# On Equilibrium Analysis in Common-Pool Resource Game with Population Uncertainty

宮下 春樹**

## Haruki MIYASHITA

\begin{abstract}
In this study, we examine the effects of population uncertainty on the equilibrium in common-pool resource game. We create a hypothetical strategic environment where each player was randomly drawn from a pool of potential players. It shows that the equilibrium investment is higher when the number of opponents is a common knowledge than when the number of opponents is uncertain. Moreover, population uncertainty in common-pool resource game might prevent the tragedy of the commons.
\end{abstract}

Key Words: common-pool resource game, population uncertainty, the tragedy of the commons

## 1.はじめに

森林や水産資源のように社会の構成員によって共同で所有され，利用される資源がある。それらの資源は，共同利用資源 (common-pool resources) と呼ばれている。各個人が共同利用資源を過剩に利用することにより, 社会的な損失が生じることは, 共有地の悲劇(the tragedy of the commons) として知られている (Hardin, 1968)。共有地の悲劇に焦点を当てたゲーム理論の研究は数多く行われている。例えば，Ostrom et al. (1994)は，共同利用資源ゲーム (common-pool resources game)を定式化し，そこでのナッシュ均衡を導出している。各プレイヤーは，資源を獲得するための投資額を選択し, その投資額に依存して各自の資源の利用量が定まるとしてモデル化している。ナッシュ均衡の下でのプレイヤーの均衡総投資額は，パレート最適な水準を上回ることが示されている。

Ostrom et al. (1994) は, プレイヤーの人数がプレイヤー間の共有知識であると想定して分析している。つまり, 所与のプレイヤー人数のもとで各
プレイヤーが合理的に投資額を選択した結果，共有地の悲劇が起きると言える。しかし，ゴールドラッシュ時代のカルフォルニア州において金を採掘する個人の人数が急増したように共同利用資源を利用する個人の人数が不確実な状況もあるだろう。このような不確実な状況の下でプレイヤーが限定合理的に投資額を選択する場合に共有地の悲劇が起きるかどうかは興味深い問題である。本論文では, Ostrom et al. (1994)のモデルの拡張を試みる。我々は, プレイヤーの人数が確率的に選択される共同利用資源ゲームを定式化し，そこにおける均衡投資額を導出する。Kahana and Klunover （2015）は，プレイヤー人数の不確実なレントシー キングコンテストの均衡を分析している。本論文では, Kahana and Klunover (2015)に準拠する形でプレイヤー人数の不確実な共同利用資源ゲームを定式化する。プレイヤーの人数がプレイヤー間の共有知識となっている場合の均衡投資額は，プレイヤー人数が不確実な場合の均衡投資額を上回ることが示される。これは, Kahana and Klunover

* 2021 年 6 月 14 日受付, 2021 年 11 月 8 日受理, 2021 年 12 月 25 日 J-STAGE早期公開

** 城西大学経済学部(Faculty of Economics, Josai University)

（2015）のモデルと同様の結果となる。

## 2. モデル

有限人数のプレイヤーからなる不完備情報ゲー ムを考える。Ostrom et al. (1994) pp. 109-114のモデルに準拠し，各プレイヤーは投資額を選択することにより，共同利用資源を利用すると仮定する。その投資額に依存して各自の資源の利用量が定まるとする。Ostrom et al. (1994)と異なり，本論文では，共同利用資源を利用するために母集団の一部のプレイヤーが対戦プレイヤーとして確率的に選ばれる状況を想定する。各プレイヤーは， プレイヤーの人数に対する信念を形成し，投資額を選択すると仮定する。このような不確実な状況下では，プレイヤーの集合は確率変数となるため，自然数を用いて各プレイヤーを区別することができない。そこで, Myerson and Wärneryd (2006)およびKahana and Klunover（2015）に準拠し, 対戦プレイヤーとして選択されたあるプレイヤーの戦略に注目してモデル化を行う。プレイヤー母集団の人数を $m \in N$ と表記する。プレイヤーの人数の集合を $I=\{0,1,2, \ldots\}$ と表記する。対戦プレイヤーのメンバーとして選択された各プレイヤーは，投資を行う前にプレイヤーの人数を予想するとしよう。プレイヤーの人数が $n$ 人となる確率は，ポアソン分布(Poisson distribution)にしたがうと仮定する。つまり，この確率は

