title: Telescopio

text: En otras versiones modificadas el tercer espejo, está detrás del espejo principal, en el cual hay practicado un orificio central por donde la luz pasa. El foco, en este caso, se encuentra en el exterior de la cámara formada por ambos espejos, en la parte posterior del cuerpo.


title: Astenosfera

text: La astenosfera o astenósfera (del griego ἀσθενός, ‘sin fuerza’ + σφαῖρα, ‘esfera’) es la zona superior del manto terrestre que está debajo de la litosfera, aproximadamente entre 30 y 130 kilómetros de profundidad hasta los 660 km. La astenosfera está compuesta por materiales silicatados dúctiles, en estado sólido y semifundidos parcial o totalmente (según su profundidad y/o proximidad a bolsas de magma), que permiten la deriva continental y la isostasia. Sobre ella se mueven las placas tectónicas.


title: Astenosfera

text: La litosfera, que constituye una extensión de la noción de corteza terrestre, englobando una parte relativamente rígida del manto superior, tiene un grosor medio de 101 km de espesor bajo los océanos y alrededor de entre 150 y 250 kilómetros bajo los continentes y cratones más antiguos.


title: Astenosfera

text: En la astenosfera existen lentos movimientos de convección que explican la deriva continental. Además, el basalto de la astenosfera fluye por extrusión a lo largo de las dorsales oceánicas, lo cual hace que se renueve y expanda constantemente el fondo oceánico. Mientras que donde la expansión encuentra un obstáculo representado por un continente, se hunde bajo este, volviendo así la materia del fondo a fundirse en el seno de la astenosfera y manto más profundo, fenómeno conocido como subducción.


title: Astenosfera

text: Por su parte inferior, la astenosfera va perdiendo sus propiedades más abajo de los 350 km y, progresivamente adquiere la rigidez del manto inferior hacia la profundidad de 850 km.


title: Astenosfera

text: En 1899, Dutton definió una zona rígida (corteza o litosfera hasta los 100 kilómetros de profundidad) y otra zona débil bajo esta a la que denominó astenosfera.


title: Astenosfera

text: Para explicar el fenómeno de la isostasia, Joseph Barrell estableció en 1914 la hipótesis sobre la existencia de la astenosfera, sin límite inferior, pues se desconocía la existencia del núcleo.


title: Astenosfera

text: En 1926, Beno Gutenberg descubrió que la velocidad de las ondas sísmicas se reduce en torno a un 6 % a una profundidad aproximada entre 100 y 200 km., atribuyéndose la causa a una menor densidad del material.


title: Astenosfera

text: En 1962 Don Anderson no encontró una teoría lo suficientemente convincente acerca del descubrimiento de Gutenberg, ya que ese nivel es muy heterogéneo. Además se detectaron notables diferencias en su composición en niveles bajo las cuencas oceánicas respecto a los cratones continentales, por lo que no puede considerarse una capa universal. A través del estudio de las ondas sísmicas originadas en los ensayos de las bombas nucleares, determinó que la zona de baja velocidad estaría entre 60 y 250 km de profundidad.


title: Astenosfera

text: Se intentaba atribuir esta propiedad a la propia astenosfera. Pero desde el descubrimiento del paleomagnetismo y la sismicidad profunda, ambas teorías han quedado diferenciadas.


title: Astenosfera

text: Sin embargo, en 1968 John Tuzo Wilson mezcló nuevamente estos conceptos dándoles un cuerpo teórico de escasa validez científica al basar dicha teoría en la existencia de una capa de enlentecimiento de la velocidad de las ondas sísmicas llamada astenosfera, contestado por Vladimirovich, quien replicó que no debe de basarse única y exclusivamente en pruebas encontradas en la geología de las cuencas oceánicas.


title: Astenosfera

text: Entre 1972 y 1981 Anton Halles trata de justificar la existencia de la astenosfera más por necesidad que por pruebas científicas fehacientes.


title: Astenosfera

text: Entre 1975 y 1979 Sengör y Burke debaten nuevamente y queda demostrada la existencia de una diferencia notoria entre la estructura profunda de los continentes y la de la corteza oceánica, según Sipkin y Jordan. Bajo los cratones más antiguos, estos alcanzan una profundidad de hasta 400 km y la zona de atenuamiento de la velocidad de las ondas sísmicas es superior. Se deduce que los continentes pueden estar anclados a través de quillas (en inglés, keels) directamente al núcleo, como si fuesen raíces de material más compacto, pero ello no impide el movimiento de los mismos a gran escala. Entonces fue cuando la astenosfera fue definida hasta una profundidad de 660 km bajo la superficie.


title: Astenosfera

text: Cuando Alfred Wegener definió su deriva continental, el motor del desplazamiento de las placas continentales sería un flujo convectivo en el manto (luego en la astenosfera). Pero hoy por hoy no hay pruebas suficientes sobre la existencia de este flujo convectivo.


title: Astenosfera

text: Desde los años noventa, la teoría sobre la existencia de esta capa se puso en duda, básica para explicar la deriva continental y la isostasia según nuevos datos descubiertos, proponiéndose un sistema en donde la corteza se moviera solidariamente con el manto subyacente hasta el núcleo terrestre. Se propuso, asimismo, que el equilibrio isostático se produciría entre la parte inferior del manto (sólido) y la parte exterior del núcleo terrestre (líquido). Sin, esta última propuesta no cuenta con datos suficientes al respecto para definir la situación.


title: Aproximación de Born-Oppenheimer

text: Una de las aproximaciones fundamentales de la mecánica cuántica es el desacoplamiento de los movimientos electrónico y nuclear, conocida como aproximación de Born-Oppenheimer.


title: Aproximación de Born-Oppenheimer

text: Al ser la masa del núcleo mucho mayor que la de los electrones, su velocidad es correspondientemente pequeña. De esta forma, el núcleo experimenta a los electrones como si estos fueran una nube de carga, mientras que los electrones sienten a los núcleos como si estos estuvieran estáticos. De esta forma, los electrones se adaptan 'instantáneamente' a cualquier posición de los núcleos.


title: Aproximación de Born-Oppenheimer

text: Sin este acoplamiento, resulta prácticamente imposible el trabajo en física molecular o física del estado sólido, por ser irresolubles problemas de más de dos cuerpos.


title: Aproximación de Born-Oppenheimer

text: La consideración explícita del acoplamiento de los movimientos electrónico y nuclear (generalmente, a través de otro tipo de simplificaciones), se conoce como acoplamiento electrón-fonón en sistemas extendidos o acoplamiento vibrónico en sistemas cero-dimensionales.


title: Número perfecto

text: Un número perfecto es un número entero positivo que es igual a la suma de sus divisores propios positivos. Dicho de otra forma, un número perfecto es aquel que es amigo de sí mismo.


title: Número perfecto

text: Así, 6 es un número perfecto porque sus divisores propios son 1, 2 y 3; y 6 = 1 + 2 + 3. Los siguientes números perfectos son 28, 496 y 8128.


title: Número perfecto

text: El matemático Euclides descubrió que los cuatro primeros números perfectos vienen dados por la fórmula formula_1:


title: Número perfecto

text: Al darse cuenta de que 2 – 1 es un número primo en cada caso, Euclides demostró que la fórmula 2(2 – 1) genera un número perfecto par siempre que 2 – 1 es primo.


title: Número perfecto

text: Los matemáticos de la Antigüedad hicieron muchas suposiciones sobre los números perfectos basándose en los cuatro que ya conocían. Muchas de estas suposiciones han resultado ser falsas. Una de ellas era que, como 2, 3, 5 y 7 eran precisamente los cuatro primeros números primos, el quinto número perfecto se obtendría con "n" = 11, el quinto número primo. Sin embargo, 2 – 1 = 2047 = 23 × 89 no es primo y por tanto "n" = 11 no genera un número perfecto. Dos de las otras suposiciones equivocadas eran:El quinto número perfecto (33 550 336) tiene 8 dígitos, contradiciendo así la primera suposición. En cuanto a la segunda, el quinto número perfecto acaba en 6, pero también el sexto (8 589 869 056) termina en 6. (El que la última cifra de un número perfecto par expresado en base 10 siempre sea 6 u 8 no es difícil de demostrar).


title: Número perfecto

text: Fue en 1603 cuando Pietro Cataldi halló los números perfectos sexto y séptimo, 2(2 – 1) = 8 589 869 056 y 2(2 – 1)= 137 438 691 328.


title: Número perfecto

text: Es verdad que si 2 – 1 es un número primo, entonces "n" también debe ser primo, pero el recíproco no es necesariamente cierto. Hoy en día, a los números primos generados por la fórmula 2 – 1 se los conoce como números primos de Mersenne, en honor al monje del siglo XVII Marin Mersenne, quien estudió teoría de números y números perfectos.


title: Número perfecto

text: Posteriormente, Leonhard Euler demostró en el siglo XVIII que todos los números perfectos pares se generan a partir de la fórmula que ya descubrió Euclides: Teorema de Euclides-Euler.


title: Número perfecto

text: No se conoce la existencia de números perfectos impares. Sin embargo, existen algunos resultados parciales al respecto. Si existe un número perfecto impar debe ser mayor que 10, debe tener al menos 8 factores primos distintos (y al menos 11 si no es divisible por 3). Uno de esos factores debe ser mayor que 10, dos de ellos deben ser mayores que 10000 y tres factores deben ser mayores que 100.


title: Número perfecto

text: El 7 de diciembre de 2018, al descubrirse el número primo más grande 2 − 1 ( o "M"en la notación usual), se obtuvo entonces el mayor número perfecto encontrado hasta esa fecha, número 51 de la lista, con 49.724.095 dígitos:


title: Número perfecto

text: 2 (2 − 1)


title: Número perfecto

text: El primo mencionado fue descubierto por Patrick Laroche como parte del proyecto Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS).


title: Número perfecto

text: Un número triangular es de la forma formula_2, donde «"n"» es un número entero positivo cualquiera distinto de cero. Si partimos de la identidad formula_3 y distribuimos el producto del segundo miembro obtenemos:


title: Número perfecto

text: La expresión formula_5 es un número primo de Mersenne y vemos que el término derecho de la identidad adopta la forma correspondiente a la definición de número triangular. Podemos afirmar que un número perfecto par es un número triangular y su orden es un número primo de Mersenne.


title: Número perfecto

text: Como todos los números triangulares están en la tercera columna del triángulo de Pascal y acabamos de ver que todo número perfecto par es un número triangular, los números perfectos son también números combinatorios. formula_6, donde formula_7 es la potencia correspondiente a un número primo de Mersenne aumentado en una unidad.


title: Número perfecto

text: Un número hexagonal es de la forma formula_8, para «"n"» un número entero positivo cualquiera distinto de cero. Surge inmediatamente de la identidad formula_9, llamando «"n"» al número formula_10.


title: Número perfecto

text: Por cuestión abierta se entiende una propiedad de la que todavía no se tiene una demostración, tanto de su afirmación como de su negación. Son cuestiones abiertas:


title: Número perfecto

text: Aparte, y considerando la suma de los divisores propios, existen otros tipos de números.


title: Número primo de Mersenne

text: Un número de Mersenne es un número entero positivo "m" que es una unidad menor que una potencia entera positiva de 2:


title: Número primo de Mersenne

text: Un número primo de Mersenne es un número de Mersenne que es primo. Se cumple que todos los números de Mersenne, formula_2, que sean primos también tendrán "n" prima (aunque no toda "n" prima vale; no es una condición suficiente que "n" sea prima para que formula_3 lo sea). Se denominan así en memoria del filósofo del Marin Mersenne, quien en su "Cogitata Physico-Mathematica" realizó una serie de postulados sobre ellos que solo pudo refinarse tres siglos después. También compiló una lista de números primos de Mersenne con exponentes menores o iguales a 257, y conjeturó que eran los únicos números primos de esa forma. Su lista solo resultó ser parcialmente correcta, ya que por error incluyó "M" y "M", que son compuestos, y omitió "M", "M", y "M", que son primos; y su conjetura se revelaría falsa con el descubrimiento de números primos de Mersenne más grandes. No proporcionó ninguna indicación de cómo dio con esa lista, y su verificación rigurosa solo se completó más de dos siglos después.


