title: Joan Coromines

text: La Fundación Coromines se encarga, desde hace algunos años, de la edición del epistolario que el autor del "Diccionari" mantuvo con diversas personalidades, un material amplísimo que ocupará unos veinticinco volúmenes. Se han publicado ya las correspondencias de Corominas con Pompeu Fabra, Francesc de B. Moll, Josep Pla, Joan Fuster, varios exiliados catalanes, Carles Riba y Joan Sales. La edición y anotación de estos libros está a cargo de Joan Pujadas, Josep Ferrer y Joan Ferrer, todos ellos colaboradores del filólogo. Otro epistolario a punto de entrar en prensa es el de Corominas con su maestro Ramón Menéndez Pidal, que han preparado los profesores José Antonio Pascual (quien colaboró en su "Diccionario crítico etimológico castellano e hispánico, Gredos, Madrid, 6 vol., 1980-1991") y José Ignacio Pérez Pascual. Las cartas abarcan desde 1939, año en que el lingüista se va al exilio, hasta 1955. Pidal fue profesor suyo en Madrid y siempre apoyó de forma entusiasta su proyecto. Aunque su inmensa obra filológica fue conocida tardíamente por los no especialistas, la aportación de Corominas a la lexicografía y a la etimología de catalán y castellano es extraordinariamente valiosa, y así le fue reconocido al final de su vida por medio de las mayores distinciones académicas. Tenía un profundo conocimiento del catalán, castellano y occitano, así como de la lingüística indoeuropea y arábiga. También tenía un buen conocimiento del euskera, por lo que fue nombrado académico honorario de la Real Academia de la Lengua Vasca en 1994.


title: Organización territorial de Irak

text: En Irak, las gobernaciones (árabe محافظة "muḥāfaẓah", pl. محافظات "muḥāfaẓāt"), también llamadas provincias, son las circunscripciones administrativas mayores en las cuales se divide el país. Desde el 2005, Irak es una república federal, reservando el derecho a las provincias de conformar regiones autónomas según las condiciones establecidas en la constitución.


title: Organización territorial de Irak

text: Cuatro provincias del norte conforman la Región de Kurdistán, región kurda goza de una amplia autonomía. Tiene su propio parlamento, presidente, primer ministro y constitución.


title: Inteligencia

text: La inteligencia se ha definido de muchas maneras, incluyendo: la capacidad de lógica, comprensión, autoconciencia, aprendizaje, conocimiento emocional, razonamiento, planificación, creatividad, pensamiento crítico y resolución de problemas. En términos más generales, se puede describir como la capacidad de percibir o inferir información, y retenerla como conocimiento para aplicarlo a comportamientos adaptativos dentro de un entorno o contexto.


title: Inteligencia

text: La inteligencia se estudia con mayor frecuencia en humanos y evoluciona y cambia con la edad. Los niños, jóvenes y adultos tienen su propia escala de inteligencia, en cuanto a los mayores, se habla de deterioro de sus escalas cognitivas.


title: Inteligencia

text: La escala típica para medir la inteligencia es la prueba de Weschler: WAIS para adultos; WISC para jóvenes y WPPSI para preescolares.


title: Inteligencia

text: Algunas pruebas del WAIS para adultos como la prueba de cubos que miden la capacidad manipulativa e inteligencia general, la prueba de semejanzas que miden la capacidad de abstracción desde un nivel concreto a uno más abstracto, prueba de vocabulario, etc.


title: Inteligencia

text: Por lo tanto, los índices del WAIS comprenden la comprensión verbal, el razonamiento perceptual, la memoria de trabajo y la velocidad de procesamiento.


title: Inteligencia

text: La palabra ‘inteligencia’ proviene del latín "intelligentia" o "intellēctus", que a su vez provienen del verbo "intellegere" —término compuesto de "inter" («entre») y "legere" («leer, escoger»)— que significa comprender o percibir.


title: Inteligencia

text: En la Edad Media, la palabra "intellectus " se convirtió en el término técnico académico para la comprensión y una traducción para el término filosófico griego "nous". Este término, sin embargo, estaba fuertemente relacionado con las teorías metafísicas y cosmológicas de teleología escolástica, incluidas las teorías de la inmortalidad del alma y el concepto de intelecto activo. Todo este enfoque para el estudio de la naturaleza fue fuertemente rechazado por los filósofos de la Edad Moderna Temprana como Francis Bacon, Thomas Hobbes, John Locke y David Hume, los cuales prefirieron la palabra «comprensión» (en lugar de "intellectus" o "inteligencia"). Hobbes, por ejemplo, en su obra, "De Corpore", usó "intellectus intelligit", traducido en la versión inglesa como «the understanding understandeth» («el entendimiento comprende»), como un ejemplo típico de una lógica absurda.


title: Inteligencia

text: No hay una definición unitaria y aceptada de la inteligencia. Además, definir qué es la inteligencia ha sido siempre objeto de polémica Algunos grupos de psicólogos han sugerido las siguientes definiciones:


title: Inteligencia

text: En «Mainstream Science on Intelligence» (1994), una opinión op-ed en el Wall Street Journal firmada por cincuenta y dos investigadores (de un total de 131 invitados a firmar), dice: De "" (1995), un informe publicado por el Board of Scientific Affairs (Junta de Asuntos Científicos) de la Asociación Estadounidense de Psicología, señala: Además de esas definiciones, los investigadores de la psicología y el aprendizaje también han sugerido definiciones de inteligencia como:


title: Inteligencia

text: Globalmente, podemos entender la inteligencia como una capacidad mental (como la creatividad por ejemplo) que puede ser entendida de manera diferente, aun estando las diversas concepciones conectadas entre ellas.


title: Inteligencia

text: Por un lado , la inteligencia Natural o inteligencia A, es una disposición biológica e innata del individuo que constituiría el núcleo básico de la inteligencia.


title: Inteligencia

text: Por otro lado, la inteligencia Social o inteligencia B, cotidiana, observable a partir del comportamiento.


title: Inteligencia

text: Finalmente, la tercera concepción haría referencia a una inteligencia Psicométrica o inteligencia C, investigada a partir de su evaluación con test psicológicos. A esta medida se le llama CI, se trata de un estimador parcial de la capacidad.


title: Inteligencia

text: Por lo tanto, podemos visualizar la inteligencia Natural (A) y la Psicométrica (C) como componentes de la inteligencia Práctica o B, siendo l’A la base disposicional y siendo la C la operativización en términos de rendimiento.


title: Inteligencia

text: Dada la generalidad del concepto inteligencia es conveniente familiarizarse con términos como capacidad, aptitud, habilidad, destreza.


title: Inteligencia

text: La capacidad es un concepto genérico que designa la potencialidad para realizar una conducta en términos de eficacia y nivel de ejecución. La capacidad y aptitud son conceptos similares, disposiciones en alguna medida innatas, las cuales ejecutan un comportamiento adaptativo. La aptitud tiene un significado más específico.


title: Inteligencia

text: Habilidad y destreza son conocimientos prácticos y técnicos adquiridos mediante el aprendizaje, el entrenamiento y la práctica. Cuando estos se han centrado en materias o tascas muy específicas, se dice que han desarrollado una competencia específica, o que una persona es competente en un área determinada. Es evaluada en términos de rendimiento o ejecución.


title: Inteligencia

text: El rendimiento es una determinada tarea que se verá mediatizada tanto por la disposición innata (capacidad) como por los grados de destreza en la materia. El rendimiento y la ejecución son el nivel de obtención de resultados (aciertos) en una tarea.


title: Inteligencia

text: Las definiciones psicológicas han sido elaboradas bajo diversas perspectivas, tales como la psicología experimental, psicología diferencial y la psicología genética.


title: Inteligencia

text: La Asociación Estadounidense de Psicología, una organización científica y profesional de psicólogos de Estados Unidos, lo expuso así:


title: Inteligencia

text: Definición que fue suscrita por cincuenta y dos investigadores en 1994:


title: Inteligencia

text: En psicología diferencial se han formulado varios modelos teóricos para conceptualizar y operativizar la inteligencia, es necesario diferenciar los modelos factoriales de los no factoriales.


title: Inteligencia

text: Charles Spearman realizaba diversos estudios, en uno de ellos en particular se dio cuenta de que parte de la varianza explicada venía dada por la especificidad de cada prueba que realizaba, mientras que otra parte de la varianza venía explicada como un factor común en todas las pruebas. Para poder comprobarlo Spearman inventó el análisis factorial para explicar esta “teoría bifactorial de la inteligencia”, en ella afirmaba que cualquier medida de inteligencia se podía dividir en dos componentes, uno común denominado “G” y otro específico “S”. Al tener esta varianza compartida cada prueba no media un atributo del todo independiente, ya que el factor “S” dependía del factor “G”. Por lo tanto, la medida del factor G es más importante. Actualmente hay evidencias empíricas que constatan la existencia del factor “G”.


title: Inteligencia

text: Louis Leon Thurstone en 1938 propuso un modelo alternativo multifactorial de las capacidades cognitivas llamado PMA (Positive Mental Attitude). También usó el análisis factorial como metodología, pero siguiendo un procedimiento diferente, proporcionando así una estructura diferente de la inteligencia. Según este modelo, la inteligencia se medía por las puntuaciones obtenidas en pruebas de cada aptitud específica. Thurstone defendía que su propuesta era realista y útil. De esta manera se medían las aptitudes por separado y se podía comparar las puntuaciones de cada persona en una prueba específica sin tener relaciones posibles con otras pruebas. En el modelo de aptitudes mentales primarias definía 13 factores de los que se han podido identificar 7: factor espacial (E), factor numérico (N), velocidad perceptiva (P), fluidez verbal (V), memoria (M), inducción (R) y comprensión verbal (V).


title: Inteligencia

text: Las aportaciones de la escuela de Londres se resumen en la introducción del análisis factorial como metodología de análisis, y extracción de factores, la definición de un modelos jerárquico de la inteligencia, y el hallazgo del factor "G". A partir de este modelo básico varios autores han propuesto diferentes estructuras en función de los factores aislados con análisis factorial.


title: Inteligencia

text: Cyril Burt (1949) ha propuesto un modelo jerárquico con diferentes niveles inferiores al factor "G" que ha ido extrayendo a partir de ir descomponiendo las correlaciones residuales al factor general. Con este procedimiento definió una estructura de 18 factores organizados en diferentes niveles. En el primer nivel estarían los factores asociados a las sensaciones, en el segundo nivel estarían los procesos perceptivos complejos. En el tercer nivel se encontraban los procesos asociativos y en el cuarto los procesos relacionales. Y en la cima se encontraba el factor "G" con el nivel máximo de abstracción e integración.


title: Inteligencia

text: Raymond B. Cattell ha formulado un modelo estructural de la inteligencia que conseguía incluir los modelos de Thurstone y Spearman y que actualmente continúa vigente siendo uno de los más sólidos. Mediante análisis factorial ha diferenciado tres agrupamientos de factores. En el primer nivel las aptitudes primarias de Thurstone, en el tercer nivel el factor "G" de Spearman y entre estos dos se situaría un factor de segundo orden que ha definido como inteligencia fluida (GF) e inteligencia cristalizada (GC) que correlacionan entre ellas. La GF correspondería a aquel componente de la inteligencia de base genética y neurofisiológica que reflejaría los procesos mentales superiores, en especial el razonamiento inductivo. Y la GC corresponde a aquella parte ejercitada en la interacción con el medio sociocultural.


