# トピック文生成による教師なし意見要約

磯沼 ${ }^{1}$ 森 純一郎 ${ }^{1}$ ボレガラダヌシカ ${ }^{2}$ 坂田 一郎 ${ }^{1}$
1 東京大学 2 リヴァプール大学
\{isonuma, isakata\}@ipr-ctr.t.u-tokyo.ac.jp
mori@mi.u-tokyo.ac.jp danushka@liverpool.ac.uk

## 1 はじめに

近年、 $\mathrm{EC}$ 上の商品レビューや SNS 投稿の急激な 増加により、それらに含まれる意見を集約し、知見 として利用する取り組みが注目されている。こうし た意見文書の要約では、抽出型要約よりも言い換え や一般化を交える生成型要約がより有効なことが知 られているが $[1,2]$ 、既存の生成型要約手法はほぼ 全て教師ありアプローチであり、大量の参照要約の 用意が困難な意見文書への適用方法が課題となって いる。こうした経緯から、近年意見文書に対する教師なし生成型要約が着目されている $[3,4,5]$ 。

教師なしアプローチでは、要約の潜在表現を参照要約なしにいかに獲得するかが鍵となるが、本研究 では多様な詳細度合いを持つトピックを捉えるこ とで要約文を生成する。例えば図 1 に示したあるレ ビューの要約は、「料理」、「サービス」、「場所」の 各トピックについて詳述し、最後は「全体」につい て述べている。このように、要約は多様なトピック で構成され、あるトピックは詳述され、他のトピッ クは簡潔に記述されていることが観察される。そこ で本研究では、文書から木構造上のトピックを推定 し、根からは全体的な、葉に近づくにつれより詳細 なトピックに関する要約文（トピック文）を生成す る。トピック文から、要約として相応しいトピック と詳細度合いを持つ文を選択することで、意見文書 の要約が教師なしに得られることを示す。抽出型要約においては、トピック [6,7] やその木構造 $[8,9]$ の 有効性が従来研究で示されているが、本研究はそれ らの教師なし生成型要約への応用を提案する。

トピック文生成の文脈では、Wang らは文書中の 文の潜在分布を混合ガウス分布で表現すると、その 構成要素である各単峰ガウス分布がトピック文の潜在分布として機能することを明らかにした [10]。一方、本研究のように多様な詳細度合いを持つトピッ ク文を生成するためには、文の詳細度合いを潜在空

図 1 本研究の概要。右側はあるレストランレビューの人手要約であり、各文が木構造上の各トピックに対応する ことがわかる。トピック文の潜在分布の分散は葉に近づ くほど小さくなり、より具体的なトピックに対応する。

間上でモデル化する必要があり、その方法は明らか でない。そこで本研究では、トピック文の潜在表現 をガウス分布で表現する際に、子の分布の分散が親 よりも小さくなるようにモデルを構築することで、葉に近づくにつれより詳細な文を生成する（図 1)。単語の潜在分布としてガウス分布を用いる Gaussian word embedding では、「犬」のような具体的な単語 は、「動物」といった一般的な単語よりも小さい分散を持つことが示されている [11]。文においても同様に、具体的な文は意味の分散が小さいため、その 潜在分布は分散が小さいと考えられる。子の分布の 分散を親よりも小さくするために、本研究では再帰的混合ガウス分布（再帰的 GMM）を文書中の文の 潜在表現の事前分布として導入する。再帰的 GMM は、木構造上の各トピックに対応するガウス分布で 構成され、子の事前分布に親の事後分布を設定して 構築される。これにより、根の潜在分布の分散は大 きく、葉に近づくにつれ分散は小さくなる。評価実験では、提案法の要約性能が既存の教師な し生成型要約手法と競合することを確認した。ま た、トピック文の詳細度合いはその潜在分布の分散 の大きさに依存し、葉に近づくほど分散が小さく、 より具体的な文が生成されることを示した。

図 2 提案法概要。文書の文の事前分布に再帰的 GMM を、それを構成するガウス分布をトピック文の事前分布に設定。

## 2 提案法

本節では、文書からトピック文を生成し、要約を 得る方法を説明する。提案法の概要を図 2 に示す。

## 2.1 文書の生成過程

提案法では以下の文書の生成過程を仮定する。各文書インデックス $d \in\{1, \ldots, D\}$ について:

文書 $d$ の各文インデックス $s \in\left.\{1, \ldots, S_{d}\right.\}$ について:

1. 文のトピック $z_{s} \in\{1,11,12, \ldots, K\}$ をサンプル:

$
z_{s} \sim \operatorname{Mult}(\boldsymbol{\theta})
$

2. 文の潜在表現 $x_{s} \in \mathbb{R}^{H}$ をサンプル:

$
\boldsymbol{x}_{s} \mid z_{s} \sim \prod_{k=1}^{K} p\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid z_{s}=k\right)^{\delta\left(z_{s}=k\right)}
$

3. 尤度が最大となる文 $\boldsymbol{w}_{s}=\left(w_{s}^{1}, \ldots, w_{s}^{N_{s}}\right)$ を得る。

$
\boldsymbol{w}_{s} \mid \boldsymbol{x}_{s}=\arg \max _{\boldsymbol{w}_{s}} p\left(\boldsymbol{w}_{s} \mid \boldsymbol{x}_{s}\right)
$

ただし、 $p\left(\boldsymbol{w}_{s} \mid \boldsymbol{x}_{s}\right)=\prod_{n=1}^{N_{s}} p\left(w_{s}^{n} \mid \boldsymbol{w}_{s}^{<n}, \boldsymbol{x}_{s}\right)$ は RNN で得 る。トピック分布は木構造上に定義され、その事前分布を一様分布に設定する $: \theta_{k}=K^{-1}$ 。文書中の文 の事前分布として再帰的 GMM を設定し (2)、各要素はトピック文の事前分布 $p\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid z_{s}=k\right)$ に対応する：

$
\begin{aligned}
p\left(\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{s}} \mid z_{s}=1\right) & =N\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid \boldsymbol{\mu}_{0}, \boldsymbol{\Sigma}_{0}\right) \\
p\left(\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{s}} \mid z_{s}=k\right) & =q\left(\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{s}} \mid z_{s}=\operatorname{par}(k)\right) \\
& =N\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid \hat{\boldsymbol{\mu}}_{d, \operatorname{par}(k)}, \hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{d, \operatorname{par}(k)}\right)(k \neq 1)
\end{aligned}
$

ただし、 $\operatorname{par}(k)$ はトピック $k$ の親を示す。 $q\left(\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{s}} \mid z_{s}=\right.$ $\operatorname{par}(k))$ は親トピック文の推定事後分布であり、子 トピック文の事前分布として設定される。

この時、文書の尤度とその対数の変分下限は、そ れぞれ下記式で表される：

$
\begin{aligned}
p\left(\boldsymbol{W}_{1: S_{d}}\right)= & \prod_{s=1}^{S_{d}}\left.\{\int p\left(\boldsymbol{w}_{s} \mid \boldsymbol{x}_{s}\right) p\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid z_{s}\right) p\left(z_{s}\right) d \boldsymbol{x}_{s} d z_{s}\right.\} \\
L_{d} & =\sum_{s=1}^{S_{d}}\left.\{\mathbf{E}_{q\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid \boldsymbol{w}_{s}\right)}\left[\log p\left(\boldsymbol{w}_{s} \mid \boldsymbol{x}_{s}\right)\right]-\mathrm{D}_{\mathrm{KL}}\left[q\left(z_{s} \mid \boldsymbol{w}_{s}\right) \mid p\left(z_{s}\right)\right]\right.\} \\
& -\sum_{k=1}^{K} \sum_{s=1}^{S_{d}}\left.\{\hat{\theta}_{s, k} \mathrm{D}_{\mathrm{KL}}\left[q\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid \boldsymbol{w}_{s}\right) \mid p\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid z_{s}=k\right)\right]\right.\}
\end{aligned}
$

ただし $q\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid \boldsymbol{w}_{s}\right)=N\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid \hat{\boldsymbol{\mu}}_{s}, \hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{s}\right)$ は文 $s$ の潜在表現の事後分布で、 $\operatorname{RNN} f_{\mu}, f_{\Sigma}$ により推定される。 $\hat{\theta}_{s, k}=q\left(z_{s}=k \mid \boldsymbol{w}_{s}\right)$ はトピック分布の事後分布であ り、本研究では木構造ニューラルトピックモデル （TSNTM [12]）により推定する（A. 1 節にて詳述）。

