeler maintenant, ces représentations irréductibles étant alors « scalaires ».


title: Analyse harmonique non commutative

text: Soit formula_103 le tore défini plus haut, formula_104, et considérons la représentation régulière formula_105. On peut décomposer une fonction formula_39 en série de Fourier :


title: Analyse harmonique non commutative

text: où formula_108 est le « caractère » formula_109 (formula_110), formula_111, les coefficients de Fourier formula_112 sont donnés par


title: Analyse harmonique non commutative

text: et la série converge dans "H". En notant formula_114 la suite formula_115, on a formula_116, et il vient


title: Analyse harmonique non commutative

text: On a formula_118, et par conséquent, en posant formula_119, on obtient la « formule de Plancherel »


title: Analyse harmonique non commutative

text: L'espace de Hilbert "H" se décompose en la somme hilbertienne formula_121 et formula_122 est une base hilbertienne de "H". Soit formula_123 ; c'est un sous-espace hilbertien de dimension 1 de "H" (avec le produit scalaire habituel dans formula_124), et si formula_125, on a formula_126. La restriction de formula_105 à formula_128 est donc une représentation irréductible de degré 1, dite « scalaire », à savoir la multiplication par formula_108. On écrira donc formula_130. On peut encore noter "H" et formula_105 par les intégrales respectives formula_132 et formula_133 où formula_134 est la mesure définie par formula_135 (c'est-à-dire la mesure de Haar normalisée sur formula_2). Le groupe formula_8 des caractères est isomorphe à formula_2 et peut donc lui être identifié. Comme on va le voir plus loin, formula_2 est le « dual » du groupe formula_4 ; on peut récrire ce qui précède en notant formula_141 au lieu de "n" l'élément générique de formula_4. En notant formula_143 la norme de "f" dans formula_144 et formula_145 la norme de la suite formula_114 dans formula_147, l'égalité de Parseval (ou de Bessel-Parseval) s'écrit formula_148.


title: Analyse harmonique non commutative

text: On appelle "cotransformation de Fourier" la correspondance formula_149.


title: Analyse harmonique non commutative

text: Soit formula_150, formula_151, et "U" la représentation régulière de "G". Soit formula_152 une fonction suffisamment régulière (ce qui sera précisé plus loin). Sa transformée de Fourier est donnée par


title: Analyse harmonique non commutative

text: où formula_154 est la mesure de Lebesgue, formula_155 est le « caractère » formula_156, formula_157 et l'intégrale converge dans "H". On a cette fois


title: Analyse harmonique non commutative

text: et par transformée de Fourier inverse


title: Analyse harmonique non commutative

text: En posant formula_160, on appellera "formule de Plancherel" l'expression équivalente


title: Analyse harmonique non commutative

text: Soit formula_162 l'espace de Hilbert de dimension 1 engendré par formula_155. Alors "H" s'identifie à l'ensemble des fonctions (ou, plus exactement, des classes de fonctions modulo l'égalité presque partout) formula_164 de carré intégrable telles que formula_165. Si formula_166, on a formula_167. La situation est donc semblable à la précédente (si ce n'est qu'au lieu de la "cotransformation" de Fourier on a considéré cette fois la "transformation" de Fourier) : la représentation régulière formula_105 se décompose en représentations irréductibles formula_169 dans les espaces formula_170, et formula_171. L'espace de Hilbert "H" est la somme continue des espaces de Hilbert formula_170 et formula_105 est la somme continue des « représentations scalaires » (évidemment irréductibles) formula_169 relativement à la mesure de Lebesque. À la différence de ce qui précède, les formula_170 ne sont pas des sous-espaces de "H". On écrit donc formula_176 et formula_177. L'égalité de Parseval s'écrit formula_178.


title: Analyse harmonique non commutative

text: Considérons un groupe commutatif "G" noté multiplicativement, dont l'élément unité est noté "e", et sur lequel on a défini une mesure de Haar formula_179. Soit formula_180 le groupe multiplicatif des nombres complexes de module unitaire. Un "caractère unitaire" de "G" est un morphisme de groupes topologiques de "G" dans formula_180. Dans ce qui suit, « caractère » signifie caractère unitaire. L'ensemble des caractères de "G" forme un groupe multiplicatif et commutatif, noté formula_8 et appelé le "groupe dual" de "G". Ce groupe est muni de la topologie de la , ce qui en fait un groupe topologique localement compact ; il est muni d'une mesure de Haar formula_183, unique à la multiplication près par un réel positif. On a formula_184 pour tout formula_44 car formula_186 et formula_187.