title: Número primo de Mersenne

text: A diciembre de 2018, solo se conocen 51 números primos de Mersenne, siendo el mayor de ellos M = 2−1, un número de más de 24 millones de cifras. El número primo más grande que se conocía en una fecha dada casi siempre ha sido un número primo de Mersenne: desde que empezó la era electrónica en 1951 siempre ha sido así salvo en 1951 y entre 1989 y 1992.


title: Número primo de Mersenne

text: "Demostración"Si "n" es un número natural, por el teorema del binomio se tiene:


title: Número primo de Mersenne

text: Tomando formula_5, formula_6 y formula_7 ("a", "b" > 1), se tiene:


title: Número primo de Mersenne

text: formula_9 es mayor que 1 porque se ha procurado que formula_10 sea estrictamente mayor que 1, y la suma formula_11 también lo es. Por tanto, se tiene una factorización de formula_12, así que formula_12 es compuesto.


title: Número primo de Mersenne

text: "Observación": Por contraposición, si "M" es primo, entonces "n" es primo. Esto facilita la búsqueda de nuevos números primos de Mersenne "M", ya que solo hay que comprobar la primalidad de aquellos para los que "n" es primo."Demostración"


title: Número primo de Mersenne

text: Si "q" es un primo que divide formula_16, entonces formula_17 ≡ 1 (mod "q"). Por el Pequeño Teorema de Fermat, formula_18 ≡ 1 (mod "q"). Supongamos que "p" que no divide a "q" − 1 para llegar a contradicción. Entonces, como "p" y "q" − 1 deben ser primos entre sí, una nueva aplicación del Pequeño Teorema de Fermat muestra que formula_19 ≡ 1 (mod "p"). Por tanto, existe un número "x" ≡ formula_20 tal que ("q" − 1)·"x" ≡ 1 (mod "p"), y por tanto un número "k" tal que ("q" − 1)·"x" − 1 = "kp".


title: Número primo de Mersenne

text: Como formula_18 ≡ 1 (mod "q"), al elevar ambos lados de la congruencia a la potencia "x" resulta formula_22 ≡ 1, y como formula_23 ≡ 1 (mod "q"), al elevar ambos lados de esta segunda congruencia a la potencia "k" resulta formula_24 ≡ 1. Por tanto, 1≡ formula_25 ≡ formula_26 (mod q). Pero teníamos que ("q" − 1)"x" − "kp" = 1, lo que implica que formula_27 ≡ 1 (mod "q"); en otras palabras, que "q" divide 1. Con esto, la premisa inicial de que "p" no divide "q" − 1 es insostenible.


title: Número primo de Mersenne

text: Por lo tanto, formula_28. Pero, además, este "n" tiene que ser par, porque formula_16 es impar y todos sus divisores deben ser también impares. Como "p" era un primo impar, la única manera que esto ocurra es que formula_30 y, finalmente, formula_31.


title: Número primo de Mersenne

text: "Demostración"


title: Número primo de Mersenne

text: formula_32, así que formula_33 es una raíz cuadrada de 2 módulo formula_34. Por reciprocidad cuadrática, cualquier módulo primo del cual 2 tenga raíz cuadrada es congruente con formula_35.


title: Número primo de Mersenne

text: La siguiente tabla muestra los números primos de Mersenne conocidos: No se conoce si existen más números primos de Mersenne entre el 48.º ("M") y el 51.º ("M"). Por lo tanto, esta tabla es provisional. Por poner un ejemplo histórico, el 29.º número primo de Mersenne fue descubierto "después" del 30.º y el 31.º.


title: Número primo de Mersenne

text: Desmentida la conjetura original de Mersenne (que establecía una lista de números primos de Mersenne menores o iguales que "M" y afirmaba que no existían más que esos), han surgido otras preguntas abiertas relacionadas con la caracterización de estos números. En particular, la conjetura de Bateman, Selfridge y Wagstaff (1989) también recibe el nombre de "Nueva conjetura de Mersenne".


title: Número primo de Mersenne

text: La Nueva conjetura de Mersenne o Conjetura de Bateman, Selfridge y Wagstaff (Bateman et al. 1989) establece que para cada número natural impar "p", si se cumplen las dos primeras de las siguientes condiciones, también se cumple la tercera:Si "p" es un número compuesto impar, entonces tanto "2 − 1" como "(2 + 1)/3" son compuestos. Por tanto, solo es necesario examinar números primos para verificar esta conjetura.


title: Número primo de Mersenne

text: Se puede pensar que la nueva conjetura de Mersenne es un intento de rescatar la centenaria conjetura original de Mersenne, que se demostró falsa. Sin embargo, según Robert D. Silverman, John Selfridge declaró que la "NCM" es "obviamente cierta" ya que fue elegida con el fin de encajar en los datos conocidos y los contraejemplos más allá de esos casos son progresivamente más improbables. Se puede considerar más como una observación que como una pregunta abierta en busca de respuesta. Su página web contiene la verificación de los resultados obtenidos hasta este número.


title: Número primo de Mersenne

text: Lenstra, Pomerance y Wagstaff han conjeturado que no solo existe un número infinito de primos de Mersenne, sino que el número de primos de Mersenne con exponente "p" menor que "x" se puede aproximar asintóticamente por donde γ es la constante de Euler-Mascheroni y formula_37


title: Número primo de Mersenne

text: Euclides, muchos siglos antes que Mersenne, ya conocía estos números y encontró una fuerte relación entre ellos y los números perfectos. Si "M" es un número primo de Mersenne, entonces "M"·("M"+1)/2 es un número perfecto. Asimismo, Euler demostró en el siglo XVIII que todos los números perfectos pares son de la forma "M"·("M"+1)/2: Teorema de Euclides- Euler. No se conocen en la actualidad números perfectos impares, y se sospecha que no existe ninguno.


title: Número primo de Mersenne

text: Un número doble de Mersenne se define como: donde "p" es el exponente de un número primo de Mersenne.


title: Número primo de Mersenne

text: Los números repunit (del inglés "repeated unit", "unidad repetida") son los que, en una base dada, se representan como una cadena de unos. Los números de Mersenne son los números repunit en el sistema binario.


title: Sucesión de Fibonacci

text: En matemáticas, la sucesión o serie de Fibonacci es la siguiente sucesión infinita de números naturales:


title: Sucesión de Fibonacci

text: La sucesión comienza con los números 0 y 1; a partir de estos, «cada término es la suma de los dos anteriores», es la relación de recurrencia que la define.


title: Sucesión de Fibonacci

text: A los elementos de esta sucesión se les llama hijos de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemática y teoría de juegos. También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo, en las flores de alcachofas y girasoles, en las inflorescencias del brécol romanesco, en la configuración de las piñas de las coníferas, en la reproducción de los conejos y en cómo el ADN codifica el crecimiento de formas orgánicas complejas. De igual manera, se encuentra en la estructura espiral del caparazón de algunos moluscos, como el nautilus.


title: Sucesión de Fibonacci

text: Leonardo Pisano, Leonardo de Pisa, o Leonardo Bigollo, también conocido como Fibonacci, nació en 1170 y murió en 1240. Mucho antes de ser conocida en occidente, la sucesión de Fibonacci ya estaba descrita en la matemática en la India, en conexión con la prosodia sánscrita.


title: Sucesión de Fibonacci

text: Susantha Goonatilake hace notar que el desarrollo de la secuencia de Fibonacci «es atribuido en parte a Pingala (año 200), posteriormente asociado con Virahanka (hacia el año 700), Gopāla (hacia 1135) y Hemachandra (hacia 1150)». Parmanand Singh cita a Pingala (hacia 450) como precursor en el descubrimiento de la secuencia.


title: Sucesión de Fibonacci

text: La sucesión fue descrita y dada a conocer en occidente por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos:


title: Sucesión de Fibonacci

text: Nota: al contar la cantidad de letras distintas en cada mes, se puede saber la cantidad de parejas totales que hay hasta ese mes.


title: Sucesión de Fibonacci

text: De esta manera Fibonacci presentó la sucesión en su libro "Liber Abaci", publicado en 1202. Muchas propiedades de la sucesión de Fibonacci fueron descubiertas por Édouard Lucas, responsable de haberla denominado como se la conoce en la actualidad.


title: Sucesión de Fibonacci

text: También Kepler describió los números de Fibonacci, y el matemático escocés Robert Simson descubrió en 1753 que la relación entre dos números de Fibonacci sucesivos formula_2 se acerca a la relación áurea "fi" (formula_3) cuando formula_4 tiende a infinito; es más: el cociente de dos términos sucesivos de toda sucesión recurrente de orden dos tiende al mismo límite. Esta sucesión tuvo popularidad en el especialmente en el ámbito musical, en el que compositores con tanto renombre como Béla Bartók, Olivier Messiaen, la banda Tool y Delia Derbyshire la utilizaron para la creación de acordes y de nuevas estructuras de frases musicales.


title: Sucesión de Fibonacci

text: Los números de Fibonacci quedan definidos por las ecuaciones


title: Sucesión de Fibonacci

text: Esto produce los siguientes números: y así sucesivamente.


title: Sucesión de Fibonacci

text: Esta manera de definir, de hecho considerada algorítmica, es usual en matemática discreta.


title: Sucesión de Fibonacci

text: Es importante definir formula_12 para que se pueda cumplir la importante propiedad de que:


title: Sucesión de Fibonacci

text: formula_13 divide a formula_14, para cualquier formula_15.


title: Sucesión de Fibonacci

text: Para analizar la sucesión de Fibonacci (y, en general, cualquier sucesión) es conveniente obtener otras maneras de representarla matemáticamente.


title: Sucesión de Fibonacci

text: formula_16, donde c=a+b; a≠0; b≠0; b>a


Sucesión de Fibonacci


title: Sucesión de Fibonacci

text: Reemplazando las variables por pares de valores consecutivos de la sucesión de Fibonacci (a=1;b=2 o a=3;b=5) se ve que:


title: Sucesión de Fibonacci

text: Con la fórmula siguiente se puede establecer cuán fuerte es la relación áurea entre dos números: 0 Es una relación áurea perfecta y en los extremos 1 y - 1 son números pertenecientes a la sucesión Fibonacci formula_24


title: Sucesión de Fibonacci

text: Una función generadora para una sucesión cualquiera formula_25 es la función formula_26, es decir, una serie formal de potencias donde cada coeficiente es un elemento de la sucesión. Los números de Fibonacci tienen la función generadora Cuando esta función se expande en potencias de formula_27, los coeficientes resultan ser la sucesión de Fibonacci:


title: Sucesión de Fibonacci

text: La definición de la sucesión de Fibonacci es recurrente; es decir que se necesitan calcular todos los términos anteriores para poder calcular un término específico. Se puede obtener una fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci (que no requiere calcular términos anteriores) notando que las ecuaciones , y definen la relación de recurrencia  con las condiciones iniciales


title: Sucesión de Fibonacci

text: El polinomio característico de esta relación de recurrencia es formula_32, y sus raíces son De esta manera, la fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci tendrá la forma


title: Sucesión de Fibonacci

text: Si se toman en cuenta las condiciones iniciales, entonces las constantes formula_35 y formula_36 satisfacen la ecuación anterior cuando formula_37 y formula_38, es decir que satisfacen el sistema de ecuaciones


title: Sucesión de Fibonacci

text: Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene


title: Sucesión de Fibonacci

text: Por lo tanto, cada número de la sucesión de Fibonacci puede ser expresado como Para simplificar aún más es necesario considerar el número áureo


title: Sucesión de Fibonacci

text: de manera que la ecuación se reduce a


title: Sucesión de Fibonacci

text: Esta fórmula se le atribuye al matemático francés Édouard Lucas, y es fácilmente demostrable por inducción matemática. A pesar de que la sucesión de Fibonacci consta únicamente de números naturales, su fórmula explícita incluye al número irracional formula_42. De hecho, la relación con este número es estrecha.


title: Sucesión de Fibonacci

text: Observando los valores que adoptan los dos sumandos de la fórmula , se comprueba que el segundo sumando siempre tiene un valor absoluto menor que formula_43, y va cambiando de signo sucesivamente, compensando la parte no entera, irracional, que tiene el primer sumando, para que la suma de dos números irracionales dé un número natural.