$
\pi(n)=\frac{\mu^{n}}{n !} e^{-\mu}
$

である。ただし,$n<m$ であり,$\mu$ はプレイヤー人数の期待値である。我々はKahana and Klunover （2015）に準拠し， $\mu \geq 2$ のケースを想定して分析を進める。対戦プレイヤーのメンバーとして選択された各プレイヤーは，投資を行う際，プレイヤー 人数に対する信念を更新する。プレイヤーの人数が $n$ 人となる事後確率 (posterior probability)を $\tilde{\pi}(n)$ と表記する。Myerson and Wärneryd (2006)は, この事後確率を

$
\tilde{\pi}(n)=\frac{\pi(n) \times \frac{n}{m}}{\sum_{n^{\prime}=0}^{\infty} \pi\left(n^{\prime}\right) \times \frac{n^{\prime}}{m}}=\pi(n) \times \frac{n}{\mu}
$

で与えている。式(1)の $\pi(n)$ を式(2)の右辺の $\pi(n)$ に代入することにより，

$
\tilde{\pi}(n)=\frac{\mu^{n-1}}{(n-1) !} e^{-\mu}, \forall n \geq 1
$

となる。ただし， $\tilde{\pi}(0)=0$ であるとする。

対戦プレイヤーのメンバーとして選択された各プレイヤーは, 各対戦相手が共通の投資額を選択すると予想し，各自の投資額を選択するとしよう。各プレイヤーの最大投資額を $r>0$ と表記し，各プレイヤーの投資費用を $x \in[0, r]$ と表記する。

与えられるとする。ただし， $y \in[0, r]$ は，各対戦相手の投資費用である。すると，共同利用資源の総投資額は， $x+(n-1) y$ となる。以下，これを $X=x+(n-1) y$ と表記する。共同利用資源の総利用量 $F: X \rightarrow \boldsymbol{R}_{+}$は, 以下の生産関数によって与えられるとしよう：

$
F(X)=a X-b X^{2}, a, b \in \boldsymbol{R}_{++} .
$

Ostrom et al. (1994)は, 共同利用資源ゲームを模した経済実験を行うために式(4)の生産関数を導入している（詳細はOstrom et al. (1994) pp. 114$120 を$ 参照のこと)。

各プレイヤーの資源の利用量は, $\frac{x}{X} F(X)$ で与えられる。この資源の利用量は，対戦プレイヤー の人数に依存するため, 各プレイヤーの期待利得は，

$
E u(x, y)=\left.\{\begin{aligned}
& \sum_{n=1}^{\infty} \tilde{\pi}(n) \frac{x}{X} F(X)-x: X>0 \\
& 0 \quad: X=0
\end{aligned}\right.
$

となる。プレイヤーの人数が $\mu$ であることが各プレイヤーの共有知識になっている場合の均衡投資額を $x_{c}^{*}$ と表記する。その一方, プレイヤーの人数が不確実な場合の均衡投資額を $x_{u c}^{*}$ と表記する。

命題 1. 共同利用資源ゲームのプレイヤー人数がポアソン分布にしたがい，共同利用資源の総利用量が $F(X)=a X-b X^{2}$ で与えられる場合, $x_{c}^{*}>x_{u c}^{*}$, $\forall \mu \geq 2$ となる。