title: Analyse harmonique non commutative

text: Pour formula_44 et formula_189, notons formula_190 le nombre complexe formula_191. La transformée de Fourier d'une fonction formula_192 (où formula_193 désigne l'espace de Banach des fonctions intégrables sur "G") est donnée par


title: Analyse harmonique non commutative

text: Les propriétés suivantes découlent de calculs simples et vont être utiles : soit de nouveau, pour formula_195, formula_196 (formula_44) la translatée à gaucheformula_198 ; puisque la mesure de Haar formula_199 est invariante par translation, on a, si formula_200


title: Analyse harmonique non commutative

text: Par ailleurs, si formula_202, alors leur convolée formula_203 est encore dans formula_193, et on a


title: Analyse harmonique non commutative

text: En désignant par formula_206 la fonction formula_207, on a formula_208.


title: Analyse harmonique non commutative

text: Le théorème de Plancherel montre que si formula_209, alors formula_210. On peut choisir de manière unique la mesure de Haar formula_211 de façon que la transformée de Fourier se prolonge en une isométrie de formula_16 sur formula_17. Cette mesure de Haar formula_211 est dite "associée" à la mesure de Haar formula_215. En conséquence :


title: Analyse harmonique non commutative

text: \mathcal{F}\left[ f\right] \left( \hat{x}\right) \overline{


title: Analyse harmonique non commutative

text: Soit alors formula_216 et formula_217, d'où formula_218 et formula_219, soit encore formula_220. On peut écrire l'égalité de Parseval sous la forme


title: Analyse harmonique non commutative

text: de plus, on a


title: Analyse harmonique non commutative

text: On obtient de la sorte le résultat suivant, où formula_223 désigne le sous-espace vectoriel de formula_224 engendré par les fonctions formula_225 formula_226 :


title: Analyse harmonique non commutative

text: le bidual de "G" et formula_227 l'application canonique de "G" dans formula_228. Soit formula_229 la "cotransformation de Fourier" définie par


title: Analyse harmonique non commutative

text: Soit formula_231 ; alors on a la "formule d'inversion de Fourier"


title: Analyse harmonique non commutative

text: On a peut maintenant énoncer l'un des résultats les plus importants de l'analyse harmonique sur un groupe commutatif :


title: Analyse harmonique non commutative

text: la mesure sur formula_228 associée à formula_237. L'application canonique formula_227 de "G" dans formula_228 est un isomorphisme de groupes topologiques qui transforme formula_179 en formula_241. En identifiant "G" et formula_228 par cet isomorphisme, la cotransformation de Fourier de formula_243 sur formula_244 et la transformation de Fourier de formula_244 sur formula_243 sont inverses l'une de l'autre.


title: Analyse harmonique non commutative

text: Si "G" est compact, et la mesure formula_36 est normalisée de sorte que formula_248, alors formula_8 est discret et chacun de ses points a une mesure égale à 1. Inversement, si "G" est discret, et chaque point a une mesure égale à 1, alors formula_8 est compact, et formula_251.


title: Analyse harmonique non commutative

text: Posons alors, comme plus haut, formula_252 ; avec ces identifications on obtient la "formule de Plancherel", valide pour toute fonction formula_231 :


title: Analyse harmonique non commutative

text: On a montré plus haut comment cette formule se déduit de l'égalité de Parseval. Inversement, l'égalité de Parseval de déduit de cette formule en posant formula_255 et formula_256. La formule de Plancherel est donc essentiellement équivalente à l'égalité de Parseval.


title: Analyse harmonique non commutative

text: Soit formula_257, formula_105 la représentation régulière de "G", formula_259 l'espace de Hilbert de dimension 1 engendré par le caractère formula_141, et formula_261 la représentation « scalaire » de "G" dans formula_259 définie par formula_263 puisque pour formula_264,


title: Analyse harmonique non commutative

text: L'espace de Hilbert "H" s'identifie ("via" la transformation de Fourier) à l'ensemble des fonctions formula_266 telles que formula_267. Par conséquent, "H" s'identifie à la somme continue d'espaces de Hilbert formula_268, et formula_105 s'identifie à la somme continue de représentations scalaires formula_270. Le résultat suivant, qu'on peut déduire directement du lemme de Schur, reformule partiellement le théorème de dualité de Pontryagin-van Kampen :