title: Inteligencia

text: John B. Carroll (1993) ha hecho un trabajo exhaustivo para integrar todas las investigaciones sobre inteligencia. Este análisis ha acabado en el "modelo de los estratos" de Carroll. El trabajo de Carroll se enmarca dentro del auge de la psicología cognitiva, y representa una reorientación del estudio de la inteligencia, acentuando el proceso por delante de los resultados. Así a diferencia de los modelos anteriores, la medida de la inteligencia se realizó mediante tareas específicamente cognitivas, en lugar de usar pruebas psicométricas. Para muchos estudiantes de la psicología de la inteligencia este sería el mejor modelo actual sobre la inteligencia humana.


title: Inteligencia

text: A finales del siglo XX surgen varias teorías psicológicas que cobran gran celebridad: la Teoría de las inteligencias múltiples, la Teoría triárquica de la inteligencia y la que trata de la Inteligencia emocional.


title: Inteligencia

text: Howard Gardner, psicólogo norteamericano de la Universidad de Harvard, escribió en 1983 “Las estructuras de la mente”, un trabajo en el que consideraba el concepto de inteligencia como un potencial que cada ser humano posee en mayor o menor grado, planteando que ésta no podía ser medida por instrumentos normalizados en test de cociente de inteligencia (CI). y ofreció criterios, no para medirla, sino para observarla y desarrollarla.


title: Inteligencia

text: Según Howard Gardner, creador de la teoría de las inteligencias múltiples, la inteligencia es la capacidad para resolver problemas o elaborar productos que puedan ser valorados en una determinada cultura. Propuso varios tipos de inteligencia, igualmente importantes:


title: Inteligencia

text: Posteriormente añadió:Robert J. Sternberg, psicólogo estadounidense y profesor de la Universidad de Yale, en su Teoría triárquica de la inteligencia de 1985, estableció tres categorías para describir la inteligencia:Daniel Goleman, psicólogo estadounidense, publicó en 1995 el libro "Emotional Intelligence" («Inteligencia emocional»), el cual adquirió fama mundial; si bien fueron Peter Salovey y John D. Mayer los que acuñaron la citada expresión «inteligencia emocional», en 1990. Anteriormente, el psicólogo Edward Thorndike, había manejado un concepto similar en 1920, la «inteligencia social».


title: Inteligencia

text: Para Goleman la inteligencia emocional es la capacidad para reconocer sentimientos propios y ajenos, y la habilidad para manejarlos. Considera que la inteligencia emocional puede organizarse en cinco capacidades: conocer las emociones y sentimientos propios, reconocerlos, manejarlos, crear la propia motivación, y manejar las relaciones. Goleman enseña que tener inteligencia emocional es la capacidad que el ser humano tiene para decir las cosas en el momento correcto, de la manera correcta, con la intensidad correcta y en el lugar correcto a las personas correctas.


title: Inteligencia

text: La psicometría es la disciplina que se encarga de las mediciones psicológicas. Los primeros trabajos de psicometría surgieron para evaluar la inteligencia mediante diversos test cuya aplicación permitía estimar el cociente intelectual de los individuos, una medida que se suponía aproximada al concepto de la inteligencia. Los criterios de cientificidad más extendidos en psicometría para la aceptación de los tests de inteligencia son la fiabilidad y la validez, medidas obtenidas generalmente a través de técnicas estadísticas basadas en la correlación, como el análisis factorial o la regresión lineal.


title: Inteligencia

text: Algunos de estos test ofrecen una única medida, un "factor general de inteligencia", (o "Factor G" en términos de la Teoría bifactorial de Charles Spearman) que se determina comparando el rendimiento del sujeto con el obtenido por su grupo de referencia, en condiciones similares. Otros tests, sin embargo, están diseñados bajo un marco teórico diferente, y en consecuencia permiten la estimación de varias medidas independientes correspondientes a los distintos tipos de inteligencia.


title: Inteligencia

text: Artículo principal: Cociente intelectual


title: Inteligencia

text: El cociente intelectual o cociente de inteligencia —abreviado "CI; IQ" en inglés— es la relación entre la inteligencia de un individuo medida con un test de inteligencia y la inteligencia media cronológica, es decir, la esperable por su edad.


title: Inteligencia

text: Con la finalidad de hallar un método de correlacionar la edad mental con la edad cronológica William Stern (1912) formuló el cociente intelectual. Esta nueva medida de la inteligencia consistía en la división entre la edad mental y la edad cronológica multiplicada por 100. El valor 100 obtenido cuando ambas coinciden representa el "nivel normal" de inteligencia.


title: Inteligencia

text: Los primeros test de inteligencia los realizaron Alfred Binet y Théodore Simon en 1905, y tres años después aparecieron las primeras escalas de inteligencia destinadas a evaluar a niños de entre tres y doce años. Fue en el informe de 1908 donde introdujeron formalmente el concepto de "edad mental", enumerando específicamente los tres a ocho ítems que podían pasar la mayoría de los niños de cada nivel de edad. En los años 30 David Wechsler lo adaptó a otros grupos de edad.


title: Inteligencia

text: Los test para evaluar el cociente intelectual fueron empleados, inicialmente, para predecir el rendimiento escolar. Los creadores no creyeron que estuvieran midiendo una inteligencia estática y, a pesar de ello, los críticos argumentan que los test de inteligencia han sido empleados para justificar teorías genéticas en las que la inteligencia sería una cualidad única y fija.


title: Inteligencia

text: Las investigaciones acerca de la inteligencia humana crean gran preocupación en el público y generan más críticas que los estudios científicos de otras áreas. Así, hay numerosos estudios que han puesto en tela de juicio la relevancia de los test psicométricos. Hay controversias sobre los factores genéticos en la inteligencia, particularmente en cuestiones sobre si estas diferencias se relacionan con la raza y el sexo, o cómo interpretar el incremento en las puntuaciones de los test, conocido como el efecto Flynn.


title: Inteligencia

text: Actualmente, la mayoría de los investigadores rechazan esta forma de clasificar la inteligencia, principalmente por su parcialidad. Argumentan que esta visión sólo mide una parte de lo que comúnmente se entiende por inteligencia. Además, la fiabilidad es baja, porque hay circunstancias que influyen en el resultado, como el estado de ánimo, la salud, o el conocimiento previo de pruebas similares. Uno de los críticos más activos y acreditados en contra del CI y de su uso ha sido el paleontólogo Stephen Jay Gould, quien argumentaba que la inteligencia no es fácilmente mensurable, rebatía los puntos de vista hereditarios, rechazaba el análisis factorial como criterio científicamente válido en la investigación psicométrica, exponía el fuerte fundamento político que subyace a gran parte de la investigación histórica sobre la inteligencia y terminaba denunciando los abusos de un sector de la Psicología, que abandonando la objetividad científica ha invocado criterios pretendidamente científicos para justificar prejuicios meramente sociales y políticos.


title: Inteligencia

text: En el marco de la Teoría de la evolución, para que cualquier rasgo o característica se mantenga y se desarrolle ha de otorgar alguna ventaja a los individuos que la presentan.


title: Inteligencia

text: En el caso de la inteligencia referida al ser humano, hay varias teorías que pretenden explicar el proceso. Así, algunos autores, como el paleontólogo español Juan Luis Arsuaga lo atribuyen a los cambios impuestos por el bipedismo, y por un cambio en la dieta, cuya proporción de vegetales fue disminuyendo, y eso supuso cambios en la conducta.


title: Inteligencia

text: Los investigadores Aiello y Dunbar encontraron una relación directa entre el tamaño del neocórtex y la cantidad de miembros que forman los grupos sociales. Ellos lo sostienen como un indicio de que el desarrollo y evolución de la inteligencia son impulsados principalmente por la necesidad de mantener complejas relaciones sociales, como la cooperación, la competencia, la alianza, el engaño, etc.


title: Inteligencia

text: La naturaleza no desarrolla formas de vida inteligentes por premeditación; los seres más simples reaccionan ante el medio mediante programación genética, miedos y afinidades instintivas. Un pequeño cambio en estos instintos implica muchas generaciones. La selección natural ha favorecido la rapidez en la adaptación al medio. Esta criba de seres vivos ha seleccionado aquellos que disponen de un sistema nervioso central como los seres superiores dentro de la escala trófica de alimentación. Dentro de esta escala, la selección ha dejado en la cumbre a aquellos que disponen de un sistema nervioso central con cerebro e identidad de individuos. Esta disposición del sistema nervioso les hace capaces de administrar en mayor o menor medida sus comportamientos, aprendiendo y reaccionando en consecuencia, esto es, con inteligencia, un resultado consecuente del ahorro energético que supone memorizar y recordar para luego aplicar resultados.


title: Inteligencia

text: La inteligencia no es una cualidad únicamente humana (solipsismo humano), en mayor o menor medida todos los seres vivos la tienen, basada en las hormonas, visceralidad, el sistema nervioso periférico o el central, incluso con zonas específicas del sistema nervioso central para procesos concretos. Muchos animales tienen signos claros de inteligencia instintiva, e incluso pueden lograr algunas etapas racionales primarias bajo entrenamiento.


title: Inteligencia

text: Las distintas cualidades psíquicas y sus distintos grados de desarrollo pueden considerarse como las distintas formas de inteligencia, utilizadas para un uso práctico, lúdico o perverso, pero en todos los casos, inteligencia.


title: Inteligencia

text: La naturaleza nos muestra que la inteligencia es una cuestión de grado; podemos encontrar rasgos inteligentes en aquellas situaciones en el que el ecosistema alberga sistemas biológicos capaces de ahorrar energía frente a otras alternativas más costosas. El hecho de encontrar el camino más corto entre dos puntos, es una muestra de que se está aplicando algún tipo de lógica, cuyo procesamiento da evidencias de un grado de inteligencia.


title: Inteligencia

text: La inteligencia depende de las variaciones del sistema, que se sujeta a la teoría general de sistemas, estableciendo una lógica y, a su vez, la lógica depende de un diferencial. En la naturaleza encontramos constantes indicios de diferenciales. Las unidades biológicas reactivas ante la variación de los diferenciales del medio, se podrían catalogar como unidades de funcionamiento condicionado o lógico. En otras palabras, ante una variación concreta de un valor del medio, esa unidad biológica actuará siempre de la misma manera. Se puede decir, que la unidad de la inteligencia es la lógica, que a su vez se basa en la termodinámica del medio, o sea algo totalmente natural.


title: Inteligencia

text: Se han realizado en Japón experimentos con "Physarum Polycephalum". Estos plasmodiales son organismos unicelulares con múltiples núcleos que son capaces de encontrar el camino más corto en un laberinto. Es el mejor ejemplo de procesamiento de información sin poseer un sistema nervioso.


title: Inteligencia

text: Existe una discusión sobre si la inteligencia humana contiene algún aspecto que la diferencie de forma cualitativa de las demás especies o incluso de la inteligencia artificial.


title: Inteligencia

text: Sólo a partir de Darwin se ha comprendido que no somos la "especie elegida", sino una "especie única" entre otras muchas especies únicas, aunque maravillosamente inteligente.


title: Inteligencia

text: Ciertamente el concepto de inteligencia humana puede variar mucho dependiendo de la perspectiva del ser y su punto de vista, es por esto que grandes pensadores escogen su propio concepto idóneo de la palabra intentando generalizar lo más ampliamente posible.


title: Inteligencia

text: La pedagogía es la ciencia que estudia la educación humana y elabora técnicas que faciliten el aprendizaje; los pedagogos muestran gran interés en los diferentes aspectos relacionados con la inteligencia y sus factores condicionantes, tanto psicológicos y biológicos como socio-culturales. Algunos de estos condicionantes son:


title: Inteligencia

text: El neurofisiólogo Roger Sperry en sus trabajos demostró que nuestros dos hemisferios cerebrales se nutren de las mismas informaciones básicas, pero que las procesan de forma distinta. Cada uno de nosotros tiene un hemisferio dominante (predisposición genética). El hemisferio cerebral izquierdo domina aspectos como el lenguaje, la solución de problemas lógicos y el pensamiento analítico; mientras que en el hemisferio derecho destacan la comprensión espacial, musical o el dibujo.