## 2.2 トピック文の生成

トピック文の潜在表現の事後分布を式 (8) で与え、 $\sum_{s=1}^{S_{d}} \mathbf{E}_{q\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid \boldsymbol{w}_{s}\right) q\left(z_{s} \mid \boldsymbol{w}_{s}\right)}\left[\log q\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid z_{s}\right)\right]$ を最大化するパラ メータを EMアルゴリズムのＭ ステップで得る：

$
\begin{aligned}
& q\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid z_{s}\right)=\prod_{k=1}^{K} N\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid \hat{\boldsymbol{\mu}}_{d, k}, \hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{d, k}\right) \delta\left(z_{s}=k\right) \\
& \hat{\boldsymbol{\mu}}_{d, k}=\frac{\sum_{s=1}^{S_{d}} \hat{\theta}_{s, k} \mathbf{E}_{q\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid \boldsymbol{w}_{s}\right)}\left[\boldsymbol{x}_{s}\right]}{\sum_{s=1}^{S_{d}} \hat{\theta}_{s, k}}=\frac{\sum_{s=1}^{S_{d}} \hat{\theta}_{s, k} \hat{\boldsymbol{\mu}}_{s}}{\sum_{s=1}^{S_{d}} \hat{\theta}_{s, k}} \\
& \hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{d, k}=\frac{\sum_{s=1}^{S_{d}} \hat{\theta}_{s, k} \mathbf{E}_{q\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid \boldsymbol{w}_{s}\right)}\left[\left(\boldsymbol{x}_{s}-\hat{\boldsymbol{\mu}}_{d, k}\right)\left(\boldsymbol{x}_{s}-\hat{\boldsymbol{\mu}}_{d, k}\right)^{\top}\right]}{\sum_{s=1}^{S_{d}} \hat{\theta}_{s, k}} \\
&=\frac{\sum_{s=1}^{S_{d}} \hat{\theta}_{s, k}\left.\{\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{s}+\left(\hat{\boldsymbol{\mu}}_{s}-\hat{\boldsymbol{\mu}}_{d, k}\right)\left(\hat{\boldsymbol{\mu}}_{s}-\hat{\boldsymbol{\mu}}_{d, k}\right)^{\top}\right.\}}{\sum_{s=1}^{S_{d}} \hat{\theta}_{s, k}}
\end{aligned}
$

これらトピック文の事後分布の平均から、各文書毎 にトピック文を生成する : $\hat{w}_{d, k} \sim \operatorname{RNN}\left(\hat{\mu}_{d, k}\right)$ 。既存研究 [4] と同様に、潜在分布の平均を用いることで、各トピックの要約文が得られることを期待する。
表 1 評価データセットにおける各モデルの ROUGE（F1）値（\%)。

## 2.3 Gaussian Word Embedding との関連

こうして得られたトピック文が、上位トピック ほどより一般的な内容になることを Gaussian Word Embedding との関連を交えて説明する。親子関係に あるトピック文の事後分布間の KL ダイバージェン ス（KLD）は、式 (7) に示した変分下限の $\boldsymbol{x}_{s}$ に関す る項によって上から抑えられる（A.2 節にて証明）。

$
\begin{aligned}
& \sum_{s=1}^{S_{d}} \hat{\theta}_{s, k} \mathrm{D}_{\mathrm{KL}}\left[q\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid \boldsymbol{w}_{s}\right) \mid p\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid z_{s}=k\right)\right] \\
& \geq \sum_{s=1}^{S_{d}} \hat{\theta}_{s, k} \mathrm{D}_{\mathrm{KL}}\left[q\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid z_{s}=k\right) \mid p\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid z_{s}=k\right)\right] \\
&= \sum_{s=1}^{S_{d}} \hat{\theta}_{s, k} \mathrm{D}_{\mathrm{KL}}\left[q\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid z_{s}=k\right) \mid q\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid z_{s}=p a r(k)\right)\right]
\end{aligned}
$