title: Analyse harmonique non commutative

text: L'analyse harmonique sur un groupe compact "G" généralise le développement en série de Fourier d'une fonction périodique, lequel correspond au cas où "G" est le tore formula_4. Tout groupe compact est unimodulaire ; la mesure de Haar formula_36 est normalisée, de sorte que formula_248. Si formula_274, alors formula_275 est une fonction continue sur "G" ; et puisque formula_276, l'espace de Hilbert formula_257 est une algèbre de convolution ; c'est donc une algèbre hilbertienne (voir ci-dessous) munie de l'involution formula_278 où formula_279.


title: Analyse harmonique non commutative

text: Une algèbre hilbertienne "H" est une algèbre involutive (i.e. munie d'une involution formula_280) et d'un produit scalaire vérifiant (ainsi que d'autres propriétés) formula_281. Une telle algèbre, quand elle est complète, est la somme hilbertienne d'un ensemble dénombrable de sous-algèbres formula_282:


title: Analyse harmonique non commutative

text: où chaque formula_284 est simple (i.e. ses seuls idéaux bilatères fermés sont 0 et formula_284) et est un idéal bilatère minimal de "H" (i.e. tout idéal bilatère de "H", inclus dans formula_284, est égal à formula_284). Les formula_284 s'annulent mutuellement (i.e. si formula_289, formula_290, formula_291, alors formula_292, en dénotant par formula_293 le produit dans "H"). Chaque formula_284 est la somme hibertienne d'idéaux à gauche minimaux formula_295 (formula_296, où formula_297 est un ensemble dénombrable d'indices) deux à deux isomorphes et orthogonaux, et formula_298 où les formula_299 sont des idempotents (i.e. formula_300) autoadjoints (i.e. stables par l'involution) minimaux.


title: Analyse harmonique non commutative

text: Soit formula_301 une base hilbertienne de formula_302 telle que formula_303 et formula_304 où formula_305 est un coefficient normalisateur. Les formula_306 sont les coefficients de formula_307 ; ils sont autoadjoints et, pour "j" fixé, forment une base orthonormale de formula_295. Quand "j", "k" et "n" varient, les formula_306 forment une base hilbertienne de formula_310. On a les relations


title: Analyse harmonique non commutative

text: (où formula_312 est la transposée-conjuguée) qui entraînent que formula_313 est unitaire. De plus, l'application formula_314 est continue et est donc une représentation (unitaire continue) de "G" dans formula_315 (muni du produit hermitien habituel). Les représentions formula_307 sont donc les représentations irréductibles ; leur ensemble, qui est dénombrable, est noté formula_8, et l'élément générique de formula_8 est noté formula_141. On écrira dans ce qui suit formula_320. Le "caractère" associé à formula_141 est formula_322, où formula_323 désigne la trace ; ceci généralise la notion de caractère d'une représentation d'un groupe fini. Soit formula_324 (où formula_325 est l'ordre de la matrice formula_141).


title: Analyse harmonique non commutative

text: [f]_{\hat{x}}=\int_{G}\hat{x}\left( x\right) f(x)dm_G(x) \in \mathbb{C}^{d(\hat{x})\times d(\hat{x})}


title: Analyse harmonique non commutative

text: Les deux égalités suivantes sont immédiates :


title: Analyse harmonique non commutative

text: Soit formula_17 la somme hilbertienne des espaces de Hilbert formula_333 : formula_17 est l'espace des familles formula_335 telles que formula_336, muni du produit scalaire


title: Analyse harmonique non commutative

text: Ci-dessous, on notera une famille comme une fonction. Le produit scalaire dans formula_16 est dans ce qui suit


title: Analyse harmonique non commutative

text: [f],\overline{\mathcal{F}}[f]\right\rangle _{L^{2}\left( \hat{G}\right) }


title: Analyse harmonique non commutative

text: (égalité de Parseval), ou plus explicitement


title: Analyse harmonique non commutative

text: On inverse la cotransformation de Fourier à partir de l'égalité de Parseval en procédant comme dans le cas commutatif, "mutatis mutandis", c'est-à-dire en posant formula_341, formula_342. En définissant formula_223 comme plus haut, on obtient de cette façon, pour toute fonction formula_231 et tout formula_44


title: Analyse harmonique non commutative

text: d\left( \hat{x}\right) Tr\left\{ \hat{x}^{\ast }\Phi(\hat{x})\right\} :x\mapsto \mathcal{F}\left[ \Phi \right] \left( x\right) =\sum_{\hat{x}\in \hat{G}}d\left( \hat{x}\right) Tr\left\{ \hat{x}^{\ast }(x)\Phi(\hat{x})\right\} .