title: Inteligencia

text: En el proceso creativo, los hemisferios cerebrales se encuentran en actividad al mismo tiempo, funcionando de forma coherente e integrada en el acto creador, aunque cada hemisferio es dominante en ciertas actividades, los dos están básicamente capacitados en todas las áreas y las habilidades mentales se hallan distribuidas por toda la corteza cerebral.


title: Inteligencia

text: Sefchovich y Waisburd estiman que los programas de las escuelas y en general la educación, se han apoyado principalmente en las habilidades del hemisferio cerebral izquierdo, mientras que el otro hemisferio se ha desarrollado por sí solo, lo que ha ocasionado que se hayan quedado fuera habilidades y funcionamientos que son indispensables para el desarrollo creativo.


title: Inteligencia

text: El efecto Flynn o el incremento secular de la inteligencia explica el aumento del CI de una generación a otra en la población de un país. En este aumento influyen factores como el grado de desarrollo del país, las características del test que se usa y las características de la muestra evaluada.


title: Inteligencia

text: Se da el caso que en países que han empezado hace relativamente poco su modernización el incremento del cociente intelectual entre generaciones es mayor, mientras que en países que empezaron su desarrollo en el s. XIX el incremento es mucho menor.


title: Inteligencia

text: A partir de los resultados obtenidos se pueden extrapolar las siguientes conclusiones, explicadas a modo de hipótesis:


title: Forma diferencial

text: En geometría diferencial, la forma diferencial es un objeto matemático perteneciente a un espacio vectorial que aparece en el cálculo multivariable, cálculo tensorial o en física. Comúnmente una forma diferencial puede ser entendida como un operador multilineal antisimétrico definido sobre el espacio vectorial tangente a una variedad diferenciable. En un espacio o variedad de dimensión "n", pueden definirse 0-formas, 1-formas, ... y "n"-formas.


title: Forma diferencial

text: El concepto de forma diferencial es una generalización sobre ideas previas como el gradiente, la divergencia, el rotacional, etc. Esa generalización y la moderna notación usada en el estudio de las formas difenciales se debe a Élie Cartan. El ejemplo no trivial más sencillo de una forma diferencial lo constituyen las 1-formas, también llamadas formas pfaffianas. Estas formas son la manera rigurosa de tratar los diferenciales de las funciones reales sobre una variedad (para funciones ordinarias la variedad es simplemente el espacio euclídeo, formula_1). Las 1-formas también aparecen en física, así por ejemplo las "diferenciales" de las variables de estado usadas en termodinámica son de hecho 1-formas (aunque el tratamiento informal de las mismas descuida ese hecho). En Geometría diferencial o estudio de las variedades diferenciables, las 1-formas actúan como funciones lineales reales definidas sobre el espacio vectorial tangente a la variedad diferenciable que se esté considerando. Así pues el conjunto de todas las 1-formas definidas en un punto de la variedad es isomorfo al espacio dual del espacio vectorial tangente en dicho punto.


title: Forma diferencial

text: Otro ejemplo, un tanto trivial son las funciones reales definidas sobre una variedad, que pueden ser tratadas formalmente como 0-formas. El nombre se justifica porque existe un operador denominado diferencial exterior, que aplica "k"-formas en "k"+1-formas, puesto que la diferencial exterior de una función real es una 1-forma, se conviene en llamar 0-formas a los objetos matemáticos, como las funciones reales, cuya diferencial es una 1-forma. Así por ejemplo las funciones de estado de la termodinámica, el lagrangiano de la mecánica lagrangiana o el hamiltoniano de la mecánica hamiltoniana son de hecho 0-formas definidas sobre los respectivos espacios de configuración o espacios de fases del sistema físico.


title: Forma diferencial

text: Finalmente y usando el mayor nivel de generalidad se definen las "k"-formas. Una forma de grado "k" o "k"-forma es una sección diferenciable de la "k"-ésima potencia exterior del fibrado cotangente de la variedad. En cualquier punto "P" en una variedad, una "k"-forma da una función multilineal desde la potencia cartesiana "k"-ésima del espacio tangente en "P" a ℝ.En una variedad diferenciable de dimensión formula_11 se puede definir el análogo de la longitud de una curva, el área de una la superficie, el volumen, o en general el "k"-volumen. Cada uno de los conceptos métricos anteriores se calcula como la integración de una forma diferencial sobre un subconjunto de la variedad diferenciable. Así el concepto de longitud está asociado con 1-formas, el de área con 2-formas (elemento de área), el de volumen con 3-formas (elemento de volumen), etc.


title: Forma diferencial

text: Matemáticamente, las formas diferenciales de grado "k" pueden integrarse sobre cadenas "k" dimensionales o más generalmente conjuntos de dimensión topológica "k". Si "k" = 0, esto es simplemente la evaluación de funciones en los puntos. Otros valores de "k" = 1, 2, 3 corresponden a las integrales de línea, a las integrales superficiales, a las integrales de volumen, etc. Un resultado muy importante, relacionado con la integración de formas se llama teorema de Stokes (del cual la regla de Barrow para integrales o el teorema de la divergencia son casos particulares).


title: Forma diferencial

text: El conjunto de todas las "k"-formas en un variedad son un espacio vectorial. Además, hay otras dos operaciones: producto exterior y derivada exterior. Véase cohomología de De Rham para más detalles.


title: Forma diferencial

text: La relación fundamental entre la derivada exterior y la integración viene dada por el teorema de Stokes generalizado, que también proporciona la dualidad entre la cohomología de De Rham y la homología de cadenas.


title: Forma diferencial

text: En física el uso de formas diferenciales es común en varias áreas, por ejemplo, la termodinámica y la teoría de la relatividad. En termodinámica la práctica común es llamar formas pfaffianas a las 1-formas. Lamentablemente la mayoría de manuales recurren al uso convencional de dichos objetos de una forma poco o nada rigurosa. Igualmente se suele llamar diferenciales exactas a las 1-formas exactas


title: Monarquía en Canadá

text: La monarquía canadiense es un sistema de monarquía parlamentaria en el cual los monarcas de sucesión hereditaria británicos, son los soberanos de Canadá, por lo que en la actualidad tienen a la reina Isabel II como su monarca y jefa de estado. El país es un anterior dominio del Reino Unido, y desde su fundación en 1867 tras la aprobación por la reina Victoria del Acta de la Norteamérica británica, la nación ha conservado al monarca británico como su propio soberano. El oficio fue confirmado en la constitución de 1982. Aunque la reina es también la monarca del Reino Unido, en Canadá es conocida oficialmente como la "reina de Canadá".


title: Monarquía en Canadá

text: Generalmente, los canadienses refieren a la reina Isabel como simplemente "la Reina" o "la Reina de Canadá" cuando está en el país. Además de Canadá y el Reino Unido, la reina es también la monarca de otras catorce naciones de la Mancomunidad de Naciones. Pero esto no significa que los gobiernos de estas naciones estén unidos. Aunque la reina es compartida, los países y sus gobiernos están totalmente separados e independientes. El heredero de la corona es Carlos, Príncipe de Gales, aunque la reina es el único miembro de la familia real canadiense que posee un rol constitucional en el país.


title: Monarquía en Canadá

text: La reina está representada por un gobernador general, que es nominado por el primer ministro, si bien la monarca posee poderes que le son exclusivos. La actual gobernadora general canadiense es la diplomática Mary Simon. La reina también tiene un representante en cada una de las provincias canadienses llamado teniente gobernador, y un comisionado en cada uno de los territorios canadienses.


title: Monarquía en Canadá

text: Aunque el monarca es el jefe de estado, el poder político administrativo del país recae en el Primer Ministro y su gabinete, en su lugar, la reina y el gobernador general actúan bastiones del liderazgo de las Fuerzas Armadas de Canadá, garantes de la democracia en el país por medio del poder de disolución y como líderes ceremoniales de la nación y promueven la cultura y la identidad canadienses.


title: Monarquía en Canadá

text: La constitución de Canadá consta de una variedad de estatutos y de convenios que son a la vez de origen británico y canadiense, que le dan a Canadá un sistema de gobierno parlamentario semejante a otras monarquías de la Commonwealth. Todo el poder del Estado pertenece, constitucionalmente, al soberano que está representado a nivel federal por el gobernador general —nombrado por el monarca bajo recomendación del primer ministro— y a nivel provincial por los tenientes-gobernadores —nombrados por el gobernador general bajo recomendación del primer ministro federal que consulta habitualmente al primer ministro provincial; el monarca es habitualmente informado sobre este nombramiento antes de la toma de posesión.


title: Monarquía en Canadá

text: Las instituciones del gobierno canadiense actúan bajo la autoridad del monarca. Por consiguiente, el gobierno de Canadá es designado formalmente bajo el nombre de "Gobierno de Su Majestad en Canadá". Sin embargo, desde principios de los años 1970, si bien la modificación constitucional de disposiciones no se haya efectuado, el gobierno es llamado simplemente "Gobierno de Canadá". Todo cambio constitucional sobre la posición del monarca, o de los representantes del monarca en Canadá, exige el consentimiento del Senado, la Cámara de los Comunes, así como de todas las Cámaras de las diferentes provincias.


title: Monarquía en Canadá

text: El papel de la reina así como del gobernador general es a la vez práctica y legal. En efecto, la reina es la persona central de la construcción constitucional.


title: Monarquía en Canadá

text: Los amplios poderes que pertenecen a la Corona, colectivamente conocidos bajo el nombre de , son muy extensos. Estos van desde la capacidad de llevar a cabo tratados, de enviar embajadores, hasta la defensa del reino y de la conservación de la Paz de la Reina (). No se exige la aprobación parlamentaria para el ejercicio de la prerrogativa real; por otra parte, debe obtenerse el consentimiento de la Corona antes de que una u otra de las Cámaras del Parlamento pueda incluso discutir sobre una ley que no resulte favorable en las prerrogativas o en los intereses del soberano. La prerrogativa real pertenece a la Corona únicamente. Aunque la prerrogativa real sea amplia, no es ilimitada. Por ejemplo, el monarca no tiene la prerrogativa para imponer y recaudar nuevos impuestos; tal acción exige la autorización de una ley. Es el poder de la Corona a través de la intervención del gobernador general, el responsable del nombramiento de un nuevo Primer Ministro. De acuerdo con convenio constitucional (no escrito), debe escoger a la persona que tiene más probabilidades de conservar el apoyo de la mayoría de la Cámara de los Comunes: generalmente el líder del partido mayoritario de la Cámara. Si ningún partido tiene mayoría, dos grupos o más pueden formar una coalición, por lo que el líder designado por la coalición es nombrado primer ministro.


title: Monarquía en Canadá

text: La Corona también nombra a otras personalidades, a menudo bajo recomendación del primer ministro. Es el caso de los tenientes-gobernadores, miembros del Consejo Privado de la Reina por Canadá, de los senadores, del presidente del Senado, de los jueces de la Corte Suprema, de los jueces de los tribunales superiores, etc. Todas estas nominaciones son ejercidas después de la Ley constitucional de 1867, por el gobernador general.


title: Monarquía en Canadá

text: El soberano tiene además otros derechos, particularmente cuando es cuestión de tratados internacionales, de política exterior, de guerra o de paz (el soberano que es el jefe de los ejércitos del país).


