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# 1.はじめに

バルク熱電材料の多くは不均一な固体である。キャリ アドープや格子熱伝導率を低減させる目的で母物質に元素置換を施したり，マトリックスにナノ析出物を導入す ることにより熱電性能は向上する，従って，観察される 熱電性能を深く理解するためには，ナノ・ミクロレベル での局所的な構造と, バルク全体としての構造の両面を 相補的に調べる必要がある。前者に有効なのは走査電子湿微鏡等を用いた微細組織観察であり，後者の代表例は 多結晶 X線回折である。

本講座は，多くの実験系研究室で備えている多結晶 $\mathrm{X}$線回折装置（X-ray diffractometer, XRD）を用いて，熱電材料開発を行う際に必要な，結晶構造解析法に関する 話題を 3 回にわたって連載する。第 1 回では，結晶の対称性や空間群の基礎に関して実例を挙げながら解説を 行う。第 2 回では, 多結晶構造解析に良く用いられる Le Bail 解析および Rietveld 解析について，格子熱伝導率低減のために行われる固溶体形成や格子間サイトを有 する化合物を実例として取りあげて解説する。第 3 回で は，3 次元の対称性では表現できない非整合結晶構造を 有する化合物の結晶構造解析について解説する予定であ る. 本講座は, 読者が結晶学の基本的用語（点群や空間群, 対称操作等）を聞いたことがあることを前提とする. これらの用語をはじめて聞く方は，まずは良書 ${ }^{11} を$ 参考に基本事項の理解をされたい。

## 2. 結晶構造の理解

## 2. 1. $\mathrm{Mg_{2} \mathrm{Si}$ の結晶構造}

日本では結晶学を詳しく教える工学系の大学が少な く, 多くの研究者・学生が独学で結晶学を修得している らしい，結晶学の知識を身につけるには，構造描画ソフ トを使って慣れるのが良いと思われる。既知の結晶構造 を描画し，空間群や原子の座標を変えることで，遊び感覚で結晶構造に関する理解を深めることができる。本講座もまずは既知物質の結晶構造を描画するところから始 めよう。

結晶構造をパソコン上で描画するツールとして，20年以上の歴史がある $\mathrm{ATOMS}^{2)}$ や CrystalMaker ${ }^{3)}$ 等の商用ソフトが市販されている. これらは多くの無機化合物 や鉱物の結晶構造データベースを備えるなど，充実した 機能を持つ。これに対し，フリーウェアの VESTA4) は 結晶構造の描画に加えて, 電子 ・核密度の可視化や構造解析プログラムとのリンクがスムーズに行えることか ら，熱電材料の研究開発にとって強力なツールである.同アプリケーションは Mac，Windows および Linux の 各プラットフォーム上で動作するので，是非インストー ルすることを勧める. International Tables for Crystallography, Vol. A (IT) ${ }^{5}$ は結晶学の基礎並びに 230 種の 3 次元空間群が园表とともに詳細に解説されているので，併せて手元に備えておきたい。

結晶構造を描画するのに最低限必要な情報は, 対象物質の空間群，格子定数，原子のサイトに関する占有率 (occ.; occupancy) および分率座標 $(x, y, z)$ である.原子変位パラメータ B の情報があ札ば ORTEP 図 ${ }^{6)}$ を 描く際に有用である。まず最初に，VESTAを用いて描画した $\mathrm{Mg}_{2} \mathrm{Si}$ の結晶構造を図 1 に示す。また表 1 には $\mathrm{Mg}_{2} \mathrm{Si}$ の結晶学データを示す. この構造は逆蛍石型構造 とも呼ばれるもので, 図中の球の大きさは原子半径に対応している。破線で描かれた円は格子間 $\mathrm{Mg}$ が存在する $4 b$ サイト（1/2,1/2,1/2）とその等価な位置である.