title: Analyse harmonique non commutative

text: Les applications formula_347 et formula_348 sont des isomorphismes réciproques entre les espaces de Hilbert formula_349 et formula_350.


title: Analyse harmonique non commutative

text: Pour toute fonction formula_351, soit le "caractère de Weyl"


title: Analyse harmonique non commutative

text: on a pour tout formula_44 la "formule de Plancherel"


title: Analyse harmonique non commutative

text: La "transformation de Fourier" sur formula_328 ou formula_349 n'est pas compatible avec le produit de convolution dans le cas non commutatif. En effet, supposons qu'on définisse


title: Analyse harmonique non commutative

text: On obtient alors formula_358, « dont personne ne veut ».


title: Analyse harmonique non commutative

text: Soit "H" un espace de Hilbert. Une algèbre formula_359 est une algèbre de von Neumann si elle est stable pour l'involution de formula_24 (c'est-à-dire si elle est autoadjointe) et faiblement fermée. Sa norme vérifie formula_361, et c'est donc une algèbre stellaire. On désigne par formula_362 l'ensemble des opérateurs "u" autoadjoints positifs (on écrira formula_363) de formula_364. Une "trace" (au sens de von Neumann) sur une algèbre de von Neumann formula_364 est une application formula_366 telle que


title: Analyse harmonique non commutative

text: où l'on convient que formula_369, et


title: Analyse harmonique non commutative

text: Une trace est dite "finie" si elle ne prend que des valeurs finies dans formula_372 ; on la prolonge alors à formula_364 d'une manière évidente. Elle est dite "semi-finie" si pour tout formula_374


title: Analyse harmonique non commutative

text: Une algèbre de von Neumann est dite "finie" (resp. "semi-finie") si pour tout formula_376, formula_377, il existe une trace finie (resp. semi-finie) formula_323 telle que formula_379. Une "trace non triviale" est une trace qui n'est pas identiquement nulle.


title: Analyse harmonique non commutative

text: Une algèbre de von Neumann est un "facteur" si son centre se réduit aux opérateurs scalaires (et est donc isomorphe à formula_124). Sur un facteur, une trace non triviale est unique (à la multiplication près par une constante) si elle existe. Les facteurs pour lesquels il n'existe pas de trace non triviale sont dits de type III : ce cas est pathologique. Les autres (auxquels on se restreindra désormais) sont dits de type I ou II. Parmi les facteurs finis, il y a les algèbres de matrices formula_381 ; ces facteurs sont dits de type formula_382. Parmi les facteurs semi-finis non finis, il y a les algèbres formula_24 où "H" est un espace de Hilbert de dimension infinie ; ces facteurs sont dits de type formula_384. Un facteur de type formula_382 ou de type formula_384 est dit de type I. Les facteurs qui ne sont ni de type I, ni de type III, sont dits de type II.


title: Analyse harmonique non commutative

text: Un élément formula_387 est dit "de Hilbert-Schmidt" relativement à une trace formula_323 si formula_389. La "norme de Hilbert-Schmidt" d'un tel opérateur est formula_390.


title: Analyse harmonique non commutative

text: Soit "G" un groupe, formula_391, formula_105 la représentation régulière de "G" dans "H" et formula_364 l'algèbre de von Neumann engendrée par les formula_394. Il découle d'un théorème de Mautner, démontré à partir du lemme de Schur, qu'on peut décomposer formula_105 suivant une somme continue


title: Analyse harmonique non commutative

text: où formula_397 est un espace mesuré, chaque formula_94 est une représentation de "G" dans formula_399, formula_400, où chaque formula_401 est un facteur de type I (resp. II), muni d'une trace non triviale formula_402 (unique à la multiplication près par un coefficient >0) ; les représentations formula_94 sont dites "factorielles" de type I (resp. II). Soit, pour formula_404


title: Analyse harmonique non commutative

text: Cet opérateur et borné pour tout formula_406 et formula_407 où formula_408.