一方、Gaussian word embedding では、単語のタク ソノミー上において、親と子の潜在分布間の KLD を最小化することで、「動物」といった一般的な単語の分散は大きく、「犬」や「猫」などの具体的な単語の分散は小さくなることが報告されている [11]。 これは「動物」は「犬」を指すことも「猫」を指す こともあり、意味の分散が大きいと説明できる。本研究も同様に、変分下限の最大化により、親子の潜在分布間の KLD の上界が最小化され、親トピック 文の分散は大きく、子トピック文の分散が小さくな る。これも例えば、“I love this restaurant." など全体的 な内容に関する文は、「料理」を指すことも「サービ ス」を指すこともあり、意味の分散が大きくなると 説明できる。したがって、上位トピックほど潜在分布の分散が大きく、より一般的な文が生成される。

## 2.4 トピック文の抽出

最後に、生成されたトピック文から要約に適切な 文を抽出する。既存研究 [3] では、要約候補と入力文書間の ROUGE 值は、参照要約との ROUGE 値と 高い相関があり、参照要約が存在しない状況下での 要約候補評価に有用なことが報告されている。この 知見をもとに、入力文書との ROUGE-1 (F1)を最大化するトピック文集合をビーム探索で選択する。

参照要約: The food here is fantastic, easily the best sub sandwiches in the Arizona area. The shop is local and family run, so I definitely choose it over a lot of the large national chains that are all around town. The staff are extremely friendly and will always go above and beyond in creating a delicious sandwich for you. You will not be let down by the great food that they make here!

図 3 レストランレビューから生成された要約例。

## 3 実験

## 3.1 実験設定

本実験では、Yelp と Amazon のレビューとそれを 人手で要約した評価用データ $[3,4]$ を用いて、複数文書要約生成タスクにおける性能評価を行っ た。ベースラインには、各文書の先頭の文を抽出す るMulti-Lead-1 に加え、教師なし抽出型手法である LexRank [13] と Opinosis [14]、及び教師なし生成型手法の MeanSum [3] と Copycat [4] を用いた。エンコー ダ・デコーダには GRU-RNN を用い、木構造は 3 階層で固定され、それぞれの親トピックは 4 つの子ト ピックを持つ。詳細な設定は A. 3 節にて補足する。

## 3.2 要約生成の性能評価

表 1 に、評価データにおける ROUGE 値を示す。太字はモデルの内最大値を、下線は最大値との差が approximate randomization test において統計的に有意 とは言えない $(p<0.05)$ ことを示す。いずれのデー タセットにおいても、ほぼ全ての評価指標におい て、提案法は MeanSum を上回り、最新の教師なし 要約モデルである Copycat に対しては競合する性能 が得られた。図 1 に示したレビューについて、実際 に生成された要約を図 3 に示す。参照要約は「料理」「サービス」、「場所」について述べており、実

図 4 主成分分析により 2 次元空間において表したトピック文の潜在分布。各点は潜在分布の平均を示しており、それぞ れの円は平均からのマハラノビス距離が等しい座標群を示す。

表 2 トピック文の平均類似度（高いほど類似）。

表 3 トピック文の詳細度合い（高いほど詳細）。

際に得られた要約においても同様のトピックについ て述べていることが分かる。また、参照要約の最後 の文は、結論として料理の美味しさに関して述べて いるが、提案法も同様に根トピックから料理の美味 しさに関する内容のトピック文を生成している。

## 3.3 トピック文と木構造の定量分析

得られたトピック文と木構造について、以下 $2 \supset$ の観点から、定量的な分析を行った。

親子間類似度 親子関係にあるトピック文は類似 するトピックについて述べていることが望ましい。 この特性を確認するために、親子ぺアと非親子ペア のトピック文の類似度を、semantic textual similarity タスク [15] で最高精度を達成している ALBERT [16] を用いて評価した。表 2 に示すように、親子関係に あるトピック文は、親子でないトピック文のペアよ り類似していることが確認された。

階層毎の詳細度合い 提案法では、階層が深くな るにつれ、トピック文の内容がより具体的になるこ とを期待している。この特性を検証するために、文 の詳細度合い推定タスク [17] にて ALBERTを学習 し、各階層のトピック文の詳細度合いを計測した。表 3 に示すように、階層が深いほど詳細度合いは高 く、上位トピックからは一般的な、下位トピックか らは詳細な内容の文が生成される傾向を確認した。表 4 各階層における分散共分散行列の行列式の対数。