title: Monarquía en Canadá

text: El gobernador general, en nombre de la reina, también acredita a los altos comisarios y a los embajadores canadienses, y recibe a diplomáticos de los estados extranjeros.


title: Monarquía en Canadá

text: Todos los pasaportes canadienses son emitidos en nombre de Su Majestad la Reina. Podemos leer sobre la contraportada del pasaporte canadiense: « "El Ministerio de Asuntos Exteriores de Canadá, en nombre de Su Majestad la Reina, ruega a las Autoridades interesadas conceder paso libre al titular de este pasaporte, lo mismo que la ayuda y la protección que pueda necesitar."»


title: Monarquía en Canadá

text: En Canadá, las principales investigaciones públicas llevan el nombre de « Comisiones reales», y son creadas por el Gabinete, en nombre del monarca, por un mandato real.


title: Monarquía en Canadá

text: El soberano es uno de los tres componentes del Parlamento de Canadá; los otros son la Cámara de los Lores y la Cámara de los Comunes. Solo este o su representante tienen el derecho de disolver el Parlamento, lo que llevará a unas elecciones generales y a la creación de una nueva legislatura. La nueva sesión parlamentaria está marcada por la apertura del Parlamento, durante la cual el monarca o el gobernador general lee el Discurso del Trono en la Cámara de los Lores, dando las líneas generales de lo que el gobierno piensa realizar, en nombre del monarca, durante la sesión parlamentaria.


title: Monarquía en Canadá

text: Toda ley debe recibir la sanción real, acto por el cual el monarca o su representante aprueba una legislación adoptada por el Parlamento. Teóricamente, el soberano posee un derecho de reserva sobre cada una de las leyes. Sin embargo, los usos constitucionales procuran que el conjunto de las leyes votadas por el parlamento es sancionado automáticamente por el soberano.


title: Monarquía en Canadá

text: Los soberanos, en nuestros días, respetan las decisiones tomadas por el parlamento, que es elegido democráticamente, y utilizan solo en casos muy raros su derecho de prerrogativa así como sus poderes excepcionales.


title: Monarquía en Canadá

text: Todas las leyes canadienses han sido ratificadas por el soberano o su representante y llevan la firma de este. Así, todas las leyes federales comienzan con la expresión « "Su Majestad, sobre la opinión y con el consentimiento del Senado y de la Cámara de los Comunes de Canadá, decreta" [...]» La firma del soberano o de su representante de una ley, sea federal o provincial, se denomina Sanción Real ("Royal Assent"). Se necesita esta sanción para que una ley sea efectiva, y generalmente es el gobernador general quien firma las leyes federales y el teniente gobernador las leyes provinciales. Toda ley también debe llevar "El Gran Sello de Canadá" o el Sello de las provincias respectivas. El gobernador general puede reservar para el monarca el derecho de ratificar una ley, según la voluntad de este para permitirle tomar una decisión personal con respecto a la ley. Los tenientes gobernadores también pueden utilizar este poder para permitirle al gobernador general tomar una decisión, o, si este lo desea, transmitírsela al monarca. El monarca tiene la potestad de rechazar una ley, en el plazo prescrito por la constitución canadiense. Recientemente, ciertos activistas demandaron a la reina Isabel II que rechazara la ley C-38 que había sido aprobada por el Parlamento. Sin embargo, Beverley McLachlin, C.P., en su cualidad de suplente del gobernador general sancionó la ley en nombre de la reina de Canadá. El soberano es reconocido como que es la "fuente de la justicia" y es responsable hacer reinar la justicia para todos sus súbditos, sin embargo, el monarca no interfiere personalmente en un caso judicial. Así, las funciones judiciales son ejecutadas en su nombre. El derecho consuetudinario sostiene que el soberano "no puede hacer ningún mal"; el monarca no puede ser perseguido en sus propias Cortes por ofensas criminales, es lo que se llama "Inmunidad Soberana" o "Inmunidad de la Corona". Los procesos civiles contra el gobierno están autorizados, sin embargo los procesos contra el monarca como persona no están permitidos. En los casos de procesos internacionales, como soberano y por ciertos principios establecidos por leyes internacionales la reina de Canadá no puede sentarse en cortes extranjeras sin su propio consentimiento.


title: Monarquía en Canadá

text: El poder más excepcional que posee el monarca es seguramente la prerrogativa real de clemencia. Este poder consiste en indultar a un individuo que habría cometido una infracción del código criminal o del código civil canadiense. Esta prerrogativa es utilizada en casos excepcionales en nombre de la reina de Canadá por el gobernador general o el gobernador en consejo que se apoya en la recomendación del ministro de la Seguridad pública o de otro ministro. Este poder es comparable al indulto presidencial. El perdón puede ser concedido antes, durante, o después de una infracción. Existen tres tipos de clemencia:Además, el monarca también sirve de símbolo para la legitimidad de las Cortes de Justicia, y para las autoridades jurídicas. Una imagen de la reina o del Escudo de Canadá domina siempre los tribunales canadienses. En Canadá, la personalidad jurídica del estado es mencionada como « "Su Majestad la Reina de derecho de Canadá"» (en inglés: "Her Majesty the Queen in Right of Canada") lo mismo que para las provincias y los territorios.


title: Monarquía en Canadá

text: La mayoría de los símbolos reales de Canadá son idénticos a los que utilizan en el Reino Unido, y fueron importados durante la colonización de Canadá por los británicos. Cuando Canadá obtuvo su independencia, varios símbolos que son propios han sido añadidos a ciertos símbolos de la Corona.


title: Monarquía en Canadá

text: La monarquía está simbolizada actualmente por imágenes de la soberana sobre cada una de las monedas así como sobre los billetes de 20 dólares. A menudo encontramos el retrato de la reina sobre los edificios públicos. Las decoraciones canadienses, en su mayoría, poseen un emblema de la corona, bien sea la medalla de la Orden de Canadá, de la Orden del Mérito Militar, etc. También reencontramos símbolos de la monarquía sobre el escudo de armas canadiense así como sobre el de cada una de las provincias.


title: Monarquía en Canadá

text: Ciertos días especiales en el año también se reservan para honrar al soberano, especialmente la Fiesta de la Reina en honor del reinado de la reina Victoria. El Parlamento canadiense proclamó en el año 1901 el 24 de mayo como día festivo. En nuestros días, el lunes que precede al 25 de mayo es el día de la fiesta del soberano.


title: Monarquía en Canadá

text: Un símbolo muy importante es el mensaje de la reina con ocasión del nuevo año. Este mensaje es escuchado cada año por millones de canadienses a lo largo del país. En 2007, la reina gracias al Royal Channel difundió sus votos para el nuevo año a través de YouTube, una primicia para la monarquía. También ha sido la primera soberana en poder transmitir su juramento de lealtad con ocasión de su 81º aniversario gracias a la teledifusión.


title: Monarquía en Canadá

text: También hay cientos de lugares nombrados en honor de los monarcas y los miembros canadienses de la familia real a lo largo de todo Canadá. Ningún individuo ha sido honrado más que la reina Victoria en los nombres de los edificios públicos de Canadá, de calles, y de lugares públicos.


title: Monarquía en Canadá

text: En Canadá, los títulos oficiales de la reina son:


title: Monarquía en Canadá

text: "Isabel Segunda, por la gracia de Dios, Reina del Reino Unido, de Canadá y de sus otros reinos y territorios, Cabeza de la Mancomunidad, Defensora de la Fe" (en francés: "Élisabeth Deux, par la grâce de Dieu, Reine du Royaume-Uni, du Canada et de ses autres royaumes et territoires, Chef du Commonwealth, Défenseur de la Foi", en inglés: "Elizabeth the Second, by the Grace of God of the United Kingdom, Canada and Her other Realms and Territories Queen, Head of the Commonwealth, Defender of the Faith").


title: Monarquía en Canadá

text: Estos títulos denotan el papel de la soberana como reina de Canadá de manera específica, y el aspecto compartido de la Corona en todos los reinos, y menciona a Canadá por separado de otros países.


title: Monarquía en Canadá

text: Aunque los títulos canadienses de la reina incluyan la frase ""Defensora de la Fe"", ni la reina ni ninguno de sus gobernadores generales o tenientes gobernadores tienen un papel religioso en Canadá.


title: Monarquía en Canadá

text: La sucesión de la Corona canadiense es conforme la sucesión británica, es decir es la misma que gobierna en Reino Unido y Canadá al mismo tiempo.


title: Monarquía en Canadá

text: La Familia Real es un grupo de personas estrechamente unidas al monarca de Canadá; es una Familia Real no-residente, sus miembros viven de manera habitual en el Reino Unido. Algunos miembros vivieron en Canadá durante períodos extensos en su calidad de virrey, como Alexander Cambridge, primer conde de Athlone. Los miembros de la Familia Real realizan funciones ceremoniales y sociales pero, excepto el monarca, ninguno tiene un papel en los asuntos de gobierno. Todos llevan el título de «Alteza Real», y el título de «Su Majestad» se atribuye solamente al monarca.


title: Monarquía en Canadá

text: El concepto de Familia Real canadiense apareció a partir del Estatuto de Westminster de 1931. La primera en utilizar este término fue la reina Isabel II durante el discurso de apertura de la primera legislatura del territorio de Nunavut: « "I am proud to be the first member of the Canadian Royal Family to be greeted in Canada's newest territory."» («Estoy orgullosa ser el primer miembro de la Familia Real canadiense en ser acogida en este nuevo territorio de Canadá»). En cambio, los medios canadienses emplean siempre el término «Familia Real británica».


title: Monarquía en Canadá

text: Los miembros de la Familia Real tienen el derecho en el estatuto de "súbditos del monarca canadiense", tienen derecho a la ayuda consular canadiense y a la protección de las fuerzas armadas de la reina de Canadá cuando están fuera de la Commonwealth. Ahora bien, sus miembros no tienen derecho al título de ciudadanos canadienses. Esto creó todo un enredo en ciertas situaciones. Por ejemplo: cuando en cuestión de honores y de decoraciones, la reina-madre tenía derecho al título de miembro honorario de la Orden de Canadá pero no tenía derecho a las condecoraciones de las Fuerzas Armadas canadienses.


title: Monarquía en Canadá

text: A diferencia del Reino Unido, en Canadá el soberano es el único miembro de la Familia Real que tiene un título establecido por ley. Todos los demás miembros de la familia poseen títulos de cortesía, concedidos por patente real en el Reino Unido.


title: Monarquía en Canadá

text: Contrariamente a la creencia popular, los canadienses no pagan ningún impuesto o canon por su monarca, ya sea para la renta personal de la soberana o para el mantenimiento de las residencias reales fuera de Canadá. El único caso en que la reina utiliza el dinero de los canadienses es cuando está en suelo canadiense —en una visita oficial— o cuando actúa en calidad de reina de Canadá en el extranjero. Esto también se aplica a todos los miembros de la familia real británica.


title: Monarquía en Canadá

text: Los canadienses asumen los costes unidos a instituciones como son el gobernador general y los tenientes gobernadores que actúan en nombre de la Corona canadiense durante ceremonias, viajes, etc.


title: Monarquía en Canadá

text: Los registros provinciales y federales de los gastos unidos a la Corona se conservan, pero no se registra ningún estado oficial por parte del gobierno sobre el coste de la monarquía a los canadienses. Sin embargo, cada tres años, la "Liga monárquica de Canadá" emite un estudio, basado en diversos presupuestos federales y provinciales, gastos y evaluaciones, que traza las líneas principales del coste anual del funcionamiento de la Corona. El estudio de 2005 mostró que la institución les costaba a los canadienses la suma de 49 millones de dólares en 2004, es decir, 1,54 dólares por contribuyente. Algunos antimonárquicos emiten informes del mismo género con un resultado final mucho más elevado.