title: Analyse harmonique non commutative

text: Soit formula_409 la somme continue des espaces de Hilbert formula_410 : formula_409 est l'espace des familles formula_61-mesurables formula_413 telles que formula_414 (où formula_415 est la norme de Hilbert-Schmidt relativement à la trace formula_402) muni du produit scalaire


title: Analyse harmonique non commutative

text: Le produit scalaire dans formula_16 est défini comme dans le cas d'un groupe compact. Par densité de formula_419 dans formula_16, on obtient le résultat suivant :


title: Analyse harmonique non commutative

text: [f],\overline{\mathcal{F}}[f]\right\rangle _{L^{2}\left( \hat{G}\right) }


title: Analyse harmonique non commutative

text: (égalité de Parseval), ou plus explicitement


title: Analyse harmonique non commutative

text: Ce théorème implique évidemment que si formula_195, alors formula_423 formula_61-presque partout.


title: Analyse harmonique non commutative

text: L'égalité de Parseval permet d'inverser la cotransformation de Fourier (et de définir ainsi la "transformation de Fourier") en suivant la même méthode que celle qui a été utilisée sur un groupe commutatif, puis sur un groupe compact ; en définissant formula_223 comme plus haut, on obtient :


title: Analyse harmonique non commutative

text: \left[ f\right] (z)\right\} d\pi (z)=\mathcal{F}\left[ \overline{\mathcal{F}}\left[ f\right]  \right] (x),


title: Analyse harmonique non commutative

text: l'intégrale du membre de droite étant absolument convergente, et où on a posé


title: Analyse harmonique non commutative

text: Par densité de formula_223 dans formula_16, on peut étendre l'expression formula_429 à formula_16.


title: Analyse harmonique non commutative

text: Le même raisonnement que dans le cas commutatif montre que l'égalité de Parseval et la formule de Plancherel sont équivalentes.


title: Analyse harmonique non commutative

text: Ce qui précède est tout à fait général, les représentations factorielles formula_94 pouvant être de type I ou II. Néanmoins, les représentations de type II présentent des caractères pathologiques ; en particulier, elles admettent des décompositions en représentations irréductibles non équivalentes, ce qui ne peut pas se produire avec les représentations de type I.


title: Analyse harmonique non commutative

text: Un groupe "G" est dit de type I, ou « apprivoisé » (terminologie de Kirillov), si toutes ses représentations factorielles sont de type I. La classe des groupes apprivoisés contient celle des groupes commutatifs, des groupes compacts, des groupes (réels, complexes ou "p"-adiques) réductifs (et en particulier des groupes de Lie semi-simples) et des groupes de Lie nilpotents. En revanche, il existe des groupes de Lie résolubles et des groupes discrets non commutatifs qui ne sont pas apprivoisés (et sont donc « sauvages »).


title: Analyse harmonique non commutative

text: Sur un groupe apprivoisé, les représentations factorielles sont irréductibles. En identifiant deux représentations irréductibles équivalentes, l'espace mesuré formula_432 s'identifie donc avec formula_433, lespace dual" du groupe "G". Les opérateurs formula_434 ci-dessus sont alors des au sens usuel, leur trace a sa signification habituelle, et formula_237 est appelée la mesure de Plancherel"'. Dans le cas où "G" est compact, le théorème de Plancherel-Mautner-Segal se réduit à celui de Plancherel-Peter-Weyl, les espaces formula_436 étant alors de dimension finie, formula_8 étant discret, formula_438 étant la dimension formula_325 de formula_440, et les formula_434 étant des matrices carrées d'ordre formula_325.


title: Analyse harmonique non commutative

text: Soit "G" un groupe apprivoisé, par exemple un groupe de Lie semi-simple. Les représentations irréductibles de "G" ne sont pas de dimension finie en général ; la définition des caractères qui a été donnée à propos des groupes compacts n'est donc plus valide, puisque chaque formula_443 est un opérateur unitaire dans un espace de Hilbert de dimension infinie, et n'admet donc pas de trace. Soit formula_444 l'espace des fonctions indéfiniment dérivables sur "G" et à support compact, muni de sa topologie habituelle en théorie des distributions. Si formula_445,


title: Analyse harmonique non commutative

text: est un opérateur à trace.