証明. 投資額に関する一階条件より，

$
a-b \sum_{n=1}^{\infty} \tilde{\pi}(n)\{2 x+(n-1) y\}=0
$

を得る。プレイヤーの人数が $\mu$ であることが各プレイヤーの共有知識になっている場合, $\tilde{\pi}(n)$ は 1 となり, $n$ は $\mu$ となる。この場合, 均衡において各プレイヤーは $x_{c}^{*}$ をプレイしているため, $x=y=$ $x_{c}^{*}$ となる。したがって, 式(6)は次式で置き換え

られる。

$
\begin{aligned}
& a-b x_{c}{ }^{*}-b \mu x_{c}{ }^{*}=0 \\
& \Leftrightarrow x_{c}^{*}=\frac{a}{b} \frac{1}{1+\mu} .
\end{aligned}
$

その一方，プレイヤーの人数が不確実な場合，均衡において各プレイヤーは $x_{u c}^{*}$ をプレイしているため, $x=y=x_{u c}^{*}$ となるしたがって，式(6)は次式で置き換えられる。

$
\begin{aligned}
& a-b x_{u c}^{*}-b x_{u c}^{*} \sum_{n=1}^{\infty} \tilde{\pi}(n) n=0 \\
& \Leftrightarrow x_{u c}^{*}=\frac{a}{b} \frac{1}{1+\sum_{n=1}^{\infty} \tilde{\pi}(n) n} .
\end{aligned}
$

式(3)の $\tilde{\pi}(n)$ を式(10)の右辺の $\tilde{\pi}(n)$ に代入することにより，次式を得る。

$
\begin{gathered}
\sum_{n=1}^{\infty} \tilde{\pi}(n) n=e^{-\mu} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu^{n-1}}{(n-1) !} n \\
=e^{-\mu} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\mu^{n}}{n !}(n+1) \\
=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\mu^{n} e^{-\mu}}{n !} n+e^{-\mu} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\mu^{n}}{n !} .
\end{gathered}
$

式(13)において $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\mu^{n} e^{-\mu}}{n !} n=\mu, \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\mu^{n}}{n !}=e^{\mu}$ であるから，次式を得る。

$
\sum_{n=1}^{\infty} \tilde{\pi}(n) n=1+\mu
$

したがって，式(10)は,

$
x_{u c}^{*}=\frac{a}{b} \frac{1}{2+\mu}
$

となる。式(15)の右辺と式 (8) の右辺に注目することにより $, x_{c}^{*}>x_{u c}^{*}, \forall \mu \geq 2$ であることが分かる。

命題 1 は, プレイヤーの人数がプレイヤー間の共有知識となっている場合の均衡投資額は, プレイヤーの人数が不確実な場合の均衡投資額を上回ることを述べている。これは，プレイヤー人数の不確実なレントシーキングコンテストにおいて効率的な均衡が実現することを示したKahana and Klunover (2015) と同じ帰結になっている。

ここで，プレイヤーの人数が各プレイヤーの共有知識になっている場合の均衡総投資額を $X_{c}^{*}$ と書き, プレイヤーの人数が不確実な場合の均衡総投資額を $X_{u c}^{*}$ と書こう。式(8)と式(15)より,これらの均衡総投資額はそれぞれ

$
\begin{aligned}
& X_{c}^{*}=\frac{a}{b} \frac{\mu}{1+\mu}, \\
& X_{u c}^{*}=\frac{a}{b} \frac{n}{2+\mu}
\end{aligned}
$

となる。下記命題が示すようにプレイヤーの人数が期待值を上回る場合, プレイヤー人数が不確実なときの総投資の限界生産力 $F^{\prime}\left(X_{u c}^{*}\right)$ は, プレイヤー人数がプレイヤー間の共有知識となっているときの総投資の限界生産力 $F^{\prime}\left(X_{c}^{*}\right)$ を下回る。

命題 2. $F^{\prime}\left(X_{u c}^{*}\right)<F^{\prime}\left(X_{c}^{*}\right) \Leftrightarrow n>\mu$