title: Monarquía en Canadá

text: La residencia oficial del monarca canadiense es Rideau Hall, situada en el número 1 del Paseo Sussex, en la ciudad de Ottawa desde el 1867. También es la residencia de trabajo del gobernador general. Rideau Hall es el lugar donde se efectúan la mayoría de las ceremonias de investidura, de toma de posesión, banquetes y otros acontecimientos oficiales. Es dónde son recibidos los dignatarios extranjeros y también pueden residir allí durante las visitas de Estado. También existe otra residencia oficial que es La ciudadela en la ciudad de Quebec que también es la residencia de vacaciones del gobernador general. Este lugar, además de alojar la segunda residencia oficial del monarca canadiense, es una base militar activa.


title: Monarquía en Canadá

text: Las provincias de Columbia Británica, Saskatchewan, Manitoba, Nueva Escocia, Nuevo Brunswick y la Isla del Príncipe Eduardo poseen también residencias oficiales, y en la actualidad son utilizadas por los respectivos tenientes gobernadores.


title: Monarquía en Canadá

text: La Corona conserva un lugar predominante entre las Fuerzas Armadas de Canadá. La reina ocupa el puesto de Comandante en Jefe de las Fuerzas según el artículo 15 de la Ley constitucional de 1867. Sin embargo, el gobernador general de Canadá, en nombre del soberano, puede ejercer esta función conforme a la patente real de 1947 del rey Jorge VI. El soberano también ocupa el puesto de "Comisario honorario" de la Real Policía Montada del Canadá. El símbolo indefectible que el soberano ocupa una posición y un papel importante en el seno de las Fuerzas Armadas se refleja en el hecho que todos los buques militares de Canadá llevan el prefijo "Buque canadiense de Su Majestad" o ""Her Majesty's Canadian Ship""(HMCS) y todos los miembros de las Fuerzas canadienses prestan juramento a la Reina así como a su sucesor. Varios miembros de la Familia Real ostentan el título de "Coronel en Jefe" de algunos regimientos canadienses. Así, muchos de ellos presidieron ceremonias militares, incluida la revista de las tropas. Cada vez que un miembro de la Familia Real está de paso en la ciudad de Ottawa, va a depositar una corona al monumento nacional de la guerra, donde se encuentra la Tumba del soldado desconocido.


title: Monarquía en Canadá

text: La reina Isabel II toma siempre parte activa en las ceremonias de conmemoración de los excombatientes, inauguró particularmente el Memorial de Vimy en 2007 y quiso a rendir homenaje a los seis canadienses muertos unos días antes de la ceremonia durante la misión de paz en Afganistán. También participa cada año en el "Día de la Memoria".


title: Derivada exterior

text: En matemáticas, el operador de derivada exterior (o diferencial exterior) de la topología diferencial, amplía el concepto del diferencial de una función a formas diferenciales de un grado más alto. Fue inventado, en su forma actual, por Élie Cartan.


title: Derivada exterior

text: La derivada exterior de una forma diferencial de grado "k" es una forma diferencial de grado "k"+1. La diferenciación exterior satisface tres propiedades importantes:


title: Producto exterior

text: En matemáticas, el producto exterior de vectores (o producto de cuña, por el símbolo formula_1 utilizado para denotarlo) es una construcción algebraica utilizada en geometría para estudiar áreas, volúmenes y sus análogos de dimensiones superiores. El producto exterior de dos vectores formula_2 y formula_3, denotado por formula_4, se llama bivector y pertenece a un espacio llamado "cuadrado exterior", un espacio vectorial que es distinto del espacio original de los vectores. La magnitud de formula_4 se puede interpretar como el área del paralelogramo con lados formula_2 y formula_3, que en tres dimensiones también se puede calcular usando el producto vectorial de los dos vectores. De manera más general, todas las superficies planas paralelas con la misma orientación y área tienen el mismo bivector como medida de su área orientada. Al igual que el producto cruzado, el producto exterior es anticonmutativo, lo que significa que formula_8 para todos los vectores formula_2 y formula_3, pero, a diferencia del producto cruzado, el producto exterior es asociativo.


title: Producto exterior

text: Cuando se considera de esta manera, el producto exterior de dos vectores se denomina de 2-hojas. De manera más general, el producto exterior de cualquier número "k" de vectores se puede definir como una "k"-hoja. Pertenece a un espacio conocido como la "k"-ésima potencia exterior. La magnitud de la "k"-hoja resultante es el volumen de la dimensión "k" de un paralelotopo cuyas aristas son los vectores dados, así como la magnitud del producto mixto de los vectores en tres dimensiones da el volumen del paralelepípedo generado por esos vectores.


title: Producto exterior

text: El álgebra exterior o álgebra de Grassmann, denominada así en referencia a Hermann Grassmann, es el sistema algebraico cuyo producto es el producto exterior. El álgebra exterior proporciona un entorno algebraico en el que manejar cuestiones geométricas. Por ejemplo, las hojas tienen una interpretación geométrica concreta y los objetos en el álgebra exterior pueden manipularse de acuerdo con un conjunto de reglas inequívocas. El álgebra exterior contiene objetos que no son solo "k"-hojas, sino sumas de "k"-hojas; tal suma se llama "k"-vector. Las "k"-hojas, debido a que son productos simples de vectores, se denominan elementos simples del álgebra. El "rango" de cualquier vector "k" se define como el número más pequeño de elementos simples de los que es una suma. El producto exterior se extiende al álgebra exterior completa, por lo que tiene sentido multiplicar dos elementos cualesquiera del álgebra. Equipada con este producto, el álgebra exterior es un álgebra asociativa, lo que significa que formula_11 para cualquier elemento formula_12. Los "k" vectores tienen grado "k", lo que significa que son sumas de productos de "k" vectores. Cuando se multiplican elementos de diferentes grados, los grados se suman como en una multiplicación de polinomios. Esto significa que el álgebra exterior es un álgebra graduada.


title: Producto exterior

text: La definición del álgebra exterior tiene sentido para espacios no solo de vectores geométricos, sino de otros objetos similares a vectores como campos vectoriales o funciones. En general, el álgebra exterior se puede definir para módulos sobre un anillo conmutativo, y para otras estructuras de interés en álgebra abstracta. Es una de estas construcciones más generales donde el álgebra exterior encuentra una de sus aplicaciones más importantes, donde aparece como el álgebra de formas diferenciales que es fundamental en áreas que usan la geometría diferencial. El álgebra exterior también tiene muchas propiedades algebraicas que la convierten en una herramienta conveniente en el álgebra misma. La asociación del álgebra exterior a un espacio vectorial es un tipo de funtor en espacios vectoriales, lo que significa que es compatible de cierta manera con la aplicación lineal de espacios vectoriales. El álgebra exterior es un ejemplo de biálgebra, lo que significa que su espacio dual también posee un producto, y este producto dual es compatible con el producto exterior. Este álgebra dual es precisamente el álgebra de formas multilineales, y el emparejamiento entre el álgebra exterior y su dual viene dado por el producto interno.


title: Producto exterior

text: El sistema de coordenadas cartesianas R es un espacio vectorial real equipado con una base que consta de un par de vectores unitarios


title: Producto exterior

text: Ahora, se supone que


title: Producto exterior

text: son un par de vectores dados en R, escritos en componentes. Hay un paralelogramo único que tiene v y w como dos de sus lados. El "área" de este paralelogramo viene dada por la fórmula estándar del determinante:


title: Producto exterior

text: Considérese ahora el producto exterior de v y w:


title: Producto exterior

text: donde el primer paso usa la ley distributiva para el producto exterior, y el último usa el hecho de que el producto exterior es alterno, y en particular formula_17. El hecho de que el producto exterior sea alterno también fuerza a que formula_18. Nótese que el coeficiente en esta última expresión es precisamente el determinante de la matriz . El hecho de que el resultado pueda ser positivo o negativo tiene el significado intuitivo de que v y w pueden estar orientados en sentido contrario a las agujas del reloj o en sentido horario como los vértices del paralelogramo que definen. Tal área se llama "área con signo" del paralelogramo: el valor absoluto del área con signo es el área ordinaria y el signo determina su orientación.


title: Producto exterior

text: El hecho de que este coeficiente sea el área con signo no es algo accidental. De hecho, es relativamente fácil ver que el producto exterior debería estar relacionado con el área con signo si se intenta axiomatizar esta área como una construcción algebraica. En detalle, si denota el área con signo del paralelogramo del cual el par de vectores v y " 'w' " forman dos lados adyacentes, entonces A debe satisfacer las siguientes propiedades:


title: Producto exterior

text: Con la excepción de la última propiedad, el producto exterior de dos vectores satisface las mismas propiedades que el área. En cierto sentido, el producto exterior generaliza la propiedad final al permitir comparar el área de un paralelogramo con la de cualquier paralelogramo elegido en un plano paralelo (aquí, el que tiene lados " 'e' " y " 'e' " ). En otras palabras, el producto exterior proporciona una formulación de área "independiente de la base".


title: Producto exterior

text: Para los vectores en un espacio vectorial 3-dimensional orientado con un producto escalar bilineal, el álgebra exterior está estrechamente relacionada con el producto vectorial y el producto mixto. Usando una base canónica , el producto exterior de un par de vectores


title: Producto exterior

text: y


title: Producto exterior

text: es


title: Producto exterior

text: donde es una base para el espacio tridimensional Λ (R). Los coeficientes anteriores son los mismos que los de la definición habitual del producto vectorial de vectores en tres dimensiones con una orientación dada, siendo la única diferencia que el producto exterior no es un vector ordinario, sino un 2-vector, y que el producto exterior no depende de la elección de la orientación.


title: Producto exterior

text: Añadiendo un tercer vector


title: Producto exterior

text: el producto exterior de tres vectores es


title: Producto exterior

text: donde es el vector base para el espacio unidimensional Λ (R). El coeficiente escalar es el producto mixto de los tres vectores.


title: Producto exterior

text: El producto cruzado y el producto triple en un espacio vectorial euclídeo tridimensional admiten cada uno interpretaciones geométricas y algebraicas. El producto cruzado se puede interpretar como un vector que es perpendicular tanto a u como a v y cuya magnitud es igual al área del paralelogramo determinada por los dos vectores. También se puede interpretar como el vector formado por el menor de la matriz con las columnas u y v. El producto triple de u, v y w es un escalar con signo que representa un volumen con orientación geométrica. Algebraicamente, es el determinante de la matriz con columnas u, v y w. El producto exterior en tres dimensiones permite interpretaciones similares: también se puede identificar con longitudes orientadas, áreas, volúmenes, etc., que están atravesados por uno, dos o más vectores. El producto exterior generaliza estas nociones geométricas a todos los espacios vectoriales y a cualquier número de dimensiones, incluso en ausencia de un producto escalar.


title: Producto exterior

text: El álgebra exterior de un espacio vectorial sobre un cuerpo o campo se define como el álgebra cociente del álgebra tensorial por el ideal de dos lados generado por todos los elementos de la forma para (es decir, todos los tensores que se pueden expresar como el tensor producto de un vector en por sí mismo). El ideal "I" contiene el ideal "J" generado por elementos de la forma formula_24 y estos ideales coinciden si (y solo si) formula_25: Se define El producto exterior de dos elementos de es el producto inducido por el producto tensorial de . Es decir, si es la suprayección canónica, y y están en , entonces hay formula_29 y formula_30 en de modo que formula_31 y formula_32 y De la definición de un álgebra cociente resulta que el valor de formula_34 no depende de una elección particular de formula_29 y formula_30.


