ఈ అంచె బోర్ ప్రతిపాదనకి ఆయువుపట్టు. వేడి గుళికల మాదిరి ప్రవహిస్తోందని ప్లాంక్ అంటున్నాడు. కాంతి గుళికల మాదిరి ఉంటుందని అయిన్^స్టయిన్ అప్పటికే 1905 లో రూఢి పరచేడు. అదే బాణిలోఎలాక్ట్రాను తిరగ గలిగే గతులు (electron orbits) కూడా గుళికల సూత్రానికి బద్ధమై ఉంటాయని అనుకుంటే ఏమవుతుంది? ఇదీ బోర్ ఆలోచన. అనగా కేంద్రం నుండి ఎలక్ట్రాను గతి ఉండే దూరాన్ని గుళికీకరించాలి; అనగా కొన్ని నిర్దేశించిన దూరాలు తప్ప అన్ని దూరాలూ నిషిద్ధం. ఈ విషయాన్నే ఈ దిగువ సమీకరణం చెబుతోంది. 

ఈ సమీకరణం లో ఎడమపక్క ఉన్న అంశం ఎలక్ట్రాను యొక్క కోణీయ ఉద్వేగం (angular momentum). formula_14 అనేది ప్లాంక్ స్థిరాంకం మీద ఆధార పడ్డ సంక్షిప్తం (h bar అని చదువుతారు). "n" = 1, 2, 3... వగైరా పూర్ణంకాలు మాత్రమే. కనుక ఎలక్ట్రాను యొక్క కోణీయ ఉద్వేగం కొన్ని నిర్దేశించిన విలువలకి కట్టుబడి ఉండాలి. ఇక్కడ జరిగిన గుళికీకరణని ఇంగ్లీషులో, Quantization of angular momentum అని అంటారు. The angular momentum formula_15 is an integer multiple of formula_16 అని కూడా అంటారు. 

చిన్న పిట్ట కథ: భౌతిక శాస్త్రంలోనూ, గుళిక వాదం (quantum theory) లోను కోణీయ ఉద్వేగం అనే భావానికి కీలకమైన పాత్ర ఉంది కనుక ఒక్క నిమిషం ఆగి దీని గురించి తెలుసుకుందాం. ఒక శాల్తీ గంటకి 30 కిలోమీటర్లు చొప్పున తిన్నగా ఉన్న బాట మీద నడుస్తోందని అనుకుందాం. అప్పుడు దాని వేగం (speed) గంటకి 30 కిలోమీటర్లు అని చెబుతాం. ఇదే శాల్తీ గంటకి 30 కిలోమీటర్లు చొప్పున తిన్నగా ఉన్న బాట మీద "ఉత్తర దిశ" వైపు నడుస్తోందని అనుకుందాం. అప్పుడు దాని దిశవేగం (velocity) ఉత్తర దిశగా గంటకి 30 కిలోమీటర్లు అని చెబుతాం. అనగా దిశవేగం చెప్పినప్పుడు ఏ దిశలో కదులుతున్నాదో, ఎంత వేగంగా కదులుతున్నాదో, రెండూ చెప్పాలి. ఇలా కదులుతున్న కారుని మనం చేత్తో ఆపాలని అనుకున్నాం అనుకుందాం. అంతవరకు స్థిరంగా ఉండి, అప్పుడే కదలబోతున్న కారుని ఏ కోడి రామ్మూర్తి వంటి పహిల్వానో చేత్తో ఆపెయ్యగలడు. కానీ అదే పహిల్వాను 30 కిలోమీటర్లు వేగంతో కదులుతున్న కారుని ఆపలేడు. అనగా ఎక్కువ ఊపులో ఉన్న కారుని ఆపడం కష్టము. అనగా అప్పుడే కదలబోతున్న కారు యొక్క ఊపు తక్కువ కనుక కోడి రామ్మూర్తి ఆపగలిగేడు, పరిగెడుతున్న కారు ఊపు ఎక్కువ కనుక ఆపలేకపోయాడు. ఈ ఊపు అనే భావాన్ని ఇంగ్లీషులో momentum అంటారు. దీనిని "p" అని ఇంగ్లీషు అక్షరంతో సూచించడం ప్రపంచ వ్యాప్తంగా ఉన్న సంప్రదాయం. దీని విలువ కదిలే వస్తువు యొక్క భారం (mass) ని, దిశవేగం (velocity) చేత గుణించగా వస్తుంది. అనగా formula_17. 