title: Analyse harmonique non commutative

text: est une forme linéaire continue, donc une distribution, appelée "caractère de Harish-Chandra". La distribution formula_447 est régulière, définie par une fonction localement intégrable formula_448, de sorte que


title: Analyse harmonique non commutative

text: En notant formula_211 la mesure de Plancherel, on obtient la « formule de Plancherel abstraite » pour une fonction formula_451 sous la forme : pour tout formula_44,


title: Analyse harmonique non commutative

text: On peut se contenter d'évaluer la formule de Plancherel en formula_256. Elle peut alors s'interpréter comme un développement sur l'espace dual de la distribution de Dirac :


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text: Soit "G" un groupe de Lie, qu'on supposera semi-simple dans tout ce qui suit. Les représentations irréductibles forment trois « séries ». Les deux qui interviennent dans la formule de Plancherel sont les « séries tempérées ». L'autre, qui donne lieu à des termes globalement de mesure de Plancherel nulle, est la « série complémentaire » ; sa détermination exhaustive dans le cas général reste un problème ouvert, et les deux séries tempérées sont les plus importantes. Un est un sous-groupe abélien maximal. Il existe un nombre fini de classes de conjugaison de ces sous-groupes, et chacun d'eux est de la forme formula_456 où "T" est compact et "A" est isomorphe à formula_457 pour un certain entier "n". La série discrète existe si, et seulement s'il existe des sous-groupes de Cartan compacts ; les représentations irréductibles formula_458 de cette série se caractérisent par le fait que formula_459, et leur "caractère" est analogue à celui obtenu pour les groupes compacts par Peter et Weyl ; les représentations irréductibles de la série discrète ont, comme dans le cas compact, un degré fini, appelé « degré formel », formula_325. Les caractères des représentations irréductibles sont intégrés dans la série principale par rapport à une mesure absolument continue (par rapport à la mesure de Lebesgue) dont la densité est appelée « fonction de Plancherel ».


title: Analyse harmonique non commutative

text: Dans le cas de formula_461, il existe deux classes de conjugaison de sous-groupes de Cartan. L'une d'entre elles, à laquelle sera associée la série discrète, est constituée de groupes compacts isomorphes à formula_462 :


title: Analyse harmonique non commutative

text: L'autre, à laquelle sera associée la série principale, est constituée de groupes isomorphes à formula_464 (en passant par le logarithme) :


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text: L'aboutissement des travaux de Harish-Chandra est la formule de Plancherel « explicite », dont la démonstration prend près de 250 pages et qui s'écrit pourtant sous une forme concise :


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text: \Theta \left( H,\hat{x};\nu \right) \left( f\right) \mu \left( H,\hat{x};\nu \right) d\nu .


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text: La première sommation s'effectue sur un ensemble de représentants formula_466 des classes de conjugaison des sous-groupes de Cartan de "G" (avec la notation introduite plus haut). La seconde correspond à la série discrète, dont les éléments formula_467 ont pour degré formel formula_468. Les formula_469 sont les caractères de Harish-Chandra. Enfin, formula_470 est la fonction de Plancherel et formula_471 est la mesure de Lebesgue. L'avantage de la formule de Plancherel-Harish-Chandra sur la formule de Plancherel abstraite est qu'au lieu que l'intégration soit réalisée par rapport à la mystérieuse mesure de Plancherel, elle consiste maintenant en une somme discrète plus une intégration par rapport à la mesure de Lebesgue.


title: Analyse harmonique non commutative

text: Dans le cas de formula_472, la formule de Plancherel-Harish-Chandra s'écrit :


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text: Le premier terme est la série discrète, dont l'élément (i.e. la représentation irréductible) d'indice "n" a pour degré formel formula_474 ; les deux suivants constituent la série principale. Les formula_475 sont les caractères de Harish-Chandra, formula_476 et formula_477 sont les deux fonctions de Plancherel (l'une ou l'autre étant utilisée suivant la valeur de formula_478). On montre qu'il existe en outre deux séries complémentaires.