図1 $\mathrm{Mg}_{2} \mathrm{Si}$ の結晶構造. 破線で描かれた円は格子間 $\mathrm{Mg}$ が存在する $4 b$ サイト $((1 / 2,1 / 2,1 / 2)$ およ びその等価な位置) である。
表 $1 \mathrm{Mg}_{2} \mathrm{Si}$ の結晶学データ

空間群 $F m \overline{3} m \quad$ (No. 225）

格子定数 $a=6.351 \AA$ (室温)

表 1 の意味を一般論も交えて説明する。まず， $F m \overline{3} m$ は $\lceil 3$ 次元単位格子が面心格子 $F$ で，立方晶系点群 $m \overline{3} m$ に属する結晶」を表す空間群の国際表記 (Hermann-Mauguin 記号) である。全部で 230 種ある 3 次元空間群のうち, 記号の最初に来る大文字は, 他に 単純格子 $P$, 底心格子 $A, B, C$, 体心格子 $I$ あるいは 稜面体格子 $R$ のいずれかである。後に続く複数の記号 は, 点対称操作（回転，鏡映，反転操作とこれらの組 み合わせ）のみを持つ空間群（symmorphic な空間群 73 種）では，P4 やImmm のように点群の記号がそのまま 後に付く. 点対称操作に部分的並進操作（単位胞のあ る軸方向に $1 / 2$ や $3 / 4$ 単位等の並進を行う）を組み合 わせると， らせん軸（ $2_{1}, 4_{3}$ 等 $)$ や映進面 $(a, n$ 等 $)$ が 生じる。これらの部分的並進操作が加わった空間群は nonsymmorphic な空間群 (Pna2 $2_{1}$ や $4_{1} /$ amd 等）と呼ば れ，全部で 157 種ある. $F m \overline{3} m$ は最も対称性の高い空間群の一つで, 点群 $m \overline{3} m$ における対称操作の個数と等し い 48 種類の等価位置がある。またこれらに面心操作 $(+$ $0,0,0 ;+1 / 2,1 / 2,0 ;+1 / 2,0,1 / 2 ;+0,1 / 2,1 / 2)$ が加わ るので，この空間群を持つ結晶では等価な位置の数が最大で 192 個（一般位置）存在する。

表 1 の Atom は原子種を表す。この物質では， $\mathrm{Mg}$ も $\mathrm{Si}$ も，占有するサイトはそれぞれ 1 箇所のみなので この表現で良い。 $\mathrm{Mg}$ のサイトが 2 種類以上ある場合 は， $\mathrm{Mg} 1 ， \mathrm{Mg} 2 ， \ldots$ のように区別する $(\mathrm{Mg}(1)$ のよう に数字を括弧に入れることもある). Site は結晶学的位置（座標やサイトと表現される）を表す. $4 a$ や $8 c$ の数字は，単位胞中の原子の等価位置の数を表しており，ま たアルファベットは Wyckoff 記号と呼ばれ，対称性の 最も高い位置から低いサイトに向かって $a \sim z$ の順に付 ける。唯一の例外を除き，1つの空間群における結晶学的位置の種類は 26 に満たないので $z$ までの記号で位置 を表現できるが，zでも足りない場合はギリシャ文字を使う. 最も結晶学的位置の種類が多い直方晶系空間群 Pmmm（No. 47）では，一般位置は $8 \alpha$ と名付けられて いる. $\mathrm{Mg}_{2} \mathrm{Si}$ に打いては， $\mathrm{Mg}$ も $\mathrm{Si}$ も，対称操作を施し ても座標が自分自身に重なる対称性の高い位置（特殊位置) を占有するので，等価な位置の数は 192 から大きく 減少して, それぞれ 8 と 4 になる. $8 c$ サイトの座標は $(1 / 4$, $1 / 4,1 / 4)$ と $(1 / 4,1 / 4,3 / 4)$ であり, これらに上述の 面心操作を加えた 8 個の座標が等価であることを表す.同様に $4 a$ サイトの座標は原点 $(0,0,0)$ であり, これら に面心操作を加えた 4 個の等価な座標が存在する. 等価 な座標ならば，どの座標を書こうと勝手かと思われがち だが，論文に書く際は，非対称単位内（空間群 $m \overline{3} m$ で は， $0 \leq x \leq 1 / 2,0 \leq y \leq 1 / 4,0 \leq z \leq 1 / 4$ の空間内）の座標を記載 する. しかし特殊位置の座標は, 必ずしもこの規則に従 わない. 例えば格子間 $\mathrm{Mg}$ が占有する $4 b$ サイトは体心 の位置 $(1 / 2,1 / 2,1 / 2)$ に相当するが, この座標は非対称単位の外側にある。もし非対称単位内にある座標を指定するなら $(1 / 2,0,0)$ とすべきであるが，このサイト が面心位置と等価であるとは直ちに判断できないかも知 れない.