## 3.4 トピック文の潜在分布の分析

図 4 に、あるレストランレビューに関するトピッ ク文の潜在分布について、その主成分べクトル空間 を可視化した。仮説通り子トピック文の潜在分布は 親のトピック文の分布に近い位置にあり、親子関係 にあるトピック文が類似したトピックを持つもの と考えられる。また表 4 に示すように、各階層にお ける分散共分散行列の行列式の対数は、階層が深く なるにつれ小さくなることが確認された。したがっ て、葉に近づくにつれ潜在分布の分散が小さくな り、具体的な文が生成されることがわかる。

## 4 おわりに

本研究では、文書から木構造上のトピックを推定 し、トピック毎に要約文を生成することで、意見文書の要約が教師なしに得られることを示した。評価実験において、提案法の性能は最新の教師なし生成型要約手法と競合することを確認した。また、根の 文の潜在分布は分散が大きく一般的な文が生成され る一方、葉に近づくにつれ分散が小さくなり具体的 な文が生成されるといった特性を確認した。これは 単語の潜在表現にガウス分布を用いた Gaussian word embedding にて報告された特性と類似しており、要約のみならず、質問応答や対話生成などの文の詳細度合いを考慮する他タスクにも有用な知見である。

謝辞 本研究は、JST ACT-X JPMJAX1904、JST CREST JPMJCR1513 及び JSPS 特別研究員奨励費 20J10726 の支援を受けたものである。

## 参考文献

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[8]Asli Celikyilmaz and Dilek Hakkani-Tur. A hybrid hierarchical model for multi-document summarization. In Proceedings of the 48th Annual Meeting of the Association for Computational Linguistics, pages 815-824, 2010.

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[11]Luke Vilnis and Andrew McCallum. Word representations via gaussian embedding. In Proceedings of the 3rd International Conference on Learning Representations, 2015.

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[13]Günes Erkan and Dragomir R Radev. Lexpagerank: Prestige in multi-document text summarization. In Proceedings of the 2004 Conference on Empirical Methods in Natural Language Processing, pages 365-371, 2004.
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[18]John Paisley, Chong Wang, David M Blei, and Michael I Jordan. Nested hierarchical dirichlet processes. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 37(2):256-270, 2014.

[19]David Alvarez-Melis and Tommi S Jaakkola. Tree-structured decoding with doubly-recurrent neural networks. In Proceedings of the 5th International Conference on Learning Representations, 2017.

[20]Diederik P Kingma and Jimmy Ba. Adam: A method for stochastic optimization. CoRR, arXiv:1412.6980v9, 2014.

## A 付録

## A. 1 木構造上のトピック分布の推定

本研究では、勾配降下法により学習可能な木構造ニュー ラルトピックモデル（TSNTM [12]）を用いることで、文 の木構造上のトピック分布を推定する。

前置きとして、木構造トピックモデルの一つである hierarchical Dirichlet process [18] は、各文に関する木構造上 のパス分布 $\boldsymbol{\pi}_{s}$ と階層分布 $\boldsymbol{\phi}_{s}$ を下記式でモデル化する。

$
\begin{aligned}
& v_{s, k} \sim \operatorname{Beta}(1, \gamma), \pi_{s, k}=\pi_{s, p a r}(k) v_{s, k} \prod_{j \in \operatorname{Sib}(k)}\left(1-v_{s, j}\right) \\
& \eta_{s, k} \sim \operatorname{Beta}(\alpha, \beta), \phi_{s, k}=\eta_{s, k} \prod_{j \in \operatorname{Anc}(k)}\left(1-\eta_{s, j}\right) \\
& \theta_{s, k}=\pi_{s, k} \cdot \phi_{s, k}
\end{aligned}
$

ここで、 $\operatorname{Sib}(k)$ 及び $\operatorname{Anc}(k)$ はそれぞれトピック $k$ の前の 兄弟のトピック集合及び祖先のトピック集合を指す。 $\pi_{s, k}$ は文 $s$ が根トピックからトピック $k$ を通るパスを選択す る確率を示す。一方、 $\phi_{s, k}$ は当該パス上で文 $s$ がトピック $k$ の祖先のトピック $j \in \operatorname{Anc}(k)$ を選択せず、トピック $k$ を選択する確率を示す。文 $s$ がトピック $k$ を選択する確率 $\theta_{s, k}$ はこれら 2 つの確率の積で表される。