title: Sucesión de Fibonacci

text: Teniendo en cuenta entonces que ese segundo sumando de la fórmula es siempre un número de valor absoluto menor que formula_44, (el máximo valor absoluto es para formula_45, aproximadamente formula_46), la fórmula puede escribirse, eliminando este segundo sumando, así:


title: Sucesión de Fibonacci

text: Otra manera de obtener la sucesión de Fibonacci es considerando el sistema lineal de ecuaciones Este sistema se puede representar mediante su notación matricial como Conociendo a formula_50 y formula_51, al aplicar la fórmula anterior formula_4 veces se obtiene Los autovalores de la matriz formula_53, son precisamente formula_54 y formula_55, (el número áureo formula_47; y el negativo de su inverso o conjugado formula_57); y sus autovectores formula_58 y formula_59.


title: Sucesión de Fibonacci

text: Aplicando técnicas de descomposición espectral de la matriz, utilizando sus autovalores, y la base de sus autovectores, o diagonalizando la matriz, se puede substituir o simplificar la operación de potenciación de la matriz, y obtener, por otros dos métodos, la fórmula explícita que proporciona el término general de la sucesión.


title: Sucesión de Fibonacci

text: También se verifica


title: Sucesión de Fibonacci

text: Esta igualdad puede probarse mediante inducción matemática.


title: Sucesión de Fibonacci

text: Los números de Fibonacci aparecen en numerosas aplicaciones de diferentes áreas. Por ejemplo, en modelos de la crianza de conejos o de plantas, al contar el número de cadenas de bits de longitud formula_4 que no tienen ceros consecutivos y en una vasta cantidad de contextos diferentes. De hecho, existe una publicación especializada llamada "Fibonacci Quarterly" dedicada al estudio de la sucesión de Fibonacci y temas afines. Se trata de un tributo a la amplitud con la que los números de Fibonacci aparecen en matemática y sus aplicaciones en otras áreas. Algunas de las propiedades de esta sucesión son las siguientes: {f_n}=\varphi}} El concepto fundamental de la sucesión de Fibonacci es que cada elemento es la suma de los dos anteriores. En este sentido la sucesión puede expandirse al conjunto de los números enteros como formula_110 de manera que la suma de cualesquiera dos números consecutivos es el inmediato siguiente. Para poder definir los índices negativos de la sucesión, se despeja formula_111 de la ecuación de donde se obtiene De esta manera, formula_113 si formula_4 es impar y formula_115 si formula_4 es par.


title: Sucesión de Fibonacci

text: La sucesión se puede expandir al campo de los números reales tomando la parte real de la fórmula explícita (ecuación ) cuando formula_4 es cualquier número real. La función resultante tiene las mismas características que la sucesión de Fibonacci:


title: Sucesión de Fibonacci

text: Una sucesión de Fibonacci generalizada es una sucesión formula_123 donde


title: Sucesión de Fibonacci

text: Es decir, cada elemento de una sucesión de Fibonacci generalizada es la suma de los dos anteriores, pero no necesariamente comienza en 0 y 1.


title: Sucesión de Fibonacci

text: Una sucesión de fibonacci generalizada muy importante, es la formada por las potencias del número áureo.


title: Sucesión de Fibonacci

text: La importancia de esta sucesión reside en el hecho de que se puede expandir directamente al conjunto de los números reales. ...y al de los complejos.


title: Sucesión de Fibonacci

text: Una característica notable es que, si formula_123 es una sucesión de Fibonacci generalizada, entonces


title: Sucesión de Fibonacci

text: Por ejemplo, la ecuación puede generalizarse a Esto significa que cualquier cálculo sobre una sucesión de Fibonacci generalizada se puede efectuar usando números de Fibonacci.


title: Sucesión de Fibonacci

text: Un ejemplo de sucesión de Fibonacci generalizada es la sucesión de Lucas, descrita por las ecuaciones


title: Sucesión de Fibonacci

text: La sucesión de Lucas tiene una gran similitud con la sucesión de Fibonacci y comparte muchas de sus características. Algunas propiedades interesantes incluyen:


title: Sucesión de Fibonacci

text: Para calcular el formula_4-ésimo elemento de la sucesión de Fibonacci existen varios algoritmos (métodos). Su definición misma puede emplearse como uno de estos algoritmos, aquí expresado en pseudocódigo:


title: Sucesión de Fibonacci

text: Usando técnicas de análisis de algoritmos es posible demostrar que, a pesar de su simplicidad, el algoritmo requiere efectuar formula_142 sumas para poder encontrar el resultado. Dado que la sucesión formula_13 crece tan rápido como formula_144, entonces el algoritmo está en el orden de formula_144. Es decir, que este algoritmo es muy lento. Por ejemplo, para calcular formula_146 este algoritmo requiere efectuar 20.365.011.073 sumas.


title: Sucesión de Fibonacci

text: Para evitar hacer tantas operaciones, es común recurrir a una calculadora y utilizar la ecuación del matemático Édouard Lucas. Sin embargo, dado que formula_47 es un número irracional, la única manera de utilizar esta fórmula es empleando una aproximación de formula_47, obteniendo en consecuencia un resultado aproximado pero no exacto. Por ejemplo, si se usa una calculadora de 10 dígitos, entonces la fórmula anterior arroja como resultado formula_149 aun cuando el resultado correcto es formula_150. Este error se hace cada vez más grande conforme crece formula_4. De igual forma se puede crear una función utilizando la fórmula, muy eficiente, formula_152, aunque hay que tener en cuenta algunas consideraciones, cada lenguaje de programación tiene una forma específica de ejecución de las funciones matemáticas, y es probable que se necesite redondear el número obtenido de la ecuación, y en ciertos casos, si el número es muy grande, puede ser impreciso.


Sucesión de Fibonacci


title: Sucesión de Fibonacci

text: Otro método más práctico a la recursión, que evita calcular las mismas sumas más de una vez, es la iteración. Considerando un par formula_155 de números consecutivos de la sucesión de Fibonacci, el siguiente par de la sucesión es formula_156, de esta manera se divisa un algoritmo donde solo se requiere considerar dos números consecutivos de la sucesión de Fibonacci en cada paso. Este método es el que se usaría normalmente para hacer el cálculo con lápiz y papel. El algoritmo se expresa en pseudocódigo como:


title: Sucesión de Fibonacci

text: Estas versiones requieren efectuar solo formula_4 sumas para calcular formula_13, lo cual significa que los métodos iterativos son considerablemente más rápidos que el algoritmo . Por ejemplo, en el algoritmo solo se requiere efectuar 50 sumas para calcular formula_146. Un algoritmo todavía más rápido se deduce partiendo de la ecuación . Utilizando leyes de exponentes es posible calcular formula_160 como


title: Sucesión de Fibonacci

text: De esta manera se divisa el algoritmo de tipo Divide y Vencerás donde solo se requeriría hacer, aproximadamente, formula_162 multiplicaciones matriciales. Sin embargo, no es necesario almacenar los cuatro valores de cada matriz dado que cada una tiene la forma De esta manera, cada matriz queda completamente representada por los valores formula_99 y formula_35, y su cuadrado se puede calcular como Por lo tanto el algoritmo queda como sigue:


title: Sucesión de Fibonacci

text: A pesar de lo engorroso que parezca, este algoritmo permite reducir enormemente el número de operaciones que se necesitan para calcular números de Fibonacci muy grandes. Por ejemplo, para calcular formula_167, en vez de hacer las 573.147.844.013.817.084.100 sumas del algoritmo o las 100 sumas con el algoritmo , el cálculo se reduce a tan solo 9 multiplicaciones matriciales.


title: Sucesión de Fibonacci

text: La secuencia de Fibonacci se encuentra en múltiples configuraciones biológicas, donde aparecen números consecutivos de la sucesión, como en la distribución de las ramas de los árboles, la distribución de las hojas en un tallo, los frutos de la piña tropical, las flores de la alcachofa, en las piñas de las coníferas, o en el "árbol genealógico" de las abejas melíferas. Sin embargo, también se han hecho muchas invocaciones infundadas a la aparición de los números de Fibonacci aprovechando su relación con el número áureo en la literatura popular.


title: Sucesión de Fibonacci

text: Przemysław Prusinkiewicz avanzó la idea de considerar la sucesión de Fibonacci en la naturaleza como un grupo libre. Un modelo del patrón de distribución de las semillas del girasol fue propuesto por H. Vogel en 1979. Presenta la forma


title: Sucesión de Fibonacci

text: donde "n" es el índice de la flor y "c" es un factor de escala; entonces las semillas se alinean según espirales de Fermat. El ángulo de divergencia, de aproximadamente 137.51°, está relacionado con el número áureo. Debido a que el coeficiente es un número irracional, ninguna semilla tiene ninguna vecina al mismo ángulo respecto al centro, por lo que se compactan eficientemente. Debido a que las aproximaciones racionales al número aúreo son de la forma "F"("j"):"F"("j" + 1), los vecinos más próximos al número de semillas "n" están todos en "n" ± "F"("j") para cada índice "j", que depende de "r", la distancia al centro. Suele afirmarse que los girasoles y flores similares tienen 55 espirales en una dirección y 89 en la otra (o alguna otra pareja de números adyacentes de la sucesión de Fibonacci), pero esto solo es cierto en ciertos rangos de radio, generalmente raros (y por ello más notables).


title: Sucesión de Fibonacci

text: Los machos de una colmena de abejas tienen un árbol genealógico que cumple con esta sucesión. El hecho es que un zángano (1), el macho de la abeja, no tiene padre, pero sí que tiene una madre (1, 1), dos abuelos, que son los padres de la reina (1, 1, 2), tres bisabuelos, ya que el padre de la reina no tiene padre (1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5), ocho trastatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8) y así sucesivamente, cumpliendo con la sucesión de Fibonacci.


title: Sucesión de Fibonacci

text: Recientemente, un análisis histórico-matemático acerca del contexto de Leonardo de Pisa y la proximidad de la ciudad de Bejaia, una importante exportadora de cera en los tiempos de Leonardo (de la cual proviene el nombre en francés de esta ciudad, "Bougie", que significa «vela»), ha sugerido que fueron los criadores de abejas de Bejaia y el conocimiento de la ascendencia de las abejas lo que inspiró los números de Fibonacci más que el modelo de reproducción de conejos.


title: Sucesión de Fibonacci

text: Una de las curiosidades de dicha serie son los dígitos de sus elementos:


title: Tornillo

text: El tornillo es una máquina simple que deriva directamente del plano inclinado y siempre trabaja asociado a un orificio roscado. Básicamente puede definirse como "un plano inclinado enrollado sobre un cilindro", o lo que es más realista, "un surco helicoidal tallado en la superficie de un cilindro" (si está tallado sobre un cilindro afilado o un cono tendremos un tirafondo). En él se distinguen tres partes básicas: cabeza, cuello y rosca.


title: Tornillo

text: El tornillo deriva directamente de la máquina simple conocida como plano inclinado y siempre trabaja asociado a un orificio roscado. Los tornillos permiten que las piezas sujetas con los mismos puedan ser desmontadas cuando la ocasión lo requiera.


title: Tornillo

text: Los tornillos están fabricados en muchos materiales y aleaciones; en los tornillos realizados en plástico su resistencia está relacionada con la del material empleado. Un tornillo de aluminio será más ligero que uno de acero (aleación de hierro y carbono), pero será menos resistente ya que el acero tiene mejor capacidad metalúrgica que el aluminio; una aleación de duraluminio mejorará las capacidades de resistencia del aluminio pero disminuirá las de tenacidad, ya que al endurecer el aluminio con silicio o metales como cromo o titanio, se aumentará su dureza pero también su coeficiente de fragilidad a partirse. Los metales más duros son menos tenaces ya que son cualidades antagónicas. La mayoría de las aleaciones especiales de aceros, bronces y aceros inoxidables contienen una proporción de metales variable para adecuar su uso a una aplicación determinada.


title: Tornillo

text: Siempre hay que usar el tornillo adecuado para cada aplicación. Si se usa un tornillo con demasiada resistencia de tensión (dureza) que no está ajustado al valor de diseño, podría romperse, como se rompe un cristal, por ser demasiado duro. Esto es porque los tornillos de alta tensión tienen menor resistencia a la fatiga (tenacidad) que los tornillos con un valor de tensión más bajo. Un tornillo compuesto por una aleación más blanda se podría deformar, pero sin llegar a partirse, con lo cual quizá no podría desmontarse pero seguiría cumpliendo su misión de unión.