title: Analyse harmonique non commutative

text: Deux ouvrages difficiles qui se complètent. Analyse harmonique non commutative et théorie des nombres. Recueil de textes de conférences donnéees par d'éminents spécialistes, beaucoup d'entre elles proposant des synthèses. Algèbres normées, en particulier stellaires, et transformation de Fourier sur un groupe commutatif. Cotranformation de Fourier sur un groupe compact. Présentation synthétique de la théorie formelle. Applications aux sciences de l'ingénieur. Théorie spectrale de Hilbert (t. 2), des représentations (t. 5), des fonctions sphériques et de l'analyse harmonique commutative (t. 6). Sur un groupe compact, Dieudonné utilise (§ XXI.4) la transformation (et non la cotransformation) de Fourier, d'où l'incompatibilité (passée sous silence) avec le produit de convolution. Deux ouvrages qui « dominent le sujet » (Dieudonné dixit) et comportent chacun plus de 1000 références. Algèbres de von Neumann, mesure de Plancherel. État des connaissances concernant l'analyse harmonique sur les groupes "p"-adiques, au travers de textes de conférences données par des spécialistes éminents. Pour un lecteur connaissant déjà bien l'analyse harmonique non commutative « classique ». Initiation aux notions de base, par l'un des créateurs de la théorie (l'analyse harmonique non commutative n'est pas abordée). Les contributions essentielles de Harish-Chandra. Bon résumé des contributions essentielles de Harish-Chandra. Théorie des représentations, introduction à la mesure de Plancherel, par l'un de des principaux créateurs de l'analyse harmonique non commutative (mais cette dernière n'est pas exposée). L'étude de formula_11 est une des meilleures approches pour commencer à étudier de manière sérieuse l'analyse harmonique non commutative. Lang a écrit ce livre pour maîtriser lui-même le sujet « because of the obvious connection with number theory, principally through Langland's conjecture relating representation theory to elliptic curves ». Ouvrage ayant eu un grand rôle historique. Les principaux résultats de la thèse de J. Tate sont exposés sous une forme actualisée au chapitre XIV de : . Ouvrage difficile, orienté vers les applications de l'Analyse harmonique non commutative aux équations aux dérivées partielles. Ouvrage difficile, pour une étude approfondie. L'un des livres (avec celui de Serge Lang) par lesquels on peut conseiller de commencer l'étude de l'analyse harmonique non commutative. Cet ouvrage a joué un rôle historique considérable. Livre essentiel (c'est en cela qu'il est « basic ») sur la fonction zêta, la fonction "L" de Dirichlet, la transformation de Fourier sur les anneaux d'adèles, la théorie des corps de classes. Où il est montré que l'analyse harmonique est un moyen très efficace de présenter la théorie algébrique des nombres. Une des principales contributions de Hermann Weyl ; présentation détaillée la théorie des représentations des « groupes classiques » compacts.


title: Les Montagnes bleues

text: Les Montagnes bleues () est un film géorgien réalisé par Eldar Chenguelaia, sorti en 1983.


title: Les Montagnes bleues

text: Le personnage principal est un écrivain qui soumet son manuscrit à tous les membres d'un comité de lecture d'une maison d'édition. Les années passent et l'écrivain constate que, malgré ses efforts, la situation n'évolue pas. Personne ne semble se soucier de son manuscrit.


title: Fred Klein

text: Fred Klein peut se référer à :


title: Barrage d'Ituango

text: Le barrage d'Ituango ou Hidroituango est un barrage en construction situé en Colombie sur le río Cauca. Il devrait avoir une capacité hydroélectrique théorique de 2 400 MW. Sa construction a commencé en 2011. Sa mise en service aurait dû intervenir en 2018, mais a été retardée par un grave incident survenu en avril 2018. Début 2020, il était estimé que la première turbine pourrait entrer en service en décembre 2021.


title: Barrage d'Ituango

text: En 2018, des experts internationaux indiquent que « l'œuvre est au niveau de risque maximal d'un effondrement et que les matériaux utilisés dans la construction du barrage ne respectent pas les normes internationales ».


title: Louise de Budos

text: Louise de Budos, dame de Vachères, duchesse de Montmorency ( - ), fut la seconde épouse d'Henri Ier de Montmorency, Connétable de France, et plus tard la maîtresse du roi Henri IV de France.


title: Louise de Budos

text: Fille de Jacques de Budos, vicomte de Portes (1537-1596) et de Catherine de Clermont-Montoison (décédée en 1625), Louise de Budos naît le . Elle est la sœur ainé de Balthazar de Budos coadjuteur de l'évêque de Castres puis évêque d'Agde qui réalise une carrière ecclésiastique sous la protection de la famille de Montmorency.


title: Louise de Budos

text: À ses seize ans, elle est mariée par son père le à Jean de Gramont, seigneur de Vachères qui ne tarde pas à la laisser veuve l'année suivante.