占有率はいずれの原子も $1.0 ，$ つまり $100 \%$ で欠損が ない。原子変位パラメータは，熱振動やラトリングによ る原子の平衡位置からの変位を表す. 占有率との相関が 強いので，実験室の XRD 測定データを用いた場合は，精密化しても意味のない値になることが殆どである. $4 b$ サイトの格子間 $\mathrm{Mg}$ は $1 \%$ 程度存在するとの報告 ${ }^{7)}$ があ り, この存在が，第一原理計算では $\mathrm{p}$ 型伝導を示すはず の $\mathrm{Mg}_{2} \mathrm{Si}$ が，殆どの試料で $\mathrm{n}$ 型伝導を示す矛盾を説明 する鍵になるかも知れない。

## 2. 2. 直方晶系マンガン酸化物

ペロブスカイト型マンガン酸化物は, 巨大磁気抵抗効果が出現する系として 1990 年代に精力的に研究され，最近では $\mathrm{n}$ 型酸化物熱電材料としても注目を集めてい る. 本項では $\mathrm{La}$ サイトを $\mathrm{Ca}$ で部分置換した $\left(\mathrm{La}_{1-x} \mathrm{Ca}_{x}\right)$ $\mathrm{MnO}_{3}$ の結晶構造を解説する。

$\left(\mathrm{La}_{1-x} \mathrm{Ca}_{x}\right) \mathrm{MnO}_{3}(x \sim 0.12)$ (以下 $\left.\mathrm{LCMO}\right)$ の結晶構造 および結晶学パラメータを，それぞれ図 2 打よび表 2 に 示す. 表のデータは, XRD データの Rietveld 解析によ り精密化されたものであり, 括弧内の数字は最終析の数字に関する標準偏差である. 酸化物の多くはイオン結晶 であるため，その結晶構造は，従来イオン半径を用いて 議論されてきた。導電性のある遷移金属酸化物では，共有結合性の寄与も大きいため，イオン半径という概念自

図 $2\left(\mathrm{La}_{1-x} \mathrm{Ca}_{x}\right) \mathrm{MnO}_{3}(x \sim 0.12)$ の結晶構造.

表 $2\left(\mathrm{La}_{1-x} \mathrm{Ca}_{x}\right) \mathrm{MnO}_{3}(x \sim 0.12)$ の結晶学データ

$
\begin{aligned}
& \text { 空間群 Pnma（No. 62） } \\
& a=5.6194(2) \AA, b=7.7121(3) \AA, c=5.5267(5) \AA
\end{aligned}
$

体, 觉の有効性が怪しくなる. しかし, 許容因子や後述 する Bond valence sum (BVS) の議論を含めて，イオン 半径でも多くの有用な議論が可能であるため，本稿で酸化物を扱う際はイオン半径を用いて議論を行う.

一般式 $A B X_{3}$ で表されるぺロブスカイト $(A$ は大きな 陽イオン, $B$ は比較的小さな陽イオン $X$ は陰イオン) は， $A$ が $X$ に 12 配位され， $B$ は $X$ に八面体型 6 配位さ れている. $B X_{6}$ 八面体は，隣接する $B X_{6}$ 八面体ととの頂点を共有し， 3 次元的なネットワークを構成している.幾何学的な関係より, 理想的なぺロブスカイト構造では,最近接 $B-X$ 間距離 $r_{B}+r_{X}(r$ はイオン半径) の $\sqrt{2}$ 倍の 長さと最近接 $A$ - $X$ 間距離 $r_{A}+r_{X}$ が等しくなる. Goldschmidt は, $t=\left(r_{A}+r_{X}\right) / \sqrt{2}\left(r_{B}+r_{X}\right)$ で定義される許容因子 (tolerance factor) の概念を導入した ${ }^{8}$ ). 一般に $t$ の 値が 1 に近いときは立方晶が安定で，值が 1 より小さい
ときは立方晶が保てなくなり， $B X_{6}$ 八面体が傾いて連結 することにより直方晶 (従来の斜方晶という呼称は誤解 を与える恐れがあるので，日本結晶学会では orthorombic cell を直方晶と呼ぶことを推奖している）に対称性 が低下する. 立方晶ぺロブスカイトの $a$ 軸長を $a_{\mathrm{p}}$ と表 すと, 直方晶系 LCMO の格子定数は $a \sim \sqrt{2} a_{\mathrm{p}}, b \sim 2 a_{\mathrm{p}}$, $c \sim \sqrt{ } 2 a_{\mathrm{p}}$ である. このような直方晶系ぺロブスカイト構造は $\mathrm{GdFeO}_{3}$ 型構造とも呼ばれ, 希土類と $3 \mathrm{~d}$ 遷移金属 の酸化物に比較的多く見られる. LCMO における $t$ の值 を, Shannon の有効イオン半径 (effective ionic radii) ${ }^{9)}$ を引用して実際に導出してみよう。