title: Tornillo

text: El estándar ISO se marca con dos números sobre la cabeza del tornillo, por ejemplo "8.8". El primer número indica la resistencia de tensión (la dureza del material); el segundo número significa la resistencia a punto cedente, es decir, la tenacidad del material. Si un tornillo está marcado como 8.8, tiene una dureza (resistencia de tensión) de 800  MPa (megapascales), y una tenacidad (resistencia de tensión) del 80 %. Una marca de 10.9 indica un valor de tensión de 1000 MPa con una resistencia a punto cedente de 900 MPa, 90 % de resistencia de tensión.


title: Tornillo

text: Los tornillos pueden soportar hasta un mayor peso o tracción, pero rebasada su capacidad se rajarán, pudiendo quebrarse. Los tornillos fabricados con aleaciones más duras pueden soportar un mayor peso o tracción, pero tienen igualmente un límite y menor tenacidad que los tornillos fabricados en aleaciones más blandas. Si usa un tornillo que ha sido sobreajustado, sea cual sea su dureza, puede quebrarse con facilidad ya que su resistencia de tensión (tenacidad) es muy baja.


title: Tornillo

text: Los tornillos los definen las siguientes características:


title: Tornillo

text: El término tornillo se utiliza generalmente en forma genérica: son muchas las variedades de materiales, tipos y tamaños que existen. Una primera clasificación puede ser la siguiente:Los tornillos para madera reciben el nombre de tirafondo para madera. Su tamaño y calidad está regulado por la norma DIN-97 y tienen una rosca que ocupa 3/4 de la longitud de la espiga. Pueden ser de acero dulce, inoxidable, latón, cobre, bronce o aluminio, y pueden estar galvanizados, niquelados, bicromatados, etc.


title: Tornillo

text: Este tipo de tornillo se estrecha en la punta como una forma de ir abriendo camino a medida que se inserta para facilitar el autorroscado, porque no es necesario hacer un agujero previo, y el filete es afilado y cortante. Normalmente se atornillan con destornillador eléctrico o manual.


title: Tornillo

text: Sus cabezas pueden ser planas, ovales o redondeadas; cada cual cumplirá una función específica.


title: Tornillo

text: Cabeza plana: se usa en carpintería, en general, en donde es necesario dejar la cabeza del tornillo sumergida o a ras con la superficie.


title: Tornillo

text: Cabeza puntiaguda: la porción inferior de la cabeza tiene una forma que le permite hundirse en la superficie y dejar sobresaliendo sólo la parte superior redondeada. Son más fáciles para sacar y tienen mejor presentación que los de cabeza plana. Se usan para fijación de elementos metálicos, como herramientas o chapas de picaportes.


title: Tornillo

text: Cabeza redondeada: se usa para fijar piezas demasiado delgadas como para permitir que el tornillo se hunda en ellas; también para unir partes que requerirán arandelas. En general se emplean para funciones similares a los de cabeza oval, pero en agujeros sin avellanar. Este tipo de tornillo resulta muy fácil de remover.


title: Tornillo

text: Las cabezas pueden ser de diferentes clases:


title: Tornillo

text: Cabeza fresada (ranura recta): tienen las ranuras rectas tradicionales.


title: Tornillo

text: Cabeza Phillips: tienen ranuras en forma de cruz para minimizar la posibilidad de que el destornillador se deslice.


title: Tornillo

text: Cabeza tipo Allen: con un hueco hexagonal, para encajar una llave Allen.


title: Tornillo

text: Cabeza Torx: con un hueco en la cabeza en forma de estrella de diseño exclusivo Torx.


title: Tornillo

text: Las características que definen a los tornillos de madera son: tipo de cabeza, material constituyente, diámetro de la caña y longitud.


title: Tornillo

text: Hay una variedad de tornillos que son más gruesos que los clásicos de madera, que se llaman tirafondos y se utilizan mucho para atornillar los soportes de elementos pesados que vayan colgados en las paredes de los edificios, como por ejemplo, toldos, aparatos de aire acondicionado, etc. En estos casos se perfora la pared al diámetro del tornillo elegido, y se inserta un taco de plástico, a continuación se atornilla el tornillo que rosca a presión el taco de plástico y así queda sujeto firmemente el soporte. También se utiliza por ejemplo para el atornillado de la madera de grandes embalajes. Estos tornillos tienen la cabeza hexagonal y una gama de M5 a M12.


title: Tornillo

text: Ambos tipos de tornillos pueden abrir su propio camino. Se fabrican en una amplia variedad de formas especiales. Se selecciona el adecuado atendiendo al tipo de trabajo que realizará y el material en el cual se empleará.


title: Tornillo

text: Los autorroscantes tienen la mayor parte de su caña cilíndrica y el extremo en forma cónica. Pueden ser de cabeza plana, oval, redondeada o chata. La rosca es delgada, con su fondo plano, para que la plancha se aloje en él. Se usan en láminas o perfiles metálicos, porque permiten unir metal con madera, metal con metal, metal con plástico o con otros materiales. Estos tornillos son completamente tratados (desde la punta hasta la cabeza) y sus bordes son más afilados que los de los tornillos para madera.


title: Tornillo

text: En los autoperforantes su punta es una broca, lo que evita tener que hacer perforaciones guías para instalarlos. Se usan para metales más pesados: van cortando una rosca por delante de la pieza principal del tornillo.


title: Tornillo

text: Las dimensiones, tipo de cabeza y calidad están regulados por normas DIN. Estas normas son requerimientos técnicos de calidad y seguridad establecidos por el Instituto Alemán de Normalización y se aplican en la industria, el comercio, la ciencia, etc. Son especialmente consideradas en lo que a mecanismos y piezas industriales se refiere, como es el caso de los tornillos, tuercas, arandelas, etc.


title: Tornillo

text: Se usan también para ser fijados en las paredes por medio de anclajes de plástico llamados "ramplugs".


title: Tornillo

text: Para la unión de piezas metálicas se utilizan tornillos con rosca triangular que pueden ir atornillados en un agujero ciego o en una tuerca con arandela en un agujero pasante.


title: Tornillo

text: Este tipo de tornillos es el que se utiliza normalmente en las máquinas y lo más importante que se requiere de los mismos es que soporten bien los esfuerzos a los que están sometidos y que no se aflojen durante el funcionamiento de la máquina donde están insertados.


title: Tornillo

text: Lo destacable de estos tornillos es el sistema de rosca y el tipo de cabeza que tengan puesto que hay variaciones de unos sistemas a otros. Por el sistema de rosca los más usados son los siguientesPor el tipo de cabeza que tengan, los tornillos más utilizados son los siguientes:De acuerdo a la Iram 4520* (1999), en su ítem 2.1.2 “Representación convencional “, normalmente por convención, la representación de los filetes y de las partes roscadas en todos los tipos de dibujo técnico se simplifican como lo muestra la figura adjunta (representación gráfica de un tornillo). Tanto en los tornillos como en los agujeros roscados la cresta que representa el coronamiento de la rosca se representa con trazo continuo grueso y la raíz con trazo fino. En vistas ocultas, ambas se trazan con trazo fino discontinuo. En las secciones, el rayado se prolonga hasta la corona. En una vista de frente de un tornillo, la línea que representa la raíz (diámetro al fondo de una rosca) abarcará aproximadamente 3/4 de circunferencia para evitar errores de interpretación (preferentemente abierto en el cuadrante superior derecho). En los dibujos de partes roscadas ensambladas (conjuntos), las líneas que representan la rosca externa (tornillo, perno roscado, tubo), se mostrará siempre cubriendo la interna y no estará oculta por ella.


title: Tornillo

text: Se entiende por coronamiento al diámetro mayor en roscas externas (diámetro nominal de la rosca) y al diámetro menor en roscas internas (diámetro del agujero).


title: Tornillo

text: Cuando hablamos de raíz, se refiere normalmente al diámetro menor en roscas externas (diámetro al fondo de la rosca) y al diámetro mayor en roscas internas (diámetro nominal de la rosca).


title: Tornillo

text: El diseño de las cabezas de los tornillos responde, en general, a dos necesidades: por un lado, conseguir la superficie de apoyo adecuada para la herramienta de apriete de forma tal que se pueda alcanzar la fuerza necesaria sin que la cabeza se rompa o deforme. Por otro, necesidades de seguridad implican (incluso en reglamentos oficiales de obligado cumplimiento) que ciertos dispositivos requieran herramientas especiales para la apertura, lo que exige que el tornillo (si este es el medio elegido para asegurar el cierre) no pueda desenroscarse con un destornillador convencional, dificultando así que personal no autorizado acceda al interior.


title: Tornillo

text: Así, se tienen cabezas de distintas formas:A partir de determinados diámetros, lo normal es que la cabeza de los tornillos comerciales sea hexagonal, principalmente los que enroscan en piezas metálicas o en su correspondiente tuerca. Hay varios tipos de tornillos comerciales de cabeza hexagonal fabricados según normas DIN que difieren unos de otros en la longitud de la rosca que tienen sus cañas.


title: Tornillo

text: Al igual que con las cabezas hexagonales hay varios modelos de tornillos con cabeza Allen todos ellos normalizados según las normas DIN correspondiente. Los tornillos con cabeza hexagonal se utilizan principalmente cuando se desean superficies lisas y las fuerzas de apriete no son muy elevadas.


title: Tornillo

text: Normalmente, este tipo de tornillo se utiliza en trabajos de matricería ya que la cabeza queda embutida dentro de los moldes. También se utiliza para mecánica de automoción y motociclismo debido a la facilidad que da el apriete cuando se encuentran en lugares difíciles de acceder. Dependiendo de su grueso y a partir de un largo, viene con un cuello sin roscar.


title: Tornillo

text: Con los modernos destornilladores eléctricos y neumáticos que existen el uso de tornillos de autorroscado se utiliza mucho en los diversos tipos de carpintería tanto de madera como metálica ya que es un sistema rápido de atornillado. En el atornillado de piezas metálicas se utiliza menos porque el par de apriete que se ejerce es bajo y está expuesto a que se afloje durante el funcionamiento de la máquina.


title: Tornillo

text: Los tornillos son elementos presentes en casi todos los campos de construcciones metálicas, de madera o de otras actividades, por eso hay muchos tipos, tamaños, y procesos de fabricación.


title: Tornillo

text: Desde el punto de vista de la utilización se pueden citar los siguientes tipos de tornillos.La producción actual de tornillería está muy automatizada tanto en lo que respecta a la estampación de la cabeza como a la laminación de la rosca. Por lo tanto es fácil encontrar en los establecimientos especializados el tornillo que se necesite, siempre que esté dentro de la gama normal de fabricación.


title: Tornillo

text: Los tornillos normales diferencian su calidad en función de la resistencia mecánica que tienen. La norma (EN ISO 898-1) establece el siguiente código de calidades 4. 6, 5. 6, 5. 8, 6. 8, 8. 8, 10. 9 y 12. 9. Los fabricantes están obligados a estampar en la cabeza de los tornillos la calidad a la que pertenecen. El primer número multiplicado por 100 nos indicará la resistencia a la rotura en Newtons/mm. Por lo tanto, un tornillo 10.9 tendrá una resistencia de 10*100=1.000 N/mm. El segundo número indica que porcentaje del límite de rotura es el límite elástico (es la tensión máxima que puede soportar un material «elástico» sin sufrir deformaciones permanentes). Para traducirlo a algo más entendible, indica cuanto podemos apretar el tornillo sin que se deforme (y antes de partirse), por eso se indica como porcentaje. Por lo tanto, un tornillo 10.9 tendrá un límite elástico de 900 N/mm.


title: Tornillo

text: En cuanto a dimensiones todas están normalizadas por normas DIN, y los tamaños disponibles, en rosca métrica por ejemplo con cabeza hexagonal, oscilan entre M3 y M68; la longitud de los tornillos estándar es variable en un escalón de 5 mm, desde un mínimo a un máximo según sea su diámetro. Sin embargo, si fuese necesario disponer de forma esporádica de tornillos de mayor longitud, se fabrican unas varillas roscadas de 1 m de longitud, donde es posible cortar a la longitud que se desee obtener y con una fijación de dos tuercas por los extremos realizar la fijación que se desee.


title: Tornillo

text: Con el desarrollo de componentes electrónicos cada vez más pequeños ha sido necesario desarrollar y fabricar tornillería especialmente pequeña; este tipo de tornillos se caracteriza por ser autorroscante en materias blandas tales como plásticos, y su cabeza está adaptada para ser accionados por destornilladores muy pequeños y de precisión; el material de estos tornillos puede ser de acero inoxidable, acero normal o latón.


