ఒక అనిష్ప సంఖ్య యొక్క దశాంశ విస్తరణ (నిష్ప సంఖ్య లా కాకుండా) ఎన్నటికీ పునరావృతం కాదు. ఇదే ఫలితం ద్వియాంశ (binary), అష్టాంశ (octal), షష్ఠాదశాంశ (hexadecimal) విస్తరణలలో కూడా కనిపిస్తుంది.

దీన్ని చూపేందుకు, మనం పూర్ణాంకం "n"ని పూర్ణాంకం "m" చేత భాగించామనుకోండి (ఇక్కడ "m" శూన్యేతరం). ఇక్కడ పొడుగు భాగారం చేసినప్పుడు "m" శేషములు మాత్రమే సాధ్యం అవుతాయి. శేషం 0 అయినప్పుడు, దశాంశ విస్తరణ ఆగిపోతుంది. శేషం ఎన్నటికీ 0 కాకపోతే, అప్పుడు మన అభియుక్తి (algorithm) లో వచ్చిన శేషం మళ్లా రాకుండా "m" − 1 సార్లు జరుగుతుంది. తర్వాత, గతంలో చూసిన శేషాలే మళ్లా మళ్లా పునరావృతం అవుతాయి.

అలా కాకుండా, మనకి పునరావృత మవుతూన్న శేషం తారసపడితే, ఇది రెండు పూర్ణాంకాల యొక్క భిన్నం అని మనం ఋజువు చేయగలము. ఉదాహరణకు:

ఇక్కడ పునరావృతం అవుతూన్న అంశం 162. ఇప్పుడు మనం దశాంశ బిందువుని పునరావృతం అవుతూన్న అంశం (అనగా, 162) ముందుకి వచ్చేటట్లు జరపాలి. అందుకని మనం A ని 10 చేత గుణించేము.

ఇప్పుడు పై సమీకరణాన్ని 10 చేత గుణించాలి. ఇక్కడ "r" పునరావృతం అవుతూన్న అంశం (అనగా, 162) పొడుగు.

అందుకని A ని మనం 10తో హెచ్చించాము:

ఇప్పుడు 10A కి 10,000 A కి - రెండింటికి - కుడి వైపు దశాంశ బిందువు తరువాత 0.162 162 162... వస్తోంది కదా.

అందుచేత, మనం "A"ని రెండువైపుల నుండి తీసివేసినప్పుడు, 1000"A" యొక్క చివరి కొస "A" యొక్క చివరి కొసను రద్దు చేస్తుంది:

లేదా

ఇది ఒక నిష్ప సంఖ్య.

దశాంశ విస్తరణలు
భారతదేశంలో
మధ్యయుగం
ఉదాహరణలు