12 配位の $\mathrm{La}^{3+}$ および $\mathrm{Ca}^{2+}$ のイオン半径はとれぞれ，

イオンの半径は四捨五入により $r_{(\mathrm{La}, \mathrm{Ca})}=1.36 \AA ̊$ と計算さ れる. 酸素欠損が全くないとすると Mn イオンの形式価数は+3.12 となり, $\mathrm{Mn}^{3+}$ に若干 $\mathrm{Mn}^{4+}$ が混在した状態に 相当する. $\mathrm{Mn}^{3+}$ は $3 \mathrm{~d}^{4}$ (high spin, HS) の電子配置を持つ Jahn-Tellerイオンであるが， $t$ の見積もりの際は簡単に イオンが球であると仮定する。ここでは 6 配位の $\mathrm{Mn}^{3+}$ (HS) の $0.645 \AA$ 打よび同配位の $\mathrm{Mn}^{4+}$ の $0.53 \AA$ から得 られる平均イオン半径 $0.63 \AA$ を採用する. 酸素の場合 $\left(\mathrm{O}^{2-}\right.$ のことを酸素イオンという人がいるがそ机は誤り で，正しい呼称は酸化物イオンである)，6配位の半径 は 1.40 Åであるが， 12 配位の半径がリストにないので， 8 配位の半径 $1.42 \AA$ を代用する. 以上の値を用いると $t$ $=(1.36+1.42) / \sqrt{2}(0.63+1.40)=0.96_{8}$ と 1 よりや队小さ い値が得られる. $t=0.96$ 近傍のぺロブスカイトはほぼ 全て直方晶をとると報告されている ${ }^{10)}$.

表 2 から,イオン間の結合距離（原子間距離ともいう） が計算できる. 次回解説する Rietveld 解析では, orffe 命令により，解析後に原子間距離の一覧が出力される.表 3 に，出力された LCMO の原子間距離を示す.

(La,Ca) は $\mathrm{O} 1$ と 4 本, $\mathrm{O} 2$ と 8 本の結合を持つ. 空

表 $3\left(\mathrm{La}_{1 x} \mathrm{Ca}_{\mathrm{x}}\right) \mathrm{MnO}_{3}(x \sim 0.12)$ の原子間距離（ $\AA$ )

(La, Ca)-O1;

$2.410(18) \times 1,2.571(13) \times 1,3.114(13) \times 1,3.144(18) \times 1$ (La, $\mathrm{Ca})-\mathrm{O} 2$;

$2.412(11) \times 2,2.666(13) \times 2,2.720(12) \times 2,3.323(11) \times 2$

Mn-O1;

$1.970(4) \times 2$

$\mathrm{Mn}-\mathrm{O} 2$;

$1.938(13) \times 2,2.099(12) \times 2$
間群 $P m \overline{3} m$ の立方晶ぺロブスカイトでは 12 本の結合は 全て等距離にあるが，LCMO は直方晶に歪んでいるた め, $2.41 \AA ̊$ から $3.32 \AA$ まで距離にバリエーションが生じ る. $\mathrm{Mn}$ は $\mathrm{O} 1$ と $\mathrm{O} 2$ あわせて 6 本の結合を持つ. 6 本の $\mathrm{Mn}-\mathrm{O}$ 結合が等距離にないのは，直方晶に歪んでいるこ とと, $\mathrm{Mn}^{3+}$ が Jahn-Teller イオンであることから，比較的短い $1.95 \AA$ 程度の 4 本の結合とやや長い $2.1 \AA$ 程度の 2 本の結合に $\mathrm{MnO}_{6}$ 八面体が変型することによる.