title: Tornillo

text: Los tornillos de alta resistencia se designan por las letras TR, seguidas del diámetro de la caña y la longitud del vástago, separados por el signo x; seguirá el tipo de acero del que están construidos Las tuercas se designarán con las letras MR, el diámetro nominal y el tipo del acero.


title: Tornillo

text: Las características del acero utilizado para la fabricación de los tornillos y tuercas definidos como de alta resistencia están normalizadas.


title: Tornillo

text: El fabricante de este tipo de tornillos se ve obligado a entregar un certificado de garantía por lo que no son necesarios los ensayos de recepción, a no ser que el Pliego de Prescripciones Técnicas Particulares los imponga.


title: Tornillo

text: Los tornillos de alta resistencia llevarán en la cabeza, marcadas en relieve, las letras TR, la designación del tipo de acero, y el nombre o signo de la marca registrada del fabricante.


title: Tornillo

text: Sobre una de sus bases, las tuercas de alta resistencia llevarán, marcadas en relieve, las letras MR, la designación del tipo de acero, y el nombre de la marca registrada del fabricante.


title: Tornillo

text: Alternativamente, con la aparición de los eurocódigos en los últimos años, la nomenclatura de Tornillos de Alta Resistencia sin pretensar ha pasado a ser métrica + longitud + clase de resistencia, donde la clase se compone de dos números separados por un punto. El primero de ellos indica el valor nominal del límite de rotura por 100 (fub) en N/mm², y el segundo el valor nominal del límite elástico (fyb) en N/mm², siendo este valor el producto del límite de rotura por este segundo número dividido por 10.


title: Tornillo

text: Por ejemplo, M18x120 10. 9 indica un tornillo de alta resistencia métrica 18, longitud nominal 120 mm, límite de rotura 1000 N/mm² y límite elástico 900 N/mm². Y M8x60 8. 8 indica un tornillo de métrica 8, longitud nominal 60 mm, límite de rotura 800 N/mm² y límite elástico 640 N/mm².


title: Tornillo

text: Otros ejemplos de clases de resistencia normalizados son 4. 6, 4. 8, 5. 6, 5. 8, 6. 8, 8. 8, 10. 9, 12. 9.


title: Tornillo

text: Los tornillos de precisión se instalan cuando las presiones, esfuerzos y velocidades de los procesos exigen uniones más fuertes y tornillos más fiables que eviten fallos que puedan desencadenar una avería en la máquina o estructura donde van instalados.


title: Tornillo

text: Estos tornillos se caracterizan por tener una resistencia extra a los esfuerzos de tracción y fatiga. La resistencia media que pueden tener estos tornillos es de 1300 N/mm² frente a los 1220  N/mm² que tienen los de la gama ordinaria.


title: Tornillo

text: Esta gran resistencia posibilita el montaje de tornillos de dimensiones más pequeñas o menos tornillos, ahorrando espacio, material y tiempo.


title: Tornillo

text: El perfil del filete de estos tornillos es redondeado eliminando la punta V aguda que es la causa principal del fallo de muchos tornillos.


title: Tornillo

text: Los tornillos inviolables son un tipo de tornillería especial que una vez atornillados en el lugar correspondiente ya es imposible quitarlos, a menos que se fuercen y rompan. Esto es gracias al diseño que tiene la cabeza, que es inclinada en su interior, de forma tal que si se intenta aflojar sale la llave sin conseguirlo. Son tornillos llamados antivandálicos y son muy utilizados en trabajos de cerrajería realizados en sitios con acceso a las calles o lugares donde pudiesen actuar personas malintencionadas. Al igual que se fabrican tornillos inviolables también se fabrican tuercas inviolables. Las normas de estos tornillos de rosca métrica corresponden a la ISO-7380 y ISO-7991 y se fabrican con cabeza Allen y con cabeza Torx.


title: Tornillo

text: También se utilizan algunos a los que se les acopla un sello a la cabeza, impidiendo introducir una llave para aflojarlo. Estos tornillos se venden con su tapa correspondiente, y suelen ser para llave Allen. Como solución temporal o improvisada, se pueden introducir a golpe de martillo unos plomitos redondos de pesca en el mismo lugar.


title: Tornillo

text: Con las tecnologías modernas actuales es posible fabricar aquellos tornillos que por sus dimensiones se salgan de la producción estándar. Para estos casos siempre se debe actuar de acuerdo a las especificaciones técnicas que tenga el tornillo que se desea fabricar, tamaño, material, calidad, etc.Uno de los elementos imprescindibles para muchas de las aplicaciones quirúrgicas del titanio es poder disponer de toda la gama de tornillos que puedan ser necesarios de acuerdo con la aplicación requerida.


title: Tornillo

text: Desde que se empezó a utilizar el titanio en el tratamiento de las fracturas y en ortopedia no se ha reportado ningún caso de incompatibilidad.


title: Tornillo

text: La aleación de titanio más empleada en este campo contiene aluminio y vanadio según la composición: TiAlV. El aluminio incrementa la temperatura de la transformación entre las fases alfa y beta. El vanadio disminuye esa temperatura. La aleación puede ser bien soldada. Tiene alta tenacidad.


title: Tornillo

text: En la práctica, la mayoría de tornillos que se fabrican son de acero o aluminio. Los tornillos fabricados en aluminio son frecuentes en uniones de materiales blandos como la madera o el plástico, para aplicaciones caseras o donde se aprecia su ligereza. Entre los tornillos de aleaciones de acero hay que destacar los aceros inoxidables para aplicaciones específicas por su durabilidad, en la industria alimentaria o en condiciones corrosivas con atmósferas adversas. En los aceros, un contenido bajo de carbono permite mantener la ductilidad a pesar de la dureza del carbono; con el contenido de manganeso y silicio se consigue un tratamiento térmico a bajo coste y con el niobio se mantiene el control de tamaño del grano a alta temperatura. En los aceros inoxidables además, el cromo, junto al níquel y sobre todo el molibdeno determinan la calidad de la aleación.


title: Tornillo

text: El proceso industrial de fabricación de tornillos mediante estampación y laminación requiere el uso de acero de gran ductilidad, es decir con poco contenido de carbono. Esta particularidad hace que los tornillos de menor resistencia, 4. 6, 5. 6, 5. 8 y 6. 8, no reciban tratamiento térmico de endurecimiento.


title: Tornillo

text: Para fabricar tornillos más resistentes de calidades 8. 8 y 10. 9, la empresa productora de acero Sidenor, por ejemplo, produce un acero creado ex profeso para tornillería denominado DÚCTIL  80 y DÚCTIL  100 que se caracteriza por ser pretratado antes del proceso de fabricación de los tornillos, gracias que su composición química permite que siga siendo dúctil aunque ya tenga más resistencia mecánica, posibilitando la fabricación de tornillos en frío.


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text: La composición química del denominado DÚCTIL  80 es la siguiente:


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text: C: (0, 06/0, 08), Mn: (1, 30/1, 80), Si: (0, 20/0, 40), Cr: (0, 20/0, 50), Ti: (0, 20/0, 40), Nb: (0, 03/0, 05)


title: Tornillo

text: Este contenido tan bajo en C permite mantener la ductilidad a pesar de su dureza, con el contenido de Mn y Si se consigue templabilidad a bajo coste y con el Nb se mantiene el control de tamaño del grano a alta temperatura.


title: Tornillo

text: Composición parecida tiene el acero denominado DÚCTIL  100, aunque en este acero el contenido de C pasa a ser de (0, 05/0, 20) para elevar su resistencia mecánica.


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text: Para la fabricación de tornillos de gran resistencia se suelen utilizar aceros normales (y por tanto más baratos que los aceros especiales) que permiten un temple mayor después de un tratamiento por cementación o nitruración. Un inconveniente de alguno de estos tratamientos es que el tornillo recibe una cianuración que en el tornillo es inocua, pero convierte los desechos en altamente contaminantes por el cianuro venenoso que contienen.


title: Tornillo

text: El acero es el metal más empleado en la fabricación de tornillos. Satisface la mayor parte de las demandas de las principales industrias en términos de calidad técnica y económica para determinados usos. Sin embargo, existen una serie de limitaciones. Por ejemplo, los aceros comunes no son muy resistentes a la corrosión.


title: Tornillo

text: Generalmente, la función de los tornillos forma parte del soporte de la carga, por lo que una exposición prolongada puede dar lugar a daños en la integridad de la estructura con el consiguiente coste de reparación y/o sustitución. Además muchos tornillos trabajan a la intemperie. Por esta razón se utiliza la galvanización en caliente como uno de los métodos que se utilizan para mejorar la resistencia a la corrosión de los tornillos mediante un pequeño recubrimiento sobre la superficie. El galvanizado permite el recubrimiento de los tornillos mediante su inmersión en un baño de cinc fundido.


title: Tornillo

text: La técnica de cincado electrolítico o mecánico es la que más se utiliza para el recubrimiento anticorrosivo de los tornillos. Esta técnica consiste en depositar sobre la pieza una capa de cinc mediante corriente continua a partir de una disolución salina que contiene cinc. El proceso se utiliza para proteger piezas más pequeñas, cuando requieren un acabado más uniforme que el proporcionado por el galvanizado en caliente. No obstante, los espesores de la capa de cinc son pequeños y, por tanto, su durabilidad es más reducida.


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text: Otro proceso de protección anticorrosiva lo constituye el tratamiento llamado pavonado.


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text: El pavonado es un acabado negro o azulado, brillante o mate, para piezas de acero, de gran duración, efecto decorativo y resistencia a la corrosión.


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text: El pavonado atrae y retiene los aceites lubricantes. El revestimiento no aumenta ni disminuye las dimensiones de los metales tratados, por lo que las tolerancias para el ajuste de piezas no se ven afectadas. Además, las superficies tratadas pueden ser soldadas, enceradas, barnizadas o pintadas. Se obtiene un revestimiento mate cuando se aplica sobre una superficie tratada con chorro de arena o con un mordiente químico, y un revestimiento brillante sobre una superficie pulida o lisa. Los colores que se pueden obtener varían del negro al azulado, según la clase de aleación tratada.


title: Tornillo

text: Para situaciones de mayor protección anticorrosiva se utiliza tornillería fabricada con acero inoxidable que lógicamente es más cara, e incluso para casos más específicos se fabrican tornillos de titanio cuya resistencia anticorrosiva es casi total


title: Tornillo

text: Existen dos medios diferentes para medir o verificar la rosca de los tornillos los que son de medición directa y aquellos que son de medición indirecta.


title: Tornillo

text: Para la medición directa se utilizan generalmente micrómetros cuyas puntas están adaptadas para introducirse en el flanco de las roscas. Otro método de medida directa es hacerlo con el micrómetro y un juego de varillas que se introducen en los flancos de las roscas y permite medir de forma directa los diámetros medios en los flancos de acuerdo con el diámetro que tengan las varillas.


title: Tornillo

text: Para la medición indirecta de las roscas se utilizan varios métodos, el más común es el de las galgas. Con estas galgas compuesta de dos partes en las que una de ellas se llama PASA y la otra NO PASA.


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text: También hay una galga muy común que es un juego de plantillas de los diferentes pasos de rosca de cada sistema, donde de forma sencilla permite identificar cual es el paso que tiene un tornillo o una tuerca. En laboratorios de metrología también se usan los proyectores de perfiles ideales para la verificación de roscas de precisión.


title: Tornillo

text: El apriete regulado se establece normalmente como la precarga que se debe aplicar al atornillar un tornillo mediante la herramienta adecuada.Los pares de apriete recomendables varían en función del límite elástico, el límite de rotura y las dimensiones y calidades que tenga el tornillo. También se ha de tener en cuenta los materiales de las piezas a unir, puesto que un apriete fuerte podría deformar las piezas y/o llevarlos a un estado de plasticidad en el que las piezas serán incapaces de ejercer la fuerza de reacción para mantener el tornillo tenso. En ocasiones los tornillos se aprietan con una tensión superior a su límite elástico para deformarlos y así impedir que se aflojen, calculando que en ningún caso se vaya a superar el límite de rotura. También dependerá si empleamos arandelas planas, tensoras grower, de levas tipo Nordlock, etc. Pero a pesar de las variaciones, como dato general existen tablas que regulan los pares de apriete recomendado para cada caso.