title: Louise de Budos

text: En 1592, Henri Ier de Montmorency veuf de sa première femme, Antoinette de la Marck, avait à Pézenas auprès de lui Louise de Budos et sa mère. Une pauvre femme leur demanda un jour l'aumône, Louise insista auprès de sa mère pour qu'elle y consentît, et la mendiante remercia alors la jeune fille en lui donnant une petite bague qu'elle lui dit de passer au doigt du duc de Montmorency, et que son bon cœur en serait récompensé.


title: Louise de Budos

text: Le conseil fut suivi et peu après, le , à Agde, Henri épouse Louise. Il était de 41 ans son aîné, mais qu’importe pour Louise car les deux jeunes mariés furent heureux. Henri dira d’ailleurs de son épouse qu’elle était « la plus belle et la plus accomplie dame de son siècle ».


title: Louise de Budos

text: Le , Louise met au monde son premier enfant, une fille, Charlotte Marguerite, qui sera aimée d'Henri IV vieillissant et qui la maria à son cousin le prince de Condé, Henri de Bourbon-Condé. Quatre mois plus tard, elle est de nouveau enceinte, et le , au château de Chantilly, Louise met au monde son second enfant, un fils, Henri II de Montmorency.


title: Louise de Budos

text: En 1598, sa beauté séduit le roi de France, Henri IV, qui en fait aussitôt sa maîtresse mais elle n’est que passagère (le roi, ayant pour favorite en titre, Gabrielle d’Estrées). Ainsi Henri IV fait une infidélité (parmi tant d’autres), à sa maîtresse officielle, Gabrielle d’Estrées. Mais très amoureux de cette dernière, sa liaison avec la duchesse de Montmorency n’est que de très courte durée.


title: Louise de Budos

text: Le , à Chantilly, Louise de Budos s’éteint, alors qu’elle n’a tout juste que 23 ans, peut-être d’un assassinat. Les obsèques sont célébrées en grande pompe, le 3 décembre, dans l'église Saint-Nicolas-des-Champs de Paris.


title: Yasiel Puig

text: Yasiel Puig Valdes (né le à Cienfuegos, Cuba) est un joueur de champ extérieur des Ligues majeures de baseball présentement agent libre.


title: Yasiel Puig

text: Yasiel Puig joue pour l'équipe nationale de Cuba qui remporte la médaille de bronze au Championnat du monde de baseball junior en 2008.


title: Yasiel Puig

text: Il s'aligne avec les Elefantes de Cienfuegos, le club de sa ville natale, en "Serie Nacional", durant la saison 2008-2009. En 2009-2010, il s'illustre avec une moyenne de ,330 en 327 présences au bâton, 18 circuits, 47 points produits et 78 points marqués pour les Elefantes. Il joue aussi pour l'équipe de Cuba qui termine deuxième au tournoi World Port 2011 disputé à Rotterdam, aux Pays-Bas. En 2011 et 2012, il ne joue pas avec le club de Cienfugos après avoir été banni par la ligue, présumément parce qu'il est suspecté de vouloir faire défection de Cuba. Selon Peter Bjarkman, auteur et expert du baseball cubain, ce serait une arrestation pour vol à l'étalage durant le séjour de l'équipe nationale à Rotterdam pour le tournoi World Port qui aurait entraîné des mesures disciplinaires et amené Puig à tenter de quitter son pays.


title: Yasiel Puig

text: Au printemps 2012, Yasiel Puig, 21 ans, fait défection de Cuba et se réfugie au Mexique.


title: Yasiel Puig

text: Le , Yasiel Puig signe un contrat de 42 millions de dollars US pour 7 ans avec les Dodgers de Los Angeles de la Ligue majeure de baseball. Il s'agit du contrat le plus généreux jamais accordé à un joueur cubain ayant fait défection, battant les 36 millions pour 4 ans reçus des Athletics d'Oakland par Yoenis Céspedes en février précédent. Puig est immédiatement assigné par les Dodgers à leur club-école de niveau recrues dans la Ligue de l'Arizona.


title: Yasiel Puig

text: Pour amorcer la saison 2013, Puig gradue au niveau Double-A des ligues mineures et s'aligne avec les Lookouts de Chattanooga de la Ligue Southern, où il frappe pour ,313 à ses 40 premières parties avec 8 circuits, 37 points produits, 46 points marqués et 13 buts volés.