$\mathrm{BVS}^{11)}$ は酸化物におけるイオン間の結合距離から,陽イオンの価数（つまり共有結合性の度合い）を見積も るのに良く用いられる。元々 BVS は有機化学に打ける C-C 間の結合距離が，一重よりも二重，三重と結合強度 が増すにつれて短くなることに注目して考案されたパラ メータである. Brese とO'Keeffe は，酸化物中の陽イ オンの価数 $V_{M}$ を次の式により表現した.

$
V_{M}=\sum_{j} \exp \left(\frac{l_{0}-l_{j}}{0.37}\right)
$

ここに $l_{0}$ および $l_{j}$ は，それぞれ bond valence パラメー 夕と呼ばれる定数打よび $j$ 本目の酸素との結合距離であ る. $l_{0}$ の値は文献中 ${ }^{11)}$ に表にまとめられている. 上述 のように, LCMO 中の Mnイオンの形式価数は 3.12 と 殆ど 3 価に近いことから，ここでは $\mathrm{Mn}^{3+}$ の $l_{0}$ 值 1.760 を用いて， $V_{\mathrm{Mn}}$ を導出する。（1）式に表 3 中の $\mathrm{Mn}-\mathrm{O}$ 距離を全て代入すると， $V_{\mathrm{Mn}}=3.17$ (8) と 3 価よりもやや高 い值が得られ，形式価数と同様に若干のホールが存在す ることがうかがわれる．BVS は本来，等方的に近い配位多面体の場合に精度が高くなる。 以前, $\mathrm{Mn}^{3+} や \mathrm{Cu}^{2+}$ のような Jahn-Tellerイオンに BVS を適用することは好 ましくないとする意見をいただいたことがあることを付記しておく。

## 3 . 軸変換 一直方晶系マンガン酸化物を例に一

直方晶系の格子定数は，結晶構造データベースでの検索用途を考慮して， $c<a<b$ となるように定める約束があ る.しかし実際の研究に打いては，正方晶一直方晶の構造相転移を議論したり，Ruddlesden-Popper 型ペロブス カイト類縁酸化物 (正方晶 $(\mathrm{La}, \mathrm{Sr}){ }_{2} \mathrm{MnO}_{4}$ や $(\mathrm{La}, \mathrm{Sr}){ }_{3} \mathrm{Mn}_{2} \mathrm{O}_{7}$等）との構造比較をする際など， $a<b<c$ 等にした方が理解しやすい場面が多々ある．軸変換はこのような際に便利であるので，空間群Pnma を例としてここで解説した l.

軸変換のみを考えるなら，空間群 Pnma の対称操作の 詳細を知る必要はないが，この空間群は種々の対称操作

図 3 空間群 Pnma の軸変換.

を理解する好例ともいえるので説明しておこう．実はこ の空間群には 3 本の 2 回らせん $\left(2_{1}\right)$ 軸が隠れている. その全てを書き出したフルシンボルは $P 2_{1} / n 2_{1} / m 2_{1} / a$ と表記される. 図 3 を参照しながら，この空間群の軸変換を考えよう．同じ記号が複数の意味に使われているの で，誤解や混乱を避けるため，図 3 では $a, b$ 打よび $c$ 軸 を同じ直交座標系の $x, y$ 打よび $z$ 軸としている. $P 2_{1} / n$ $2_{1} / m 2_{1} / a$ (/ はその軸に垂直であることを示す) の意味 するところは, 晶系は単純直方晶で, $x, y, z$ 軸にそれぞ れ平行な 3 本の 2 回らせん軸 $2_{1}$ があり， $2_{1}$ 軸（ $x$ 軸に平行）に垂直な対角映進面 $n ， 2_{1}$ 軸（ $y$ 軸に平行）に垂直 な鏡映面 $m$ および $2_{1}$ 軸（ $z$ 軸に平行）に垂直な軸映進面 $a$ が存在することを表す.