title: Producto exterior

text: Como , y formula_37, las inclusiones de y en inducen inyecciones de y en . Estas inyecciones se consideran comúnmente como inclusiones y se denominan "incrustaciones naturales", "inyecciones naturales" o "inclusiones naturales". La palabra "canónico" también se usa comúnmente en lugar de "natural".


title: Producto exterior

text: El producto exterior es por construcción "alterno" sobre elementos de formula_38, lo que significa que formula_39 para todo formula_40, por la construcción anterior. De ello se deduce que el producto también es anticonmutativo en elementos de formula_38, por suponer que formula_42,


title: Producto exterior

text: y por lo tanto


title: Producto exterior

text: De manera más general, si "σ" es una permutación de los enteros , y "x", "x", ..., "x" elementos de "V", resulta que


title: Producto exterior

text: donde sgn("σ") es la signatura de la permutación "σ".


title: Producto exterior

text: En particular, si "x" = "x" para algunos , entonces la siguiente generalización de la propiedad alterna también es válida:


title: Producto exterior

text: La "k"-ésima potencia exterior de "V", denotada como Λ("V"), es el subespacio vectorial de Λ("V") abarcado por elementos de la forma


title: Producto exterior

text: Si , entonces "α" se dice que es un "k"-vector. Si, además, "α" se puede expresar como un producto exterior de "k" elementos de "V", entonces se dice que "α" es descomponible. Aunque los "k" vectores descomponibles abarcan Λ("V"), no todos los elementos de Λ("V") son descomponibles. Por ejemplo, en R, el siguiente 2-vector no es descomponible:


title: Producto exterior

text: Si la dimensión de es y es una base para , entonces el conjunto es una base para . El motivo es el siguiente: dado cualquier producto exterior de la forma cada vector puede escribirse como una combinación lineal de los vectores de la base ; usando la bilinealidad del producto exterior, esto puede expandirse a una combinación lineal de productos exteriores de esos vectores de la base. Cualquier producto exterior en el que aparezca el mismo vector base más de una vez es cero; cualquier producto exterior en el que los vectores base no aparezcan en el orden correcto se puede reordenar, cambiando el signo siempre que dos vectores base cambien de lugar. En general, los coeficientes resultantes de los vectores de una base se pueden calcular como los menores de la matriz que describe los vectores en términos de la base .


title: Producto exterior

text: Contando los elementos básicos, la dimensión de es igual al coeficiente binomial: donde es la dimensión de los "vectores" y es el número de vectores en el producto. El coeficiente binomial produce el resultado correcto, incluso en casos excepcionales; en particular, para .


title: Producto exterior

text: Cualquier elemento del álgebra exterior se puede escribir como una suma de -vectores. Por tanto, como espacio vectorial, el álgebra exterior es una suma directa (donde por convención , cuerpo subyacente a y ), y por lo tanto su dimensión es igual a la suma de los coeficientes binomiales, que es 2.


title: Producto exterior

text: Si , entonces es posible expresar "α" como una combinación lineal de "k"-vectores descomponibles:


title: Producto exterior

text: donde cada "α" es descomponible, en


title: Producto exterior

text: El rango del "k"-vector "α" es el número mínimo de "k"-vectores descomponibles en tal expansión de "α". Esto es similar a la noción de rango de un tensor.


title: Producto exterior

text: El rango es particularmente importante en el estudio de 2-vectores . El rango de un 2-vector "α" puede identificarse con la mitad del rango de la matriz de los coeficientes de "α" en una base. Por lo tanto, si "e" es una base para "V", entonces "α" se puede expresar únicamente como


title: Producto exterior

text: donde (la matriz de coeficientes es antisimétrica). El rango de la matriz "a" es por tanto par, y es el doble del rango de la forma "α".


title: Producto exterior

text: En la característica 0, el 2-vector "α" tiene rango "p" si y solo si


title: Producto exterior

text: El producto exterior de un "k"-vector con un "p"- vector es un -vector, que nuevamente invoca la bilinealidad. Como consecuencia, la descomposición de una suma directa de la sección anterior


title: Producto exterior

text: le da al álgebra exterior la estructura adicional de un álgebra graduada, es decir


title: Producto exterior

text: Además, si es la base del cuerpo, entonces


title: Producto exterior

text: El producto exterior se clasifica como anticomutativo, lo que significa que si y , entonces


title: Producto exterior

text: Además de estudiar la estructura graduada en el álgebra exterior, estudia estructuras graduadas adicionales en álgebras exteriores, como las del álgebra exterior de un álgebra graduada (un módulo que ya tiene su propia graduación).


title: Producto exterior

text: Sea un espacio vectorial sobre el campo . De manera informal, la multiplicación en se realiza manipulando símbolos e imponiendo una distributividad, una asociatividad y utilizando la identidad formula_63 para . Formalmente, es el álgebra "más general" en la que estas reglas son válidas para la multiplicación, en el sentido de que cualquier -álgebra asociativa unidad que contenga con multiplicación alterna en debe contener una imagen homomórfica de . En otras palabras, el álgebra exterior tiene la siguiente propiedad universal:


title: Producto exterior

text: Para construir el álgebra más general que contiene y cuya multiplicación se alterna en , es natural comenzar con el álgebra asociativa más general que contiene , el álgebra tensorial , y luego hacer cumplir la propiedad alterna tomando un cociente adecuado. Por lo tanto, se toma el ideal de dos lados en generado por todos los elementos de la forma para en , y se define como el cociente


title: Producto exterior

text: (y se usa como el símbolo para la multiplicación en . Entonces es sencillo demostrar que contiene y satisface la propiedad universal anterior.


title: Producto exterior

text: Como consecuencia de esta construcción, la operación de asignar a un espacio vectorial su álgebra exterior es un funtor desde la categoría de los espacios vectoriales a la categoría de las álgebras.


title: Producto exterior

text: En lugar de definir primero y luego identificar las potencias exteriores como ciertos subespacios, se puede alternativamente definir primero los espacios y luego combinarlos para formar el álgebra . Este enfoque se utiliza a menudo en geometría diferencial y se describe en la siguiente sección.


title: Producto exterior

text: Dado un anillo conmutativo "R" y un "R"-módulo "M", se puede definir el álgebra exterior Λ("M") tal como se indicó anteriormente, como un cociente adecuado del álgebra tensorial T("M"). Satisface la propiedad universal análoga. Muchas de las propiedades de Λ("M") también requieren que "M" sea un módulo proyectivo. Cuando se usa la dimensionalidad finita, las propiedades requieren además que "M" sea generado finitamente y proyectivo. Las generalizaciones a las situaciones más comunes se pueden encontrar en .


title: Producto exterior

text: Las álgebras exteriores de fibrado vectorial se consideran con frecuencia en geometría y topología. No existen diferencias esenciales entre las propiedades algebraicas del álgebra exterior de paquetes vectoriales de dimensión finita y las del álgebra exterior de módulos proyectivos generados finitamente, según el teorema de Serre–Swan. Se pueden definir álgebras exteriores más generales para haces de módulos.


title: Producto exterior

text: Si "K" es un campo de característica 0, entonces el álgebra exterior de un espacio vectorial "V" sobre "K" se puede identificar canónicamente con el subespacio vectorial de T ("V") que consta de tensores antisimétricos. Recuérdese que el álgebra exterior es el cociente de T("V") por el ideal "I" generado por elementos de la forma .


title: Producto exterior

text: Sea T("V") el espacio de tensores homogéneos de grado "r", atravesado por tensores descomponibles.


title: Producto exterior

text: La antisimetrización (o a veces la simetrización oblicua) de un tensor descomponible se define por


title: Producto exterior

text: donde la suma se toma sobre el grupo simétrico de permutaciones en los símbolos Esto se extiende por linealidad y homogeneidad a una operación, también denotada por Alt, en el álgebra tensorial completa T("V"). La imagen Alt(T("V")) es el álgebra de tensor alterno, denotada A("V"). Este es un subespacio vectorial de T("V"), y hereda la estructura de un espacio vectorial graduado de la de T("V"). Lleva un producto calificado asociativo formula_67 definido por


title: Producto exterior

text: Aunque este producto difiere del producto tensorial, el núcleo de "Alt" es precisamente el ideal "I" (nuevamente, asumiendo que "K" tiene la característica 0), y existe un isomorfismo canónico


title: Producto exterior

text: Supóngase que "V" tiene una dimensión finita "n", y que se da una base de "V". Entonces, cualquier tensor alterno se puede escribir en notación indexada como


title: Producto exterior

text: donde "t" es completamente antisimétrico en sus índices.


title: Producto exterior

text: El producto exterior de dos tensores alternos "t" y "s" de los rangos "r" y "p" viene dado por


title: Producto exterior

text: Los componentes de este tensor son precisamente la parte oblicua de los componentes del producto tensorial , indicado por corchetes en los índices:


title: Producto exterior

text: El producto interno también se puede describir en notación indexada como sigue. Sea formula_73 un tensor antisimétrico de rango "r". Entonces, para , "i""t" es un tensor alterno de rango , dado por


title: Producto exterior

text: donde "n" es la dimensión de "V".


title: Producto exterior

text: Dados dos espacios vectoriales "V" y "X" y un número natural "k", un operador alterno de "V" a "X" es una aplicación multilineal


title: Producto exterior

text: tal que siempre que "v", ..., "v" son vectores linealmente dependientes en "V", entonces


title: Producto exterior

text: La aplicación


title: Producto exterior

text: que asocia a los vectores formula_78 de formula_79 su producto exterior, es decir, su correspondiente vector formula_78, también es alterna. De hecho, esta aplicación es el operador alterno "más general" definido en formula_81; dado cualquier otro operador alterno formula_82, existe una aplicación lineal formula_83 único con formula_84. Esta propiedad universal caracteriza el espacio formula_85 y puede servir como su definición.


title: Producto exterior

text: La discusión anterior se especializa en el caso de , la base del campo. En este caso una función multilineal alterna se llama una forma multilineal alterna. El conjunto de todas las formas multilineales alternadas es un espacio vectorial, ya que la suma de dos de esas aplicaciones, o el producto de tal aplicación por un escalar, se alterna de nuevo. Por la propiedad universal de la potencia exterior, el espacio de formas alternas de grado "k" sobre "V" es naturalmente isomorfo con el espacio dual (Λ"V "). Si "V" es de dimensión finita, entonces este último es naturalmente isomorfo a Λ(" V"). En particular, si "V" es "n"-dimensional, la dimensión del espacio de los mapas alternos de "V" a "K" es el coeficiente binomial formula_87


title: Producto exterior

text: Bajo esta identificación, el producto exterior toma una forma concreta: produce una nueva aplicación antisimétrica a partir de otras dos dadas. Supóngase que y son dos aplicaciones antisimétricas. Como en el caso del producto tensorial de aplicaciones multilineales, el número de variables de su producto exterior es la suma de los números de sus variables. Se define de la siguiente manera:


title: Producto exterior

text: donde, si la característica de la base del cuerpo "K" es 0, la alternancia Alt de una aplicación multilineal se define como el promedio de los valores ajustados por el signo sobre todas las permutaciones de sus variables:


title: Producto exterior

text: Cuando el cuerpo "K" tiene característica finita, se obtiene una versión equivalente a la expresión anterior pero sin factoriales ni constantes:


title: Producto exterior

text: donde aquí es el subconjunto de los ("k","m") barajados: las permutaciones del conjunto "σ"}, tales que y .