一 方、TSNTM は、 doubly-recurrent neural networks (DRNN[19])を用いて文の潜在表現 $\boldsymbol{y}_{s}=\operatorname{RNN}\left(\boldsymbol{w}_{s}\right)$ をパ ス分布 $\boldsymbol{\pi}_{s}$ 及び階層分布 $\boldsymbol{\phi}_{s}$ に変換する。DRNN は親子と 兄弟間の 2 つの RNN デコーダで構成され、トピック $k$ の 中間層は式 (15) で表される。この中間層から得られた棒折比率 $\boldsymbol{v}_{s}$ で式 12 を置き換え、パス分布を得る。

$
\begin{aligned}
\boldsymbol{h}_{k} & =\tanh \left(\boldsymbol{W}_{p} \boldsymbol{h}_{\text {par }(k)}+\boldsymbol{W}_{s} \boldsymbol{h}_{k-1}\right) \\
v_{s, k} & =\operatorname{sigmoid}\left(\boldsymbol{h}_{k}^{\top} \boldsymbol{y}_{s}\right)
\end{aligned}
$

ただし $\boldsymbol{h}_{\operatorname{par}(k)}$ 及び $\boldsymbol{h}_{k-1}$ はそれぞれトピック $k$ の親とそ の前の兄弟である。同様に、階層分布もまた DRNNによ り棒折比率 $\boldsymbol{\eta}_{s}$ を算出して得られる。

## A. 2 式 (11) の導出

命題 $q\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid z_{s}\right)$ が式 (8)、(9)、(10) により与えられる時、式 (17) が成り立つ:

$
\begin{aligned}
& \sum_{s} \hat{\theta}_{s, k} \mathrm{D}_{\mathrm{KL}}\left[q\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid \boldsymbol{w}_{s}\right) \mid p\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid z_{s}=k\right)\right]- \\
& \sum_{s} \hat{\theta}_{s, k} \mathrm{D}_{\mathrm{KL}}\left[q\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid z_{s}=k\right) \mid p\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid z_{s}=k\right)\right] \geq 0
\end{aligned}
$

証明 式 (17) の第 1 項は以下のように展開できる。

$\sum_{s} \hat{\theta}_{s, k} \mathrm{D}_{\mathrm{KL}}\left[q\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid \boldsymbol{w}_{s}\right) \mid p\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid z_{s}=k\right)\right]$

$=\sum_{s} \hat{\theta}_{s, k} \mathrm{D}_{\mathrm{KL}}\left[N\left(\hat{\boldsymbol{\mu}}_{s}, \hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{s}\right) \mid N\left(\hat{\boldsymbol{\mu}}_{d, p a r(k)}, \hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{d, p a r(k)}\right)\right]$

$=\frac{1}{2} \sum_{s} \hat{\theta}_{s, k}\left.\{\log \left|\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{d, p a r(k)}\right|-\log \left|\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{s}\right|+\operatorname{Tr}\left[\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{d, p a r(k)}^{-1} \hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{s}\right]\right.$

$\left.+\left(\hat{\mu}_{s}-\hat{\mu}_{d, p a r(k)}\right)^{\top} \hat{\Sigma}_{d, p a r(k)}^{-1}\left(\hat{\mu}_{s}-\hat{\mu}_{d, p a r(k)}\right)-d\right.\}$

$=\frac{1}{2} \sum_{s} \hat{\theta}_{s, k}\left.\{C_{d, p a r(k)}-\log \left|\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{s}\right|+\operatorname{Tr}\left[\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{d, p a r(k)}^{-1} \hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{s}\right]\right.$

$\left.+\operatorname{Tr}\left[\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{d, p a r(k)}^{-1} \hat{\boldsymbol{\mu}}_{s} \hat{\boldsymbol{\mu}}_{s}^{\top}\right]-2 \hat{\boldsymbol{\mu}}_{d, p a r(k)}^{\top} \hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{d, p a r(k)}^{-1} \hat{\boldsymbol{\mu}}_{d, k}\right.\}$

ただし、式 (9) から $\sum_{s} \hat{\theta}_{s, k} \hat{\mu}_{d, k}=\sum_{s} \hat{\theta}_{s, k} \hat{\mu}_{s}$ を用いた。