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text: Resulta crucial que se preste atención a los pares de apriete y a las instrucciones de instalación en los casos que lo determinen las especificaciones de montaje. Los motores de los vehículos son especialmente sensibles a un par de apriete inadecuado. Los motores modernos reaccionan de un modo particularmente sensible a los errores de montaje.


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text: La herramienta que se utiliza para apretar un tornillo con el par regulado se llama llave dinamométrica.


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text: La tornillería en general es parte importante de la rigidez y buen funcionamiento que cabe esperar y desear de los elementos ensamblados. Por eso los fallos o defectos que pueda tener un tornillo puede ocasionar un fallo o una avería indeseada.


title: Tornillo

text: El primer defecto que puede presentar un tornillo es un defecto de diseño o de cálculo porque sus dimensiones o calidades no sean las adecuadas. En este caso el fallo que se puede provocar es una rotura prematura del tornillo por no poder soportar las tensiones y esfuerzos a los que está sometido.


title: Tornillo

text: El segundo defecto en importancia que puede tener un tornillo es un defecto de fabricación donde la calidad del material constituyente no sea la prevista en el diseño, o un defecto dimensional en lo que respecta principalmente a las tolerancias que debe tener su roscado. En este caso se puede producir una rotura del tornillo o un deterioro de la rosca.


title: Tornillo

text: El tercer defecto puede ser un montaje deficiente por no aplicar el par de apriete adecuado, de acuerdo con su calidad y dimensiones. En este caso si es un exceso de apriete se puede producir la rotura del tornillo o el deterioro de la rosca, y si es un defecto de apriete el ensamblaje queda flojo y si es un objeto en movimiento aparecen vibraciones indeseadas que ocasionan una avería en el mecanismo ensamblado.


title: Tornillo

text: El cuarto defecto se produce por deterioro del tornillo si resulta atacado por la oxidación y corrosión si no ha sido protegido debidamente. En este caso y durante las operaciones rutinarias de mantenimiento preventivo del mecanismo se deben sustituir todos los tornillos deteriorados por unos nuevos y protegerlos adecuadamente de la corrosión y oxidación.


title: Tornillo

text: El último defecto grave que puede tener un tornillo es cuando se procede al desmontaje de un ensamblaje y si por causa de la oxidación y corrosión el tornillo se descabeza en el momento de intentar aflojarlo. Para estos casos de tornillos deteriorados se deben utilizar productos lubricantes que permitan el aflojamiento sin que se rompa el tornillo.


title: Tornillo

text: Los primeros antecedentes de la utilización de roscas se remontan al tornillo de Arquímedes, desarrollado por el sabio griego alrededor del 300  a.  C., empleándose ya en aquella época profusamente en el valle del Nilo para la elevación de agua.


title: Tornillo

text: Durante el Renacimiento las roscas comienzan a emplearse como elementos de fijación en relojes, máquinas de guerra y en otras construcciones mecánicas. Leonardo da Vinci desarrolló por entonces métodos para el tallado de roscas; sin embargo, estas seguirán fabricándose a mano y sin ninguna clase de normalización hasta bien entrada la Revolución industrial.


title: Tornillo

text: En 1841, el ingeniero británico Joseph Whitworth definió la rosca que lleva su nombre. En 1864, William Sellers hizo lo mismo en Estados Unidos. Esta situación se prolongó hasta 1946, cuando la Organización Internacional de Normalización (ISO) definió el sistema de rosca métrica, adoptado actualmente en prácticamente todos los países. En los Estados Unidos, en cambio, se sigue empleando la norma SAE (Society of Automotive Engineers: Sociedad de Ingenieros de Automoción).


title: Tornillo

text: La rosca métrica tiene una sección triangular que forma un ángulo de 60° y la cabeza un poco truncada para facilitar el engrase.


title: Grado Fahrenheit

text: El grado Fahrenheit (representado como °F) es una escala de temperatura propuesta por el físico e ingeniero polaco Daniel Gabriel Fahrenheit en 1724. La escala establece como las temperaturas de congelación y ebullición del agua, 32 °F y 212 °F, respectivamente. El método de definición es similar al utilizado para el grado Celsius (°C).


title: Grado Fahrenheit

text: Existen algunas versiones de la historia de cómo Fahrenheit llegó a tener esa escala de temperatura. De acuerdo con el propio Fahrenheit, en el artículo que escribió en 1724, determinó tres puntos de temperatura. El punto cero está determinado al poner el termómetro en una mezcla de hielo, agua y cloruro de amonio. Este es un tipo de mezcla frigorífica, que se estabiliza a una temperatura de 0 °F. Se pone luego el termómetro de alcohol o mercurio en la mezcla y se deja que el líquido del termómetro obtenga su punto más bajo. El segundo punto es a 32 °F con la mezcla de hielo y agua, esta vez sin la sal de amonio. El tercer punto, los 96 °F, es el nivel del líquido en el termómetro cuando se lo pone en la boca o bajo el brazo (en la axila). Fahrenheit notó que al utilizar esta escala el mercurio podía hervir cerca de los 600 grados.


title: Grado Fahrenheit

text: Otra teoría indica que Fahrenheit estableció el 0 °F y los 100 °F en la escala al grabar las más bajas temperaturas que él pudo medir y su propia temperatura corporal, al encontrarse en un ligero estado de fiebre. Tomó la más baja temperatura que se midió en el duro invierno de 1708 a 1709 en su ciudad de Gdansk (Polonia), cerca de –17,8 °C, como punto 0 °F.


title: Grado Fahrenheit

text: Una variante de esta versión es que la mezcla de hielo, sal y agua registrada en la escala Fahrenheit la obtuvo en su laboratorio y la más alta la tomó de la temperatura de su cuerpo a 96 °F.


title: Grado Fahrenheit

text: Fahrenheit quería abolir las temperaturas negativas que tenía la escala Rømer. Fijó la temperatura de su propio cuerpo en 96 °F (a pesar de que la escala tuvo que ser recalibrada a la temperatura normal del cuerpo, que es cercana a los 98,6 °F, equivalente a 37 °C); dividió la escala en doce secciones y subsecuentemente cada una de esas secciones en 8 subdivisiones iguales, lo que produjo una escala de 96 grados. Fahrenheit notó que en esta escala el punto de congelación del agua estaba a 32 °F y el punto de ebullición a 212 °F.


title: Grado Fahrenheit

text: Las diferentes conversiones posibles, entre ellas hacia grado Celsius, grado Réaumur, Rankine y Kelvin son:


title: Grado Fahrenheit

text: Nótese la diferencia entre conversión de temperaturas (la temperatura de un cuerpo es 180 °F = 82,22 °C) y la conversión de incrementos de grados (la temperatura de un cuerpo ha aumentado en 180 °F = 100 °C).


title: Grado Fahrenheit

text: Esta escala se utilizaba en la mayoría de los países anglosajones y Puerto Rico para todo tipo de uso. Desde la década de 1960 varios gobiernos han llevado a cabo políticas tendientes a la adopción del sistema internacional de unidades y su uso fue desplazado. Sin embargo, todavía se usa la medida en los Estados Unidos y en determinadas industrias muy rígidas, como la del petróleo. Además, se utiliza esta escala en los informes meteorológicos y en gastronomía.


title: Grado Fahrenheit

text: Para uso científico se usaba también una escala absoluta, la escala de Rankine, que fijaba el 0 al cero absoluto de forma análoga a lo que ocurre en la escala Kelvin.


title: Bomba

text: La palabra bomba puede referirse a:


title: Bomba

text: El término "bomba" también puede estar precedido de otro sustantivo que se refiere a un objeto donde se ha dispuesto una bomba - en este sentido de habla de:


title: Henri de Toulouse-Lautrec

text: Henri Marie Raymond de Toulouse-Lautrec-Montfa (Albi, 24 de noviembre de 1864 - Château Malromé, Saint-André-du-Bois, 9 de septiembre de 1901), conocido simplemente como Toulouse-Lautrec, fue un pintor y cartelista francés, que destacó por la representación de la vida nocturna parisina de finales del siglo XIX.


title: Henri de Toulouse-Lautrec

text: Se le enmarca en el movimiento postimpresionista, pero hay debates sobre si la intención subversiva de su obra contra el "statu quo" de las relaciones extramatrimoniales debe hacer su obra única, creando su categorización propia e inconmensurable.l


title: Henri de Toulouse-Lautrec

text: Nació en el castillo de Albi en el seno de una familia de la nobleza. En su familia, como era habitual en muchas dinastías de la antigua aristocracia, muchos matrimonios se concertaban entre parientes para evitar las divisiones territoriales y la dispersión de la fortuna. Este fue el caso de los padres de Henri, el conde Alphonse de Toulouse-Lautrec-Montfa (1838-1913) y Adèle Tapié de Celeyran (1841-1930), que eran primos en primer grado. La endogamia hubo de condicionar la salud del artista. Henri fue el primogénito y cuando tenía cuatro años nació su hermano Richard-Constantine, que falleció un año después. Por desventaja, sus padres se separaron en 1868 y él quedó bajo el cuidado de su madre.


title: Henri de Toulouse-Lautrec

text: Su infancia fue feliz a pesar de que padeció una enfermedad que afectaba al desarrollo de los huesos y que comenzó a manifestarse en él en 1874. Su constitución ósea era débil y entre mayo de 1878 y agosto de 1879 sufrió dos fracturas en los fémures de ambas piernas, que le impidieron crecer más, alcanzando una altura de 1,52 m, a pesar de que su madre, preocupada por su salud y crecimiento, consultó a numerosos médicos y le llevó a tomar baños termales.


title: Henri de Toulouse-Lautrec

text: Desde niño gustaba del dibujo, trazando en sus cuadernos escolares bocetos de caballos; su padre era un gran aficionado a la caza y la equitación, los paisajes en torno al castillo y de sus familiares. Dándose cuenta de su talento, un amigo de su padre, el pintor René Princeteau, le dio algunas clases particulares.


title: Henri de Toulouse-Lautrec

text: Toulouse-Lautrec decidió ser pintor, y con el apoyo de su tío Charles y varios pintores amigos de la familia, como Princeteau, John Lewis Brown y Jean-Louis Forain, fue a vivir a París en 1881. Allí, fue alumno de Léon Bonnat, que era un retratista de moda, y, cuando se cerró el taller de Bonnat en septiembre de 1882, tuvo que buscar un nuevo maestro, que fue Fernand Cormon. En el estudio de Cormon se hizo amigo de Vincent van Gogh.


title: Henri de Toulouse-Lautrec

text: En 1884 Toulouse-Lautrec fue a vivir al barrio de Montmartre, donde tuvo vecinos como Edgar Degas. La fascinación que sentía por los locales de diversión nocturnos le llevó a frecuentarlos con asiduidad y hacerse cliente habitual de algunos de ellos, como el Salón de la Rue des Moulins, el Moulin de la Galette, el Moulin Rouge, Le Chat Noir o el Folies Bergère. Todo lo relacionado con este mundo, incluida la prostitución, constituyó uno de los temas principales en su obra. En sus obras de los bajos fondos de París pintaba a los actores, bailarines, burgueses y prostitutas. A estas las pintaba en su vida cotidiana: mientras se cambiaban, cuando acababan cada servicio o cuando esperaban una inspección médica.


title: Henri de Toulouse-Lautrec

text: Al contrario que los artistas impresionistas, apenas se interesó por el género del paisaje, y prefirió ambientes cerrados, iluminados con luz artificial, que le permitían jugar con los colores y encuadres de forma subjetiva. Muy observador, le atraían la gestualidad de los cantantes y comediantes, y le gustaba ridiculizar la hipocresía de los poderosos, que rechazaban en voz alta los mismos vicios y ambientes que degustaban en privado.


title: Henri de Toulouse-Lautrec

text: Los dueños de los "cabarets" le pedían que dibujara carteles para promocionar sus espectáculos, algo que entusiasmó mucho a Lautrec, ya que en sus largas noches en estos locales dibujaba todo lo que veía y lo dejaba por las mesas. Al contrario que el incomprendido Vincent van Gogh, Toulouse-Lautrec llegó a vender obras y fue reconocido, si bien su popularidad radicó en sus ilustraciones para revistas y carteles publicitarios más que en la pintura al óleo.