title: Producto exterior

text: Supóngase que "V" es de dimensión finita. Si "V" denota el espacio dual al espacio vectorial "V", entonces para cada , es posible definir una antiderivación en el álgebra Λ ("V"),


title: Producto exterior

text: Esta derivación se llama el producto interno con "α", o algunas veces el operador de inserción, o la contracción por "α".


title: Producto exterior

text: Supóngase que . Entonces w es una aplicación multilineal de "V" sobre "K", por lo que está definido por sus valores en la "k"-hoja del producto cartesiano . Si "u", "u", ..., "u" son elementos de "V", se define


title: Producto exterior

text: Además, se tiene que siempre que "f" sea un escalar puro (es decir, pertenezca a Λ"V").


title: Producto exterior

text: El producto interno satisface las siguientes propiedades:Estas tres propiedades son suficientes para caracterizar el producto interno, así como para definirlo en el caso general de dimensión infinita.


title: Producto exterior

text: Otras propiedades del producto interno incluyen:


title: Producto exterior

text: Supóngase que "V" tiene una dimensión finita "n". Entonces el producto interno induce un isomorfismo canónico de espacios vectoriales por la definición recursiva


title: Producto exterior

text: En la configuración geométrica, un elemento distinto de cero de la potencia exterior superior Λ("V") (que es un espacio vectorial unidimensional) a veces se denomina forma de volumen (o forma orientada, aunque este término a veces puede dar lugar a ambigüedad). El término "orientada" proviene del hecho de que la elección del elemento superior preferido determina una orientación de todo el álgebra exterior, ya que equivale a fijar una base ordenada del espacio vectorial. En relación con la forma de volumen preferida "σ", el isomorfismo entre un elemento formula_99 y su dual de Hodge viene dado explícitamente por


title: Producto exterior

text: Si, además de una forma de volumen, el espacio vectorial "V" está equipado con un producto interior que identifica "V" con "V", entonces el isomorfismo resultante se llama el operador de estrella de Hodge, que asigna un elemento a su dual de Hodge:


title: Producto exterior

text: La composición de formula_102 consigo misma aplica y siempre es un múltiplo escalar de la aplicación identidad. En la mayoría de las aplicaciones, la forma de volumen es compatible con el producto interior en el sentido de que es un producto exterior de una base ortonormal de "V". En este caso, donde id es la identidad, y el producto interior tiene signatura métrica - "p" positiva y "q" negativa.


title: Producto exterior

text: Cuando "V" es un espacio de dimensión finita, un producto interior (o un producto interior pseudo euclídeo) en "V" define un isomorfismo de "V" con "V", y así también un isomorfismo de Λ"V" con (Λ"V "). La relación entre estos dos espacios también toma la forma de un producto interior. Sobre "k" vectores descomponibles, el determinante de la matriz de productos interiores. En el caso especial , el producto interior es la norma cuadrada del vector "k", dada por el determinante de la matriz de Gram . Esto luego se extiende bilinealmente (o sesquilinearmente en el caso complejo) a un producto interior no degenerado en Λ"V". Si "e", , forman una base ortonormal de "V", entonces los vectores de la forma constituyen una base ortonormal para Λ ("V").


title: Producto exterior

text: Con respecto al producto interior, la multiplicación exterior y el producto interior son mutuamente contiguos. Específicamente, para , y , donde es el isomorfismo canónico, la funcional lineal definida por para todo . Esta propiedad caracteriza completamente el producto interior en el álgebra exterior.


title: Producto exterior

text: De hecho, de manera más general para , y , la iteración de las propiedades adjuntas anteriores da donde ahora es el vector dual "l" definido por para todo .


title: Producto exterior

text: Existe una correspondencia entre el dual graduado del álgebra graduada Λ("V") y las formas multilineales alternas en "V". El álgebra exterior (así como el álgebra simétrica) hereda una estructura biálgebra y, de hecho, una estructura de álgebra de Hopf, del álgebra tensorial. Consúltese el artículo sobre álgebra tensorial para obtener un tratamiento detallado del tema.


title: Producto exterior

text: El producto exterior de las formas multilineales definidas anteriormente es dual a un coproducto definido en Λ("V"), dando la estructura de un coálgebra. El coproducto es una función lineal que viene dada por


title: Producto exterior

text: en los elementos "v"∈"V". El símbolo 1 representa el elemento de unidad del campo "K". Recuérdese que de modo que lo anterior realmente se encuentra en Esta definición del coproducto se eleva al espacio completo Λ("V") por homomorfismo (lineal). La forma correcta de este homomorfismo no es la que se podría escribir ingenuamente, sino que tiene que ser la que se define cuidadosamente en el artículo de coálgebra. En este caso, se obtiene


title: Producto exterior

text: Ampliando esto en detalle, se obtiene la siguiente expresión sobre elementos descomponibles:


title: Producto exterior

text: donde la segunda suma se toma sobre todo -barajados. Lo anterior se escribe con un truco de notación, para realizar un seguimiento del elemento de campo 1: el truco es escribir formula_113, y esto se baraja en varias ubicaciones durante la expansión de la suma sobre barajas. El barajado se deduce directamente del primer axioma de una co-álgebra: el orden relativo de los elementos formula_114 se "conserva" en el "barajado rápido", que simplemente divide la secuencia ordenada en dos secuencias ordenadas, una a la izquierda, y otra a la derecha.


title: Producto exterior

text: Obsérvese que el coproducto conserva la calificación del álgebra. Extendiéndose al espacio completo Λ ("V"), se tiene que


title: Producto exterior

text: El símbolo tensorial ⊗ utilizado en esta sección debe entenderse con cierta precaución: "no" es el mismo símbolo tensorial que se utiliza en la definición del producto alterno. Intuitivamente, quizás sea más fácil pensarlo como otro producto tensorial, pero diferente: sigue siendo (bi)lineal, como deberían ser los productos tensoriales, pero es el producto que es apropiado para la definición de una biálgebra, es decir, para crear el objeto . Cualquier duda persistente se puede aclarar ponderando las igualdades y , que se derivan de la definición de coalgebra, a diferencia de manipulaciones ingenuas que involucran el tensor y los símbolos de cuña. Esta distinción se desarrolla con mayor detalle en el artículo sobre álgebras tensoriales. Aquí, el problema es mucho menor, ya que el producto alterno Λ corresponde claramente a la multiplicación en la biálgebra, dejando el símbolo ⊗ libre para su uso en la definición de la biálgebra. En la práctica, esto no presenta un problema particular, siempre que se evite la trampa fatal de reemplazar sumas alternas de ⊗ por el símbolo de la cuña, con una excepción. Se puede construir un producto alterno a partir de ⊗, entendiendo que funciona en un espacio diferente. Inmediatamente a continuación, se da un ejemplo: el producto alterno para el "espacio dual" se puede dar en términos del coproducto. La construcción de la biálgebra aquí es paralela a la construcción en el artículo sobre el álgebra tensorial casi exactamente, excepto por la necesidad de seguir correctamente los signos alternos del álgebra exterior.


title: Producto exterior

text: En términos del coproducto, el producto exterior en el espacio dual es solo el dual graduado del coproducto:


title: Producto exterior

text: donde el producto tensorial en el lado derecho es de aplicaciones lineales multilineales (extendido por cero en elementos de grado homogéneo incompatible: más precisamente, , donde "ε" es el contador, como se define actualmente).


title: Producto exterior

text: El contador es el homomorfismo que devuelve el componente de grado 0 de su argumento. El coproducto y el recuento, junto con el producto exterior, definen la estructura de una biálgebra en el álgebra exterior.


title: Producto exterior

text: Con una antípoda definida en elementos homogéneos por formula_117, el álgebra exterior es además un álgebra de Hopf.


title: Producto exterior

text: Supóngase que "V" y "W" son un par de espacios vectoriales y es un aplicación lineal. Entonces, por la propiedad universal, existe un homomorfismo único de álgebras graduadas


title: Producto exterior

text: tal que


title: Consejo de la Unión Europea

text: El Consejo de la Unión Europea es la institución de la Unión Europea en la que se encuentran representados los Estados miembros a través de representantes con rango ministerial, por lo que también es conocido informalmente como Consejo de Ministros o Consilium, y a la que corresponden, junto con el Parlamento, las funciones legislativa y presupuestaria. Ejerce también funciones de definición de algunas políticas y de coordinación, en los términos fijados por los Tratados constitutivos de la Unión Europea. No debe confundirse con el Consejo Europeo, institución comunitaria que reúne a los jefes de Estado y de Gobierno de los Estados miembros para impulsar la acción política general de la Unión Europea, ni tampoco con el Consejo de Europa, una organización internacional de carácter regional distinta y ajena a la Unión Europea.


title: Consejo de la Unión Europea

text: Las funciones del Consejo han evolucionado, al menos formalmente, de más a menos; si en un principio era la principal instancia decisoria de las Comunidades Europeas, hoy en día la evolución institucional de la Unión ha encuadrado y reducido sus funciones. Así, el Parlamento Europeo se ha venido revelando desde la entrada en vigor del Tratado de Maastricht como un actor de creciente importancia política como institución de control de las demás instituciones, órganos y organismos comunitarios y, sobre todo, como colegislador en igualdad de condiciones con el Consejo. Asimismo, la oficialización del Consejo Europeo, como órgano diferenciado del Consejo de la UE, que impuso el reciente Tratado de Lisboa, han mermado formalmente sus funciones y poderes constitucionales en pro de aquel.


title: Consejo de la Unión Europea

text: El Parlamento Europeo y el Consejo ejercen los poderes legislativos de la Unión Europea, en las condiciones y dentro de las competencias señaladas para esta en los Tratados. Sin la aprobación de uno y otro (en ocasiones de uno "u" otro) las "leyes europeas" (estrictamente reglamentos, directivas y decisiones de naturaleza legislativa) no pueden ser adoptadas válidamente. La mayoría de los actos legislativos de la Unión deben ser propuestos por la Comisión y aprobados por el Parlamento y el Consejo, de acuerdo con el procedimiento legislativo ordinario; pero no siempre es así, los Tratados establecen excepciones, actos legislativos cuya adopción se siguen procedimientos especiales. Estos últimos procedimientos (cada vez menos) suelen establecerse en beneficio del Consejo, y por tanto en perjuicio del Parlamento. El Consejo es, pues, un órgano colegislador con ciertas funciones políticas suplementarias. En ambos casos se pronuncia a iniciativa de la Comisión Europea, en la mecánica de lo que suele conocerse como «triángulo institucional» (Comisión, Consejo y Parlamento).


title: Consejo de la Unión Europea

text: La sede principal del Consejo está ubicada en el Edificio Europa de Bruselas, donde se celebran sus plenos y donde encuentran sus Servicios y la Secretaría General, si bien en los meses de abril, junio y octubre las reuniones se celebran en Luxemburgo.


title: Consejo de la Unión Europea

text: A pesar de todo, el Consejo permanece hoy como una poderosa institución, si no la principal sí una de ellas, sin la cual el funcionamiento de las demás carecería de lógica política. De este modo, el Consejo ostenta y ejerce las siguientes responsabilidades:


title: Consejo de la Unión Europea

text: Más en detalle, sus funciones pueden presentarse de la siguiente forma:


title: Consejo de la Unión Europea

text: De acuerdo con el Tratado de la Unión Europea, la política exterior y de seguridad común (PESC) que la Unión lleva a cabo en el mundo es fruto de una metodología decisoria específica, distinta a la que encauza el resto de la acción exterior comunitaria, de la que sin embargo aquella forma parte. Así, la especial sensibilidad de los asuntos incluidos en la agenda de la PESC, que comprende aspectos y ámbitos políticos muy cercanos al llamado "núcleo duro de la soberanía" (incluida una política común de seguridad y defensa), determina la casi total exclusión del Parlamento Europeo de todo el proceso decisorio, así como de otras instituciones de control o supervisión como el Tribunal de Justicia y el Tribunal de Cuentas. Asimismo, están jurídicamente vetados a este ámbito de la acción política europea los actos de naturaleza legislativa; no caben las "leyes europeas" en el área de la política exterior y de seguridad (ni en su política de defensa), tan solo otras decisiones, de naturaleza ejecutiva o reglamentaria.