鏡映および映進操作の復習をしておこう。図 3 (a) からわかるように，この空間群では鏡映面 $m$ は $y=1 / 4$上にある $x z$ 面である. この鏡映面を $x$ 軸方向から見た のが図 4 である。 $0 \leq y<1 / 4$ に $y$ 座標がある場合，鏡映操

従って一般位置の座標 $(x, y, z)$ はこの鏡映操作により $(x$,

図 $4 y=1 / 4$ 上にある $x z$ 面による鏡映操作によって移 る $y$ 座標の解説.

$-y+1 / 2, z)$ に移ることがわかる.

$a$ 映進（軸映進）は鏡映操作の後に， $x$ 軸の方向に $1 / 2$ 並進する操作である. この空間群では $a$ 映進面は $x, y, 1 / 4(z=1 / 4$ 上にある $x y$ 面 $)$ にある. この映進（鏡映) 面により $z$ 座標は $-z+1 / 2$ に移るので, 一般位置 $(x$, $y, z)$ にある座標はこの映進操作により $(x+1 / 2, y,-z+$ 1/2) に移る． $n$ 映進は鏡映操作の後に， 2 つの軸の方向にそれぞれ $1 / 2$ 並進する（対角映進）操作である.こ の空間群では, $(y+z) / 2$ の並進を行う。 $n$ 映進面は $1 / 4, y$, $z$ （ $x=1 / 4$ 上にある $y z$ 面）にある. この映進（鏡映）面 により $x$ 座標は- $x+1 / 2$ に移るので，一般位置 $(x, y, z)$ にある座標はこの映進操作により $(-x+1 / 2, y+1 / 2, z$ $+1 / 2$ ) に移る. 最初はこのように 1 個 1 個の操作を丹念に追っていくと次第に慣れてくるので，面倒でも図を 描いて座標がどのように変換されるのかを確認すること を勧める。

図 3 （a）から（b）への軸変換は，単純に $x \rightarrow y$, $y \rightarrow z, z \rightarrow x$ と軸を順に入れ替えるだけである．座標軸 が変わるだけなので，らせん軸や鏡映面の位置等は全く 変わらない，ただし，（a）で $a$ 映進面と呼んだ平面は (b) では $y$ 軸方向への並進に変わるので $b$ 映進面になる. あとは，軸変換後の $x, y, z$ 軸に対応する $2_{1}$ 軸とそれに垂直な鏡映（映進）面を考慮すれば，軸変換後の空間群は Pbnm（フルシンボルは $P 2_{1} / b 2_{1} / n 2_{1} / m$ ）であることが 理解される。この過程が理解できれば，さらに $x \rightarrow y$, $y \rightarrow z, z \rightarrow x$ と軸変換をした空間群も直ちにわかるであ ろう.

空間群Pnma に存在する対称操作は 8 種類で，IT に は対称操作として，
(1) 1 ;

(2) $2(0,0,1 / 2) \quad 1 / 4,0 z$;

(3) $2(0,1 / 2,0) \quad 0, y, 0$;

(4) $2(1 / 2,0,0) \quad x, 1 / 4,1 / 4$

(5) $\overline{1} \quad 0,0,0$;

(6) $a \quad x, y, 1 / 4$

(7) $m \quad x, 1 / 4, z$;

(8) $n(0,1 / 2,1 / 2) \quad 1 / 4, y, z$

と記載されている。一見わかりづらいが，法則を理解す れば簡単である。ここまで真面目に読んできた読者は，既に（6）～（8）を理解している.