証明. Figure 1 に総投資額と総投資の限界生産力の対応関係を示す。 $F(X)$ は規模に関し収穫擩減であるから, Figure 1 に示されているように $F^{\prime}\left(X_{u c}^{*}\right)<F^{\prime}\left(X_{c}^{*}\right) \Leftrightarrow X_{u c}^{*}>X_{c}^{*}$ となる。式(16)および式(17)に基づく計算により,

$
X_{u c}^{*}>X_{c}^{*} \Leftrightarrow n>\mu+\frac{\mu}{1+\mu}
$

を得る。ここで,$\mu+\mu /(1+\mu)>\mu$ であるから,$X_{u c}^{*}>$ $X_{c}^{*} \Leftrightarrow n>\mu$ となる。したがって, $F^{\prime}\left(X_{u c}^{*}\right)<F^{\prime}\left(X_{c}^{*}\right)$ $\Leftrightarrow n>\mu$ となる。

## 3. ディスカッション

プレイヤー人数の不確実な共同利用資源ゲームの均衡を分析した。プレイヤーの人数がプレイヤ一間の共有知識となっている場合の均衡投資額

## 総投資の \\ 限界生産力 $\boldsymbol{F^{\prime}(\boldsymbol{X})$}

Figure 1 The graph of $F^{\prime}(X)$ with respect to $X$, when $X_{u c}^{*}$ is greater than $X_{c}^{*}$

は，プレイヤーの人数が不確実な場合の均衡投資額を上回ることが示された。また，プレイヤーの人数が期待值を上回る場合, プレイヤー人数が不確実なときの総投資の限界生産力は, プレイヤー 人数がプレイヤー間の共有知識となっているときの限界生産力を下回ることが示された。本論文の分析に用いた生産関数は規模に関して収穫逓減であるため, プレイヤーの人数が不確実な場合の総投資の限界生産力は，プレイヤー人数がプレイヤー間の共有知識となっている場合の総投資の限界生産力と比べて小さくなる可能性がある。すると, プレイヤー達は投資をしても利得を高めにくくなり，投資費用を小さくするインセンティブを持つようになるだろう。その結果, プレイヤー人数が不確実な場合の均衡投資額は，プレイヤーの人数がプレイヤー間の共有知識となっている場合の投資水準よりも小さくなると考えられる。つまり, プレイヤーの人数が不確実な場合, 各プレイヤーの共同利用資源の利用量は小さくなり, 共有地の悲劇を回避できる可能性がある。Ostrom （1990）は，共同利用資源の利用権を持つ個人を特定化できる場合, 共有地の悲劇を回避できる可能性があると述べている。我々のモデルの結果は,共同利用資源の利用権を持つ個人の人数が確率的に選択される場合にも共有地の悲劇を回避できる可能性があることを示唆している。

本論文では，プレイヤーの人数を選択する確率
は, ポアソン分布にしたがうと仮定して分析を進めた。今後, 我々はプレイヤーを選択する確率分布がプレイヤー間の共有知識になっていないような共同利用資源ゲームの定式化を試みる。そこにおいて, 本論文と同様の結果が導かれるかどうかは興味深い問題となるだうう。

## 謝辞

本研究は JSPS 科研費JP19K23198 の助成を受けた研究成果の一部である。本論文の執筆に当たっては, 匿名の查読者の先生方に有意義なご指摘をいただいた。ここに記して謝意を表したい。

## 参考文献

Hardin, G. (1968) The tragedy of the commons, Science, 162(3859), 1243-1248.

Kahana, N., and Klunover, D. (2015) A note on Poisson contests, Public Choice, 165(1), 97-102.

Myerson, R. B., and Wärneryd, K. (2006) Population uncertainty in contests, Economic Theory, 27(2), 469-474.

Ostrom, E. (1990) Governing the Commons: The Evolution of Institutions for Collective Action, New York: Cambridge University Press.

Ostrom, E., Gardner, R., and Walker, J. (1994) Rules, Games and Common-Pool Resources, Ann Arbor, MI: University of Michigan Press.