title: Consejo de la Unión Europea

text: El proceso decisorio en el ámbito de la PESC, netamente intergubernamental y distinto del procedimiento comunitario habitual, se divide en distintas fases que asignan funciones distintas a cada uno de los actores institucionales, diferentes a las que habitualmente les corresponden en los asuntos comunes. Así: Como puede observarse, el cauce esencialmente intergubernamental de esta política determina el correspondiente protagonismo de las dos instituciones que representan a los gobiernos y a los intereses nacionales: el Consejo Europeo y el Consejo. Las funciones más solemnes y generalistas del Consejo Europeo hacen que, respetando las directrices y prioridades estratégicas por él establecidas, sea en el Consejo en quien recaiga la responsabilidad más inmediata de adoptar las decisiones concretas que apliquen dichas directrices y prioridades generales a la realidad internacional y frente a los acontecimientos imprevistos. Una de sus formaciones, el Consejo de Asuntos Exteriores, compuesto por los ministros de asuntos exteriores de los Estados miembros y presidido por el Alto Representante, que además propone y ejecuta las decisiones que aquel adopta, es el órgano encargado de hacer frente de manera específica a estas funciones, tanto en el ámbito de la política exterior y de seguridad común como en la política común de seguridad y defensa, que forma parte integral pero autónoma de la primera.


title: Consejo de la Unión Europea

text: Para el resto de la acción exterior comunitaria, el Consejo desempeña las funciones que le corresponden de acuerdo con el método comunitario de adopción de decisiones, esto es, en cooperación con el Parlamento Europeo y con la Comisión, así como con las demás instituciones en la medida de sus responsabilidades.


title: Consejo de la Unión Europea

text: En el Consejo se hallan representados los Gobiernos de los Estados de la Unión a través de un Ministro capacitado para comprometer el voto de su gobierno, más la Comisión, con voz pero sin voto, que está representada por un Comisario europeo.


title: Consejo de la Unión Europea

text: El Consejo es la Institución de la Unión Europea que reúne la voz de los intereses nacionales, y es su función la de, guiada por el método comunitario, velar por su respeto y su adecuada proyección en las políticas de la Unión, fomentando la concordancia y el equilibrio entre los mismos mediante la búsqueda del acuerdo y el compromiso. A través del Consejo participan los Estados en el proceso de toma de decisiones, integrando así sus intereses en las políticas y actividades de la Unión mediante el equilibrio alcanzado a través de la negociación en el marco de la lealtad institucional.


title: Consejo de la Unión Europea

text: Todo el trabajo del Consejo es preparado (las reuniones) o coordinado (las políticas) por un Comité de Representantes Permanentes (Coreper), compuesto por los Representantes Permanentes de los Estados miembros que trabajan en Bruselas y auxiliado por la Secretaría General. El trabajo de este primer comité es preparado o delegado a su vez a más de 150 comités y grupos de trabajo compuestos por delegados de los Estados miembros.


title: Consejo de la Unión Europea

text: Entre estos, ciertos comités tienen como función específica aportar coordinación y experiencia en un sector concreto, como por ejemplo, el Comité Económico y Financiero, el Comité Político y de Seguridad (responsable de la supervisión de la situación internacional en los ámbitos de la política exterior y de seguridad común y de efectuar, bajo la responsabilidad del Consejo, la supervisión política y la dirección estratégica de las operaciones de gestión de crisis) y el Comité de coordinación, responsable de preparar los trabajos en el ámbito de la cooperación policial y judicial en materia penal.


title: Consejo de la Unión Europea

text: Si bien la regla general de funcionamiento en la toma de decisiones es la mayoría cualificada, los Tratados prevén situaciones específicas en las que se procederá mediante voto unánime a la adopción de una decisión o de un acuerdo, además de contemplar algunos casos en que la mayoría simple de sus miembros bastará para adoptarlos.Será el Presidente del Consejo (el de cada formación) el que invite a sus miembros a votación, eligiendo el momento dentro de los límites señalados por el Reglamento, cuando proceda. En cualquier caso deberá hacerlo cuando así lo soliciten al menos la mitad de sus miembros.


title: Consejo de la Unión Europea

text: El Consejo no se organiza en grupos políticos internos, como sí ocurre en el Parlamento Europeo; sus integrantes representan exclusivamente a los Gobiernos de los Estados de la Unión, de acuerdo con el principio de representación nacional, y en esa sola calidad participan y votan. A esto hay que añadir que la existencia en varios países de gobiernos de coalición hace posible que la composición ideológica de las diversas formaciones se vea alterada en función de los ministros que la integren. Todo lo cual no obsta la frecuente concurrencia en el sentido del voto entre representantes de gobiernos con idéntica afinidad política, puesto que el Consejo es, a fin de cuentas, una institución de naturaleza política.


title: Isla Jarvis

text: La isla Jarvis (en inglés: "Jarvis Island"; también conocida como isla Bunker) es uno de los catorce territorios no incorporados de los Estados Unidos de América.


title: Isla Jarvis

text: Actualmente se encuentra deshabitada y posee una superficie de 4,5 km², localizada en el océano Pacífico sur, a media distancia entre Hawái y las islas Cook. Está justo en la parte central de las Espóradas Ecuatoriales.


title: Isla Jarvis

text: El clima de la isla es tropical, con lluvias insuficientes, viento constante y sol fuerte. Variando desde el nivel del mar hasta los 7 metros, el terreno es arenoso. La isla no tiene agua potable natural.


title: Isla Jarvis

text: Por propósitos estadísticos, la isla es considerada como una de las Islas Ultramarinas de Estados Unidos.


title: Isla Jarvis

text: La isla no tiene agua dulce, por lo que si se necesita agua dentro de la isla, se tiene que traer desde el exterior.


title: Isla Jarvis

text: La isla fue descubierta el 21 de agosto, 1821 por el buque británico "Eliza Francis", bajo el mando del capitán Brown.


title: Isla Jarvis

text: La isla fue reclamada por los Estados Unidos en marzo de 1857 bajo el Acta de Islas Guaneras, y fue oficialmente anexionada por dicho país el 27 de febrero de 1858. El guano, después de ser extraído, debía ser enviado a los Estados Unidos para usarlo como fertilizante. Tras 21 años de continua explotación, la isla fue abandonada en 1879 después de extraer toneladas de guano. El Reino Unido anexionó la isla el 3 de junio de 1889, pero nunca realizaron planes para continuar con la extracción de recursos sobre la isla. Los Estados Unidos ocuparon y reclamaron la isla en 1935 como un territorio no incorporado.


title: Isla Jarvis

text: La zona de Millersville en el lado occidental de la isla fue usada ocasionalmente como una estación meteorológica desde 1935 hasta la Segunda Guerra Mundial, momento en el que fue abandonada. Fue ocupada de nuevo en 1957 durante el Año Geofísico Internacional por científicos, pero fue abandonada de nuevo al año siguiente.


title: Isla Jarvis

text: La isla Jarvis está administrada por el Servicio de Pesca y Vida Silvestre de los Estados Unidos como "Jarvis Island National Wildlife Refuge". La entrada a la isla requiere un permiso especial del U.S. Fish and Wildlife Service y suele estar restringida a toda persona salvo a los científicos. Es visitada anualmente por el equipo de Guardacostas de los Estados Unidos y por el Servicio de Pesca y Vida Silvestre de los Estados Unidos.


title: Isla Jarvis

text: Mientras que algunos puntos de anclaje en alta mar están marcados en los mapas, la isla de Jarvis no tiene puertos o muelles, y las corrientes rápidas son un peligro. Hay una zona de desembarco de barcos en el centro de la costa occidental, cerca de una baliza de día que se está desmoronando, y otra cerca de la esquina suroeste de la isla. El centro de la isla Jarvis es una laguna seca donde se acumularon profundos depósitos de guano, que fueron explotados durante unos 20 años en el siglo XIX. La isla tiene un clima desértico tropical, con altas temperaturas diurnas, viento constante y sol fuerte. Las noches, sin embargo, son bastante frescas. El suelo es mayormente arenoso y alcanza los 7 metros en su punto más alto. Debido a la distancia de la isla de otras grandes masas de tierra, el punto alto de la isla Jarvis es el 36º pico más aislado del mundo. La isla de coral de baja altitud ha sido considerada durante mucho tiempo como difícil de ver desde pequeños barcos y está rodeada por un estrecho arrecife periférico.


title: Isla Jarvis

text: La Isla Jarvis es uno de los dos territorios de los Estados Unidos que se encuentran en el hemisferio sur (el otro es Samoa Americana). Situada a sólo 25 millas (40 km) al sur del ecuador, Jarvis no tiene ninguna fuente natural de agua dulce conocida y las precipitaciones son escasas. Esto crea un paisaje muy sombrío y plano sin plantas más grandes que los arbustos. No hay evidencia de que la isla haya sostenido alguna vez una población humana autosuficiente. Sus escasos manojos de hierba, enredaderas postradas y arbustos de bajo crecimiento son principalmente un hábitat de anidación, descanso y alimentación para las aves marinas, las aves costeras y la vida silvestre marina.


title: Isla Jarvis

text: La isla de Jarvis fue una vez una de las mayores colonias de reproducción del océano tropical, pero la extracción de guano y la introducción de roedores han arruinado gran parte de la vida silvestre nativa de la isla. En 1982 sólo se registraron ocho especies reproductoras, en comparación con trece en 1996, y catorce especies en 2004. El paíño boreal polinesio había regresado después de más de 40 años de ausencia de la isla Jarvis, y el número de paíños pardos se multiplicó de sólo unos pocos pájaros en 1982 a casi 10000. En 1982 sólo se registraron 12 charranes de lomo gris, pero en 2004 se encontraron más de 200 nidos en la isla.


title: Isla Jarvis

text: La isla de Jarvis quedó sumergida bajo el agua durante el último período interglacial, hace aproximadamente 125.000 años, cuando el nivel del mar era 5-10 metros más alto que hoy. A medida que el nivel del mar disminuyó, se formó una laguna en forma de herradura en el centro de Jarvis.


title: Isla Jarvis

text: La isla de Jarvis está situada en la zona horaria de Samoa (UTC -11:00), la misma zona horaria que la Samoa Americana, el arrecife Kingman, el atolón de Midway y el atolón de Palmyra.


title: Isla Jarvis

text: El 27 de junio de 1974, el Secretario del Interior Rogers Morton creó el Refugio Nacional de Vida Silvestre de la Isla Jarvis, que se amplió en 2009 para añadir tierras sumergidas dentro de las 12 millas náuticas (22 km) de la isla. El refugio incluye ahora 5,15 kilómetros cuadrados de tierra y 1.734,4 kilómetros cuadrados de agua. Junto con otras seis islas, la isla fue administrada por el Servicio de Pesca y Vida Silvestre de los Estados Unidos como parte del Complejo de Refugios Nacionales de Vida Silvestre de las Islas Remotas del Pacífico. En enero de 2009, esa entidad fue elevada a la categoría de Monumento Nacional Marino de las Islas Remotas del Pacífico por el Presidente George W. Bush.