第 2 項についても同様に、以下のように展開できる。

$
\begin{aligned}
& \sum_{s} \hat{\theta}_{s, k} \mathrm{D}_{\mathrm{KL}}\left[q\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid z_{s}=k\right) \mid p\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid z_{s}=k\right)\right] \\
= & \frac{1}{2} \sum_{s} \hat{\theta}_{s, k}\left.\{C_{d, p a r(k)}-\log \left|\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{d, k}\right|+\operatorname{Tr}\left[\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{d, p a r(k)}^{-1} \hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{d, k}\right]\right. \\
& \left.+\operatorname{Tr}\left[\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{d, p a r(k)}^{-1} \hat{\boldsymbol{\mu}}_{d, k} \hat{\boldsymbol{\mu}}_{d, k}^{\top}\right]-2 \hat{\boldsymbol{\mu}}_{d, p a r(k)}^{\top} \hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{d, p a r(k)}^{-1} \hat{\boldsymbol{\mu}}_{d, k}\right.\}
\end{aligned}
$

表 5 データセット中のレビュー文書/要約の件数。

したがって、式 (17)は以下のように整理される。

$
\begin{aligned}
& \sum_{s} \hat{\theta}_{s, k} \mathrm{D}_{\mathrm{KL}}\left[q\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid \boldsymbol{w}_{s}\right) \mid p\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid z_{s}=k\right)\right] \\
& -\sum_{s} \hat{\theta}_{s, k} \mathrm{D}_{\mathrm{KL}}\left[q\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid z_{s}=k\right) \mid p\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid z_{s}=k\right)\right] \\
= & \frac{1}{2} \sum_{s} \hat{\theta}_{s, k}\left.\{-\log \left|\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{s}\right|+\log \left|\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{d, k}\right|\right. \\
& \left.+\operatorname{Tr}\left[\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{d, p a r(k)}^{-1}\left(\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{s}+\hat{\boldsymbol{\mu}}_{s} \hat{\boldsymbol{\mu}}_{s}^{\top}-\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{d, k}-\hat{\boldsymbol{\mu}}_{d, k} \hat{\boldsymbol{\mu}}_{d, k}^{\top}\right)\right]\right.\} \\
= & \frac{1}{2} \sum_{s} \hat{\theta}_{s, k}\left.\{-\log \left|\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{s}\right|+\log \left|\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{d, k}\right|\right.\}
\end{aligned}
$

ただし、式 (10)より $\sum_{s} \hat{\theta}_{s, k}\left.\{\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{s}+\hat{\boldsymbol{\mu}}_{s} \hat{\boldsymbol{\mu}}_{s}^{\top}\right.\}=\sum_{s} \hat{\theta}_{s, k}\left.\{\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{d, k}+\right.$ $\left.\hat{\boldsymbol{\mu}}_{d, k} \hat{\boldsymbol{\mu}}_{d, k}^{\top}\right.\}$ を用いた。すなわち、与式はエントロピーの 重み付け和の大小比較に帰着される。ここで一般に、 $-\int q_{1}(\boldsymbol{x}) \log q_{2}(\boldsymbol{x}) d \boldsymbol{x} \geq-\int q_{1}(\boldsymbol{x}) \log q_{1}(\boldsymbol{x}) d \boldsymbol{x}$ が成立するこ とから、式 (21) が成り立つ。

$
\begin{aligned}
& \sum_{s} \hat{\theta}_{s, k}\left.\{-\int q\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid \boldsymbol{w}_{s}\right) \log q\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid z_{s}=k\right) d \boldsymbol{x}_{s}\right.\} \\
& \geq \sum_{s} \hat{\theta}_{s, k}\left.\{-\int q\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid \boldsymbol{w}_{s}\right) \log q\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid \boldsymbol{w}_{s}\right) d \boldsymbol{x}_{s}\right.\}
\end{aligned}
$

右辺はガウス分布のエントロピーの重み付け和である ことから、以下のように書ける。

$
\begin{aligned}
& \sum_{s} \hat{\theta}_{s, k}\left.\{-\int q\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid \boldsymbol{w}_{s}\right) \log q\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid \boldsymbol{w}_{s}\right) d \boldsymbol{x}_{s}\right.\} \\
= & \frac{1}{2} \sum_{s} \hat{\theta}_{s, k}\left.\{\log \left|\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{s}\right|+d \log 2 \pi+d\right.\}
\end{aligned}
$