ఇప్పుడు ఒక తాడుకి రాయిని కట్టి గిరగిరా తిప్పుతున్నామనుకుందాం. కారుకి బదులు రాయిని వాడేం. తిన్నగా ప్రయాణం చెయ్యడానికి బదులు రాయి గుండ్రంగా ప్రయాణం చేస్తున్నాది. ఇలా గుండ్రంగా తిరుగుతున్న రాయికి కూడా ఊపు ఉంటుంది. ఈ రకం ఊపుని ఇంగ్లీషులో angular momentum (కోణీయ ఉద్వేగం) అంటారు. ఈ ప్రపంచంలో గుండ్రంగా గిర్రున తిరిగే శాల్తీలు చాల ఉన్నాయి: బొంగరాలు, గ్రహాలు, క్షిరసాగరాలు, వగైరా. వీటన్నిటికీ కూడ కోణీయ ఉద్వేగం ఉంటుంది. ఈ కోణీయ ఉద్వేగం ఎప్పుడూ నాశనం కాదు. ఒక చోటు నుండి మరొక చోటుకి బదిలీ కావచ్చు కానీ నాశనం కాదు. దీనినే Law of Conservation of Angular Momentum అంటారు. ఇక్కడితో ఈ పిట్టకథ అయిపోయింది కానీ ఈ సూత్రం అవసరం మనకి పదేపదే వస్తుంది. 

ఇప్పుడు పైన చూపిన సమాచారం సందర్భోచితంగా వాడి formula_18 విలువ కట్టవచ్చు. 

రెండు పక్కలా వర్గు చేసి పరిష్కరిస్తే, ఏయే formula_18 విలువలు సమ్మతమో తెలుస్తుంది. 

మనం అధ్యయనం చేసే అణువు ఉదజని అయితే formula_22 అవుతుంది (ఉదజనిలో ఒకే ఒక ప్రోటాను ఉంది కనుక). ఇప్పుడు పై సమీకరణంలో నిర్దేశించిన formula_23 విలువలని వాడి చూద్దాం. ఉదాహరణకి, formula_24 అయితే ఉన్న ఒకే ఒక ఎలక్ట్రాను formula_25 దూరంలో తిరుగుతూ ఉంటుంది.

ఈ సమీకరణంలో formula_27 విలువలు తెలుసు కనుక formula_25 విలువ కట్టగలిగేము. దీనినే బోర్ వ్యాసార్థం (Bohr radius) అంటారు. 

ఇప్పుడు ఈ వ్యాసం మొదట్లో అడిగిన ప్రశ్నకి సమాధానం చెప్పొచ్చు. అనగా, ఉదజని అణువు ఎంత “పెద్దదో” ఈ వ్యాసార్థం విలువని బట్టి ఊహించవచ్చు. ఈ సంఖ్యని గుర్తు పెట్టుకోవడం ఎలా? ఇది ఉరమరగా formula_29meter లేదా 0.5 ఏంగ్^ష్ట్రం. ఈ ఏంగ్^ష్ట్రం లు SI units కావు కానీ, “అర” (½) గుర్తు ఉంచుకోవడం తేలిక. “అణువు ఎంత పెద్దగా ఉంటుంది?” అనగానే “దాని వ్యాసం ఒక ఏంగ్^ష్ట్రం ఉంటుంది” అనడం తేలిక కదా! ఏంగ్^ష్ట్రం అంటే మీటరులో పది బిలియనో వంతు. 

అణువు “ఇంత” చిన్నగా ఉన్నంత మాత్రాన కంటికి ఎందుకు కనిపించకూడదు? సూక్ష్మ దర్శనిలో చూస్తే కనబడవచ్చు కదా? ఏ వస్తువు అయినా కంటికి కనబడాలంటే దాని మీద కాంతి పడి, అది ప్రతిబింబించి మన కంటిని చేరాలి. కాంతి కెరటాల పొడుగు 4000 (ఎరుపు రంగు) నుండి 7000 (ఊదా రంగు) ఏంగ్^ష్ట్రంలు ఉంటాయి. అణువు వ్యాసం ఒక ఏంగ్^ష్ట్రం ఉంటుందని ఇప్పుడే అంచనా వేసేం. కనుక అంత పెద్ద అంగలు వేసుకుంటూ పోతున్న కాంతి తరంగానికి నలుసులా ఉన్న అణువు ఆనదు. ఎలక్ట్రానుని “చూడా”లంటే బాగా పొట్టిగా ఉన్న ఏ x-కిరణాలనో వాడాలి. కానీ, అవి కంటికి కనబడవు!

వర్ణమాలలో బొద్దు గీతలు
రిడ్బర్గ్ స్థిరాంకం
మూడవ అంచె
జీమన్ ప్రభావం