title: Henri de Toulouse-Lautrec

text: Tuvo grandes amigas como la bailarina Jane Avril, a la cual dedicó varios cuadros y carteles. Conoció a bailarines reconocidos como Valentín el Descoyuntado, payasos y demás personajes de las fiestas y espectáculos de los suburbios. Este mundillo de vicio y extravagancia fue un refugio para Lautrec, quien se sentía rechazado por la nobleza a la que pertenecía por origen. Su discapacidad causaba rechazo en los salones chic, y en Montmartre pudo pasar desapercibido y dar rienda suelta a su bohemia. Criticaba a todos aquellos que reflejaban paisajes en sus cuadros, ya que él opinaba que lo que verdaderamente valía la pena eran las personas, el pueblo. Se consideraba a sí mismo un cronista social y se mezcló, pintó y fue como el pueblo. Pintó grandes obras como "La inspección médica".


title: Henri de Toulouse-Lautrec

text: En 1886 abandonó el estudio de Cormon y arrendó el suyo propio. En los años 1890 viajó hasta Londres, donde conoció y retrató a Oscar Wilde; también diseñó el programa de mano (folleto o cuadernillo) repartido en el estreno parisino de su drama "Salomé".


title: Henri de Toulouse-Lautrec

text: Tenía problemas con el alcohol y además contrajo sífilis, lo que muchas veces derivaba en accesos de locura. El alcoholismo deterioró su salud, y a partir de 1897 padeció manías, depresiones y neurosis, además de ataques de parálisis en las piernas y en un costado. En 1897 tuvo que ser recogido de las calles a causa de una borrachera, y poco después en un delírium trémens llegó a disparar a las paredes de su casa creyendo que estaban llenas de arañas. Sin embargo, seguía pintando de forma firme y rápida; pero lo volvieron a recoger alcoholizado en 1899 y lo internaron en un sanatorio mental, donde realizó una colección de pinturas sobre el circo. Le dejaron ir a casa de su madre en las posesiones de esta cerca de Burdeos, y el 9 de septiembre de 1901 murió postrado en su cama.


title: Henri de Toulouse-Lautrec

text: En 1922 su madre y su marchante abrieron el Museo Toulouse-Lautrec en el Palacio de la Berbie, Albi, muy visitado y reconocido por su amplia colección.


title: Henri de Toulouse-Lautrec

text: La obra de Toulouse-Lautrec se caracteriza por su estilo fotográfico, al que corresponden la espontaneidad y la capacidad de captar el movimiento en sus escenas y sus personajes, siendo el suyo un estilo muy característico. A esto hay que añadir la originalidad de sus encuadres, influencia del arte japonés, que se manifiesta en las líneas compositivas diagonales y el corte repentino de las figuras por los bordes. Poseía una memoria fotográfica y pintaba de forma muy rápida. Sin embargo, su primera influencia fue la pintura impresionista y, sobre todo, la figura de Edgar Degas, de quien siguió la temática urbana alejándose de los paisajes que interpretaban Monet o Renoir. Estuvo a la vanguardia del modernismo y del Art Nouveau.


title: Henri de Toulouse-Lautrec

text: Lautrec fue fundamentalmente un dibujante e ilustrador, tareas que le permitieron subsistir. Sus pinturas al óleo son comparativamente escasas y apenas las expuso en vida. Al contrario que Van Gogh, su fama de persona marginal no implicaron que fuese un artista fracasado; y de hecho fue muy popular por sus ilustraciones y carteles publicitarios. Aportó quince diseños al semanario "Le Rire" y también ilustró el programa de mano del estreno teatral de "Salomé", de Oscar Wilde.


title: Henri de Toulouse-Lautrec

text: Entre sus obras se pueden citar las siguientes:


title: Rumiko Takahashi

text: Artista prolífica y con obras de diversas temáticas, Rumiko Takahashi ha sido y es una de las artistas del manga más notables, con obras como Urusei Yatsura, Maison Ikkoku, Ranma ½ e InuYasha entre otras muchas, por su gran trayectoria y éxito se ha ganado el título de "La Reina del manga". Su última obra es "Kyōkai no Rinne", publicada desde 2009 hasta 2017.


title: Rumiko Takahashi

text: En 1978 se convirtió en la primera mujer japonesa que superaba el millón de ejemplares vendidos de un manga.


title: Rumiko Takahashi

text: Takahashi durante su infancia se mostró algo interesada por el manga, aunque dice que dibujaba ocasionalmente en los márgenes de sus libros cuando iba al colegio Niigata Chūō High School, Aunque el verdadero interés de Takahashi por el manga llegó más tarde. Durante sus años en la universidad, se matriculó en Gekiga Sonjuku, una escuela de manga fundada por Kazuo Koike, mangaka de "Crying Freeman" y "El lobo solitario y su cachorro". Bajo su tutela Rumiko Takahashi comienza a publicar sus primeras creaciones de doujinshi en 1975, tales como "Bye-Bye Road" y "Estrella de polvo inútil". Koike insta a sus alumnos a crear buenas ideas, personajes interesantes, y está influencia impactó mucho en los trabajos de Rumiko Takahashi durante su carrera.


title: Rumiko Takahashi

text: La carrera profesional de Takahashi comienza en 1978. Su primera publicación fue "Esos extraterrestres egoístas", una comedia de ciencia ficción. Durante el mismo año, publicó "Time Warp Trouble", "Shake Your Buddha", y el "Golden Gods of Poverty" en la revista "Shōnen Sunday", que continuaría siendo el hogar para muchos de sus  mejores obras durante los próximos 20 años. Más tarde, Rumiko llevó a cabo su primera serie larga, "Urusei Yatsura". A pesar de tener un comienzo inestable debido a problemas con la publicación, "Urusei Yatsura" se convirtió en una serie que aún sigue siendo en extremo popular (incluso su protagonista, Lum, es considerada de manera no oficial como "La reina del Future Funk", debido a su aparición constante en los videos de dicho género de música).


title: Rumiko Takahashi

text: En 1980, Rumiko Takahashi funda su nicho y comienza a publicar con regularidad. En esta época comienza su segunda gran obra, "Maison Ikkoku", en la revista "Big Comic Spirits". Escrita para audiencias maduras, "Maison Ikkoku" es una comedia romántica, la cual, incluso casi 40 años después de su lanzamiento, es considerada como la gran obra maestra del manga de romance en público adulto, debido al gran trasfondo que posee además de la evolución tan marcada y natural que poseen sus personajes. Takahashi gestiona el trabajo en "Maison Ikkoku" al mismo tiempo que "Urusei Yatsura". Termina ambas series en 1987, "Urusei Yatsura" sería editada en 34 volúmenes, y "Maison Ikkoku" en 15.


title: Rumiko Takahashi

text: Durante la década de los 80, Takahashi se convierte en una prolífera autora de historias cortas. Sus historias "Laughing Target", "Maris the Chojo" y "Fire Tripper" fueron adaptadas en OVAs. En 1984, durante la realización de "Urusei Yatsura" y "Maison Ikkoku", Takahashi tomó un enfoque diferente en sus adaptaciones y comenzó la oscura y macabra "Mermaid Saga". Esta serie de historias cortas fue publicada esporádicamente hasta 1994, cuya historia final sería "Mermaid's Mask". Muchos fanes sostienen que este trabajo aún está inacabado por Takahashi, ya que la última historia no termina con claridad.


title: Rumiko Takahashi

text: Otro trabajo corto, como Mermaid Saga, que se publicó irregularmente es "One Pound Gospel". Takahashi termina la serie en 2007 después de la publicación de los capítulos en 1998, 2001 y 2006. One-Pound Gospel fue adaptada en un Drama de TV, que duró 9 de los 11 episodios que se tenían previstos.


title: Rumiko Takahashi

text: Más tarde en 1987, Takahashi comienza su tercera gran serie, "Ranma ½", la cual es considerada ante muchos de sus fanes como su obra maestra para el público adolescente. Siguiendo los parámetros de moda de comienzos de los años 1990, un manga Shonen de artes marciales. La serie duró casi una década, hasta 1996, cuando fue concluida en 38 tomos. "Ranma ½" es uno de los mangas más populares fuera de Japón.


title: Rumiko Takahashi

text: Durante mediados de los años 1990, Rumiko Takahashi continuó con historias cortas y sus creaciones de "Mermaid Saga" y "One-Pound Gospel", comienza su cuarto trabajo de más éxito, "InuYasha". Mientras "Ranma ½", "Urusei Yatsura" y "Maison Ikkoku" fueron categorizadas en el género de comedia romántica, "InuYasha" es más similar a su oscura "Mermaid Saga". La serie contiene acción, romance, terror, fantasía (basada en el folklore) ficción y comedia. Esta serie fue serializada en la revista "Shōnen Sunday" por doce años (1996-2008) y su largo trabajo fue editado en 56 tomos.


title: Rumiko Takahashi

text: En 2015, Takahashi publica en la revista "Big Comic Superior" en la edición número 15, "Historias de un Espejo". Una recopilación de cinco historias cortas más una autobiográfica en conjunto con Mitsuru Adashi, contando ambos sus historias de como empezaron en el mundo del Manga. Se editó en español por la editorial Ivrea.


title: Rumiko Takahashi

text: En el mes de julio de 2018, Takahashi fue incluida en el Salón de la fama Will Eisner, por valioso aporte a la industria del cómic, y su impacto cultural. Y en 2019 obtuvo el Gran Premio del Festival Internacional de Angulema.


title: Rumiko Takahashi

text: A finales de 2018, salió a la luz a través de múltiples medios el desarrollo de una nueva serie de manga, bajo el nombre de "Mao". En Mao se nos promete una historia de otro mundo donde conoceremos a Nanoka, una chica que aparentemente fue asesinada por un monstruo cuando era más pequeña. Sin embargo, parecía haber sobrevivido durante ocho años hasta que conoce al personaje que da nombre al manga. Se trata de un ser que se encuentra con ella en la frontera de otro mundo.


title: Rumiko Takahashi

text: También creó una sucesión generacional de la historia de InuYasha,Yashahime,la cual da lugar al linaje de InuYasha y su hermano,tratándose de la historia de una chica mitad demonio,y dos hermanas con grandes poderes demoníacos que luchan de nuevo en la era feudal contra demonios y poderes de naturaleza maligna,un verdadero shonen.


title: Rumiko Takahashi

text: En 1981, "Urusei Yatsura" se convierte en el primer trabajo de Takahashi que es llevado a la pantalla chica. Esta serie se estrenó en la televisión japonesa el 14 de octubre, y tuvo muchos cambios de directores a medida que avanzaba su emisión. El más destacado de ellos fue Mamoru Oshii, quien dirigió "Beautiful Dreamer", la segunda película de "Urusei Yatsura".


title: Rumiko Takahashi

text: Kitty Films, el estudio que animó "Urusei Yatsura" continuando con su cooperación adaptó el segundo trabajo de Rumiko Takahashi, "Maison Ikkoku" en 1986. La serie de TV tuvo 96 episodios, 3 OVAs, una película y también una película de imagen real.


title: Rumiko Takahashi

text: "Maris the Chojo", "Fire Tripper", y "Laughing Target" fueron realizados en OVAs durante mediados de los 80. Sus historias "Mermaid's Forest" y "Mermaid's Scar" también fueron realizadas en OVAs en Japón en 1991.


title: Rumiko Takahashi

text: En 1989, con la cooperación de Studio Deen, Kitty Animation produce su ópera prima, "Ranma ½". Esta serie empezó con muchos altibajos de audiencias y Kitty Animation quiso cancelarla. "Ranma ½" no tiene un final concluso a pesar de contar con 161 episodios.


title: Rumiko Takahashi

text: Sunrise fue el primer estudio, después de Kitty Animation en adaptar un trabajo importante de Rumiko Takahashi. "InuYasha" estrenada en 2000 y finalizada en 2004. La serie alcanzó los 167 episodios y se crearon hasta la fecha cuatro películas. El anime finalizó antes que el manga, de modo que quedó inconcluso, agregando también 4 OVAS de las cuales 2 fueron transmitidas como capítulos de la serie, una solo disponible en DVD y la última publicada el 30 de agosto de 2008 bajo el nombre de considerada parte de InuYasha Kanketsu-Hen. Este fue una de sus series más populares y vistas en el mundo que hasta la fecha siguen viendo los niños y jóvenes amantes de la aventura, el romance y los animes más que nada.