個々の記号の意味を解説する。（1）はどの空間群にも 存在する恒等操作である。(2)の 2 は 2 回回転軸 (2 回軸) を表し，すぐ後に続く括弧内の記号は各軸方向への並進操作を表す。つまりこれは $z$ 軸方向に進む $2_{1}$ らせん軸で ある．このらせん軸がどこに存在するかを表すのが空白 を挟んで記された $1 / 4,0, z$ である。 $z$ 軸周りの 2 回回転 なら,$(x, y, z)$ が $(-x,-y, z)$ に移ることは即座にわかる. つまり 2 回回転では $x$ と $y$ のみが反転する. しかし, 座標 $(1 / 4,0, z)$ にある軸周りの 2 回回転は慣れないと最初は難しい。この場合は, まず 2 回回転軸を $(-1 / 4,0,0)$ だけ平衡移動して原点に移動させる. このとき一般点の $x, y$ 座標は $(x-1 / 4, y)$ になる. この点に 2 回回転を施 せば $x, y$ が反転するので座標は $(-x+1 / 4,-y)$ になる.最後に，2 回回転軸を $(1 / 4,0)$ だけ平衡移動して元の 位置に戻す。このとき $x, y$ 座標は $(-x+1 / 2,-y)$ になる. この操作に $2_{1}$ らせん軸に必須な $z$ 軸方向への $1 / 2$ の並進を加えれば，一般点 $(x, y, z)$ は座標 $(-x+1 / 2,-y$, $z+1 / 2)$ に移ったことになる。（3）打よび（4）がそれ ぞれ $y$ 軸打よび $x$ 軸に平行な 2 らせん軸であることは すぐにわかる．（2）と同様に考えれば，これらの操作 により一般点 $(x, y, z)$ は座標 $(-x, y+1 / 2,-z)$ 打よび $(x+1 / 2,-y+1 / 2,-z+1 / 2)$ に移る。（5）は原点にあ る対称心（反転中心）を表す. 反転操作により一般点 $(x, y, z)$ は座標 $(-x,-y,-z)$ に移る.

以上のように，対称操作は 8 種類あるので，一般位置 の座標の数も 8 個ある. 表 2 に記載された $\mathrm{O} 2$ のサイト $8 d$ は一般位置の座標 $(x, y, z)$ を表している. 他の原子 は $y=1 / 4$ の鏡映面上あるいは原点にいるので， 8 個の 対称操作のいずれかの操作を行っても動かない（自分自身に移る）場合がある。これが特殊位置の意味である。 8 個の対称操作のうち, この空間群を表現するのに必須な対称操作は（1）の恒等操作以外には（2）（3）打 よび（5）の 3 個しかない。これを生成元 (generators)

という，(4) の $x$ 軸に平行な 2 軸や （6）～（8）の対称操作は，（2，（3）打よび（5）の存在によって自動的 に生成する操作である。多くの空間群には，このように 生成元の対称操作を組み合わせることによって，自動的 に生成する対称操作があることを知っておくと良い。

4. おわりに

連載第 1 回目では, $\mathrm{Mg}_{2} \mathrm{Si}$ と La-Ca-Mn-O 系ペロブス カイトを例に，対称操作や空間群の基礎について解説し た. 図や式をなるべく使わずに解説を試みたが，果たし て理解しやすかっただろうか. 次回はいよいよ XRD デー タを用いた結晶構造解析にチャレンジする.

5 . 参考文献

1）梶谷 剛: 結晶構造学 基礎編，アグネ技術センター, (2015).

2) http://www.shapesoftware.com/00_Website_ Homepage/

3) http://www.crystalmaker.com/

4) http://jp-minerals.org/vesta/jp/

5) International Tables for Crystallography, Vo. A, Sixth edition, ed. M. I. Aroyo, Kluwer Academic Publishers, The International Union of Crystallography, (2016).

6) Johnson C. K.: ORNL Report \#3794. Oak Ridge, Ten., Oak Ridge National Laboratory, (1965).

7) Kubouchi M., Hayashi K. and Miyazaki Y.: J. Alloys Compd., 617, 389 (2014)

8) Goldschmidt V. S.: Naturwissenschaften, 21, 447 (1926).

9) Shannon R. D.: Acta Cryst., A32, 751 (1976).

10) Tilley R. J. D.: Perovskites -Structure-Property Relationships, Wiley, Chichester (2016).

11) Brese N. E. and O’Keeffe M.: Acta Cryst., B47, 192 (1991).

著者連絡先

宮嵪 讓：E-mail miya@crystal.apph.tohoku.ac.jp TEL 022-795-7970

FAX 022-795-7970

URL http://www.apph.tohoku.ac.jp/ ymiyazaki-lab/
the Thermoelectrics Society of Japan