一方、左辺は以下のように展開できる。

$
\begin{aligned}
& \sum_{s} \hat{\theta}_{s, k}\left.\{-\int q\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid z_{s}=k\right) \log q\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid \boldsymbol{w}_{s}\right) d \boldsymbol{x}_{s}\right.\} \\
= & \frac{1}{2} \sum_{s} \hat{\theta}_{s, k}\left.\{\log \left|\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{d, k}\right|+d \log 2 \pi\right. \\
& \left.+\mathrm{E}_{\boldsymbol{q}\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid \boldsymbol{w}_{s}\right)}\left[\left(\boldsymbol{x}_{s}-\hat{\boldsymbol{\mu}}_{d, k}\right)^{\top} \hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{d, k}^{-1}\left(\boldsymbol{x}_{s}-\hat{\boldsymbol{\mu}}_{d, k}\right)\right]\right.\}
\end{aligned}
$

よって、式 (23) の最後の項は以下のように整理できる。

$
\begin{aligned}
& \sum_{s} \hat{\theta}_{s, k}\left.\{\mathrm{E}_{q\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid \boldsymbol{w}_{s}\right)}\left[\left(\boldsymbol{x}_{s}-\hat{\boldsymbol{\mu}}_{d, k}\right)^{\top} \hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{d, k}^{-1}\left(\boldsymbol{x}_{s}-\hat{\boldsymbol{\mu}}_{d, k}\right)\right]\right.\} \\
= & \sum_{s} \hat{\theta}_{s, k}\left.\{\mathrm{E}_{q\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid \boldsymbol{w}_{s}\right)}\left[\operatorname{Tr}\left(\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{d, k}^{-1}\left(\boldsymbol{x}_{s}-\hat{\boldsymbol{\mu}}_{d, k}\right)\left(\boldsymbol{x}_{s}-\hat{\boldsymbol{\mu}}_{d, k}\right)^{\top}\right)\right]\right.\} \\
= & \operatorname{Tr}\left[\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{d, k}^{-1} \sum_{s} \hat{\theta}_{s, k}\left.\{\mathrm{E}_{q\left(\boldsymbol{x}_{s} \mid \boldsymbol{w}_{s}\right)}\left[\left(\boldsymbol{x}_{s}-\hat{\boldsymbol{\mu}}_{d, k}\right)\left(\boldsymbol{x}_{s}-\hat{\boldsymbol{\mu}}_{d, k}\right)^{\top}\right]\right.\}\right] \\
= & \operatorname{Tr}\left[\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{d, k}^{-1} \sum_{s} \hat{\theta}_{s, k} \hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{d, k}\right] \\
= & \sum_{s} \hat{\theta}_{s, k} d
\end{aligned}
$

したがって、式 (21)、(22)、(23)、(24)を整理すると、 $\sum_{s} \hat{\theta}_{s, k}\left.\{\log \left|\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{d, k}\right|\right.\} \geq \sum_{s} \hat{\theta}_{s, k}\left.\{\log \left|\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{s}\right|\right.\}$ が成り立ち、命題が 成立することが示された。

## A. 3 実験設定詳細

データセット中の文書及び要約の件数を表 5 に示す。参照要約は Amazon Mechanical Turk にて、各製品につい て 8 件のレビューの要約を依頼し作成された $[3,4]$ 。八イ パーパラメータは検証データにおける性能をもとに決定 され、単語の潜在表現、隠れ層及び文の潜在表現の次元数 はそれぞれ 200、400 及び 32である。勾配降下法は Adam [20]を用い、学習率は $10^{-3}$ でバッチサイズは 4 である。
 磯沼 ${ }^{1}$ 森 純一郎 ${ }^{1}$ ボレガラダヌシカ ${ }^{2}$ 坂田 一郎 ${ }^{1}$ 1 東京大学 2 リヴァプール大学 \{isonuma, isakata\}@ipr-ctr.t.u-tokyo.ac.jp mori@mi.u-tokyo.ac.jp danushka@liverpool.ac.uk  