పూర్ణాంకాలు, భిన్న సంఖ్యలు తరువాత వచ్చే భావాలు మన అనుభవ పరిధికి కొంచెం అతీతంగా ఉంటాయి. ఒక నిష్పత్తి రూపంలో వ్రాయగలిగే సంఖ్యలు నిష్ప సంఖ్యలు లేదా అకరణీయ సంఖ్యలు. అకరణీయ సంఖ్యలు అన్నా, భిన్నాలు అన్నా ఒక్కటే! ఒక సంఖ్యను నిష్పత్తి రూపంలో వ్రాయలేని పక్షంలో ఆ సంఖ్యను కరణీయ సంఖ్య లేదా అనిష్ప సంఖ్య (irrational number) అంటాము. పూర్ణ సంఖ్యలు కానివీ, అకరణీయ (నిష్ప) సంఖ్యలు కానివీ అయిన సంఖ్యలు కూడా ఉన్నాయనే విషయం యవనులకి అవగతం అయేసరికి వారి ఆశ్చర్యానికి మితి లేదు.

ఒక చతురస్రంలో కర్ణం యొక్క పొడుగుని లెక్క కట్టాలంటే భుజం పొడుగు (అకరణీయ సంఖ్య) ను ఏ అకరణీయ సంఖ్యతో గుణించినా సరి అయిన సమాధానం రాదని పైథాగొరస్ కనుక్కున్నాడు. ఇదే విషయం మరొక విధంగా చెప్పుకోవచ్చు. ఒక చతురస్రంలో కర్ణం పొడుగుకి, భుజం పొడుగుకి మధ్య ఉండే నిష్పత్తిని పూర్ణాంకాలతో వ్యక్త పరచ లేము. మన చతురస్రం యొక్క భుజం పొడుగు ఒక అంగుళం అనుకుంటే, కర్ణం పొడుగు formula_11 (అంటే 2 యొక్క వర్గమూలం) అంగుళాలు. ఈ formula_11 అనే సంఖ్యని మనం సౌలభ్యం కొరకు 1414/1000 అని వ్రాస్తాం. కాని నిజానికి formula_11ని ఏ విధమైన భిన్నంగా వ్రాసినా అది ఉరమర లెక్కే!. కనుక కరణీయ (అనిస్ప) సంఖ్యకు formula_11 ఒక ఉదాహరణ. పైథాగొరస్ కి కరణీయ సంఖ్యకు మధ్య ఉన్న బాదరాయణ సంబంధాన్ని పురస్కరించుకుని formula_11కి పైథాగొరస్ సంఖ్య అని పేరు పెట్టేరు.

కరణీయ (అనిష్ప) సంఖ్యలు ఉన్నాయనే విషయం మొట్టమొదట పైథాగొరస్ మనోవీధి లోనే మెరిసి ఉండుంటుందని కొందరి సిద్ధాంతం. ఇది నిజమో కాదో ఇదమిత్థంగా ఎవ్వరికీ తెలియదు. ఎందుకంటే బాబిలోనియా లోని మట్టి పలకల మీద చూపిన ఒక లెక్కలో formula_11 యొక్క విలువ 14 దశాంశ స్థానాల వరకు తప్పు లేకుండా కట్టబడి ఉంది. కాని పైథాగొరస్ శిష్యులు తమ కూటమే ఈ ఘన విజయం మొట్టమొదటగా సాధించిందన్న అపోహతో 'శత వృషభ శిరచ్చేద యాగం' (అంటే వంద ఎద్దులని బలి ఇచ్చేరని) చేసేరని ఒక ఐతిహ్యం ఉంది.

ఒక్కొక్క బాహువు పొడుగు ఒక్కొక్క అంగుళం చొప్పున ఉన్న (సమబాహు) చతురస్రం యొక్క కర్ణం formula_11 కరణీయసంఖ్య కదా.కరణీయ సంఖ్యకు మరో ఉదాహరణ సువర్ణ సంఖ్య. రెండు సంఖ్యల నిష్పత్తి వాటి మొత్తానికి, వాటిలో ఒక సంఖ్యకు గల నిష్పత్తికి సమానమైతే (అంటే x, y ధన సంఖ్యలకు, formula_18 అయితే
ఆ నిష్పత్తి కూడా కరణీయ సంఖ్యే. దీనిని ముద్దుగా సువర్ణ నిష్పత్తి (golden ratio) లేదా సువర్ణ సంఖ్య అని పిలుస్తారు. దీని విలువ, ఎప్పుడూ 
formula_19. ఒక దీర్ఘ చతురస్రం పొడుగు వెడల్పులకి మధ్య ఉండే నిష్పత్తి ఈ సువర్ణ సంఖ్యకి దగ్గరగా ఉంటే ఆ దీర్ఘ చతురస్రం కంటికి ఎంతో ఇంపుగా కనిపిస్తుందని చిత్రకారులు అంటారు. అందంగా ఉన్న వాళ్ళ ముఖాలు కొంచెం పరిశీలించి చూడండి. అవి గుండ్రంగా చంద్రబింబాన్ని పోలి ఉంటే చలివిడి ముద్దలాగో, బోర్లించిన సిబ్బిలాగో ఉందంటారు. కోలగా, పొడుగ్గా ఉంటే గజం బద్దలా ఉందంటారు. ముఖం పొడవు, వెడల్పు మధ్య ఉండే నిష్పత్తి సువర్ణ సంఖ్యకి దగ్గరగా ఉన్నప్పుడు ఆ ముఖం అందంగా కనిపిస్తుందిట. ఇలా చెప్పుకుంటూ పోతే, కరణీయ సంఖ్యలకు ఉదాహరణలు కొల్లలుగా దొరుకుతాయి.

పూర్ణ సంఖ్యలు (Integers)
సంకీర్ణ లేదా జంట సంఖ్యలు (Complex Numbers)
సంఖ్యలకి లిఖిత రూపాలు
కరణీయ లేదా అనిష్ప సంఖ్యలు (Irrational Numbers)