title: Rumiko Takahashi

text: InuYasha kanketsu-hen se emitió a un episodio por semana por parte de la Yomuri TV, desde el 3 de octubre de 2009 a 30 de marzo de 2010. Son 26 capítulos que incluyen todos los volúmenes finales del manga, aunque con algunos recortes en las historias de los personajes secundarios de la serie.


title: Rumiko Takahashi

text: Existe un video en YouTube celebrando el 50 aniversario de los trabajos de Rumiko Takahashi. Se incluyen Urusei Yatsura, Ranma ½ e InuYasha. Esto es nada más, un tráiler del nuevo DVDBox que la editorial Shôgakukan lanzará. Incluye 3 OVAs de sus 3 series más populares (Urusei Yatsura 32th anniversary OVA: Full Course Swimming contest with obstacles, Ranma ½ OVA e InuYasha OVA: The Black Tessaiga). Serán animadas por el personal de InuYasha Kanketsu-Hen y fue lanzada a inicios de febrero de 2010 a un precio aproximado de 220 yenes.


title: Rumiko Takahashi

text: El 4 de abril de 2015 comenzó la transmisión de la adaptación del manga Kyōkai no Rinne. Fue producida por Brain's Base y dirigida por Seiki Sugawara, el guion está escrito por Michiko Yokote y la música compuesta por Akimitsu Honma.


title: Niccolò Fontana Tartaglia

text: Niccolò Fontana (Brescia, "c." 1499 - Venecia, ) fue un matemático e ingeniero italiano, apodado Tartaglia a causa de su tartamudez.


title: Niccolò Fontana Tartaglia

text: Nació en Brescia en 1499, ciudad entonces dependiente de la República de Venecia. Era hijo de Michele Fontana, que murió cuando Tartaglia tenía seis años, dejando a la familia, madre y tres hijos, en una situación de pobreza.


title: Niccolò Fontana Tartaglia

text: Cuando tenía doce años, las tropas francesas al mando de Gastón de Foix invadieron la ciudad de Brescia. Niccolò Fontana, a pesar de estar escondido en la catedral, recibió varias heridas en el rostro y la mandíbula, una de ellas en la boca. Las secuelas de esta herida le causaron la tartamudez que dio origen al sobrenombre Tartaglia (tartamudo) con el que llegó a firmar sus obras.


title: Niccolò Fontana Tartaglia

text: Huérfano y sin medios materiales para proveerse una instrucción formal, se cuenta que Tartaglia solo aprendió la mitad del alfabeto (exactamente hasta la letra k) de un tutor privado antes de que el dinero se agotara, y, posteriormente, tuvo que aprender el resto por su cuenta. Sea como fuere, su aprendizaje fue esencialmente autodidáctico.


title: Niccolò Fontana Tartaglia

text: Llegó a ser uno de los principales matemáticos del siglo XVI. En 1535 hizo correr el rumor que había descubierto la fórmula para resolver ecuaciones de tercer grado, Antonio Maria Del Fiore un discípulo del profesor matemático de la Universidad de Bolonia Scipione del Ferro alzó su voz de protesta y acusa a tartaglia de impostor, para dilucidar esta situación Fiore desafió a Tartaglia a un concurso. Tartaglia aceptó y ganó el desafío. Enseñó esta ciencia sucesivamente en Verona, Vicenza, Brescia y finalmente, en Venecia; donde falleció en 1557 víctima de pobreza material, que le acompañó toda su vida.


title: Niccolò Fontana Tartaglia

text: Fue inventor de un método, similar a la fórmula para ecuaciones cuadráticas, para resolver ecuaciones de tercer grado. Estando ya en Venecia, en 1535, su colega del Fiore (discípulo de Scipione del Ferro, de quien había recibido la fórmula para resolver ecuaciones cúbicas), le propuso un duelo matemático, que Tartaglia aceptó. A partir de este duelo y en su afán de ganarlo, Tartaglia desarrolló la fórmula general para resolver las ecuaciones de tercer grado, por lo que consiguió resolver las treinta cuestiones que le planteó su contrincante, sin que este lograse resolver ninguna de las propuestas por Tartaglia, que se había valido de su propio trabajo iniciado cinco años antes, cuando Zuanne da Coi le había solicitado que resolviera dos ecuaciones cúbicas de un tipo que Del Fiore era incapaz de resolver.


title: Niccolò Fontana Tartaglia

text: El éxito de Tartaglia en el duelo llegó a oídos de Gerolamo Cardano, quien le rogó que le comunicase su fórmula, a lo que accedió, pero exigiéndole a Cardano jurar que no la publicaría. Sin embargo, en vista de que Tartaglia no publicaba su fórmula, y que al parecer llegó a manos de Cardano un escrito inédito de otro matemático fechado con anterioridad al de Tartaglia, y en el que independiente se llegaba al mismo resultado, fue finalmente Cardano quien, considerándose libre del juramento, la publicó en su obra "Ars magna" (1545). A pesar de que Cardano acreditó la autoría de Tartaglia, este quedó profundamente afectado, llegando a insultar públicamente a Cardano, tanto personal como profesionalmente, terminando siendo enemigos irreconciliables. Como consecuencia de estos hechos, las fórmulas de Tartaglia pasaron a la posteridad como fórmulas de Cardano.


title: Niccolò Fontana Tartaglia

text: Otras aportaciones destacables de Tartaglia fueron los primeros estudios de aplicación de las matemáticas a la artillería en el cálculo de la trayectorias de los proyectiles (trabajos confirmados posteriormente por los estudios acerca de la caída de los cuerpos realizados por Galileo), así como por la expresión matemática para el cálculo del volumen de un tetraedro cualquiera en función de las longitudes de sus lados, la llamada fórmula de Tartaglia, una generalización de la fórmula de Herón (usada para el cálculo del área del triángulo):


title: Niccolò Fontana Tartaglia

text: Además de sus trabajos matemáticos, Tartaglia publicó las primeras traducciones al italiano de las obras de Arquímedes y Euclides.


title: Niccolò Fontana Tartaglia

text: También se dedicó a escribir libros, en total escribió 43 libros.


title: Tontxu

text: Juan Antonio Ipiña García (Bilbao; 17 de agosto de 1972) más conocido como Tontxu, es un cantautor español.


title: Tontxu

text: Su primera guitarra se la regaló Moncho Borrajo, que era amigo de la familia.


title: Tontxu

text: Es el compositor de sus canciones desde que mostrara a su madre la primera a los 11 años de edad. A los 22 años se trasladó a Madrid con más de 300 escritas, a día de hoy ha perdido la cuenta del número de obras creadas, superan las mil.


title: Tontxu

text: En 1990 comenzó a trabajar como locutor en la emisora de 40 Principales de Bilbao, donde estuvo durante cinco años. Más tarde se trasladó a Madrid, donde comenzó a cantar en el café Libertad 8. y en otros cafés de la capital. En 1996 firma con EMI Odeon, con los que realiza sus primeros discos: "Se vende" (1997) —por el que es nominado como Autor Revelación en los Premios de la Música—, "Corazón de mudanza" (1998), "Con un canto en los dientes" (2000) y "Básico" (2001). Este disco cierra el ciclo con la compañía como un recopilatorio que incluye solo dos canciones nuevas: «Vuelvo» y «Chueca». Liberado de esta compañía, en 2002 firma con TOOL Music, con los que realiza: "Contacto con la realidad" (2004) y "Cuerdas vocales y consonantes" (2005).  En 2006 vuelve a la radio para trabajar en Onda Cero como colaborador en el programa "Te doy mi palabra", dirigido y presentado por Isabel Gemio


title: Tontxu

text: En marzo de 2010 realiza su primera gira por Argentina. Ante la sorpresa de que había un público que conocía sus siete discos anteriores, vuelve el mes de octubre del mismo año para grabar un disco acompañado solamente por su guitarra, que llevará por título "Tontxu solo". Grabado en el estudio SOLO sound (recording) studio en El Calafate. Un disco que contiene canciones de sus trabajos anteriores, más cinco temas inéditos. Grabado frente al Glaciar Perito Moreno, en Cuevas, a la orilla del Lago Argentino.


title: Tontxu

text: También visita por segunda vez Santiago de Chile donde también goza de un público fiel que conocía sus pasos durante los 16 años de carrera en España. Igualmente en México donde actúa en varias ediciones del TROVEFEST Garcías a la colaboración y amistad que le une con "su carnal", el autor de Querétaro, Edgar Oceransky.


title: Tontxu

text: El 14 de septiembre nace su primera hija, Leire Ipiña Herráiz. La que hereda el don de componer y cantar con un gusto exquisito impropio de su edad y a los 15 años interpreta en francés (adaptado por ella misma) de forma sublime el tema "Fue solamente un beso" en el álbum INVENTAL.


title: Tontxu

text: El 25 de febrero de 2015 ingresa como miembro de la Junta Directiva de la SGAE, de la Comisión de Asuntos Internacionales, la Comisión de Ayuda Social para autores (APS) y en 2016 como Director Institucional de la Fundación Autor SGAE.


title: Tontxu

text: El 24 de junio de 2015 nace su segunda hija Carla Leonor Ipiña González.


title: Tontxu

text: En el años 2016 publica su noveno disco titulado "Cicatrizando" con la colaboración de amigos autores como Laura Granados, Javier Ruibal, Carlos Chaouen, María Toledo y Road Ramos.


title: Tontxu

text: En el año 2018 nace su tercer hijo, Bosco Ipiña González.


title: Tontxu

text: Su décimo disco de estudio "Tr3inta y tr3s" sale a la luz en el mes de marzo de 2019, un disco lleno de luz con temas creados en la inspiradora y tranquila Sierra de Gata (Cáceres, España)


title: Tontxu

text: En julio de 2019 es nombrado Dir. Institucional de FUNDACIÓN SGAE.


title: Tontxu

text: En 2021 publica INVENTAL, una revisión y readaptación de sus temas más conocidos, arreglados esta vez por el autor, productor y arreglista Guantanamero (Cuba) Edgar Olivero. En él invita a varios amigos a celebrar el 25º Aniversario de su carrera. Juanra Arnáiz, Joan Tena, Edgar Oceransky, Bebe, Edgar Olivero, Gustavo Almeida, PHOS, Arahí Martínez Carranza "LA Reina Blanca", Leire Ipiña y Luis Felipe Barrio. Este disco fue dedicado a la memoria de sus amigos y maestros Rafael Berrio, Pau Donés y Luis Eduardo Aute. Disco cuidadosamente elaborado durante un año y medio encerrados cada uno de sus integrantes en sus casas y trabajando desde sus respectivos "HOME STUDIO"


title: Tontxu

text: El disco recibe halagos nunca antes recibidos por parte de críticos, compañeros, amigos...


title: Tontxu

text: Tontxu apadrinó a algunos autores de la escena madrileña como Luis Ramiro o Marwan. Además, ha colaborado con Kepa Junkera —que ya participó en "As de guía" de su primer disco—, participando en su disco "Maren" (2001).


title: Tontxu

text: Han cantado sus canciones artistas como Inma Serrano, Joan Tena, Kiko Tovar, Amistades Peligrosas, Sheila Ríos, Cristina del Valle, etc.


title: Tontxu

text: Con él han cantado Víctor Manuel, Antonio Vega, Javier Ruibal, Laura Granados, Road Ramos, María Toledo, Javier Álvarez, Ella Baila Sola, Inma Serrano, Olga Cerpa del grupo canario Mestisay, Joan Tena, Ismael Serrano, Bebe, Marwan, Luis Ramiro, Alejandro Martínez, Pablo Sciuto, Kiko Tovar, Paco Bello, Cristina Narea, Paco Cifuentes, Luis Felipe Barrio y Matías Ávalos, Fede Comín, Conchita, Fernando Lobo, Nacho García Vega Edgar Oceransky (México), Gustavo Almeida (Brasil), PHOS (rapero), Leire Ipiña (su hija), Juan Ramón Arnáiz (Guaraná), Joan Tena (Operación Triunfo), Edgar Olivero...


title: Tontxu

text: Durante un tiempo, el cantautor español se solidarizó con las personas con discapacidad auditiva, por lo que en muchos de sus conciertos fue pionero en ir acompañado de una intérprete de lengua de signos, Évelin Vega a la que le une una gran amistad familiar.