ఒక సరళరేఖ మీద సమాన దూరాలలో చుక్కలు పెట్టి, వాటి పక్క 0, 1, 2, 3, ..., అనుకుంటూ నిర్విరామంగా వచ్చే సంఖ్యలని సూచించినప్పుడు దానిని "సంఖ్యా రేఖ (number line) అంటారు. ఈ సంఖ్యా రేఖ మీద ప్రధాన సంఖ్యలని, మాటవరసకి, ఎర్ర రంగులో రాసేం అనుకుందాం. అప్పుడు గీత మొదట్లో చాల ఎర్ర రంగు సంఖ్యలు కనిపిస్తాయి: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 47 అనే పదహారు సంఖ్యలు 50 కంటే చిన్నవయిన ప్రధాన సంఖ్యలు. సంఖ్యా రేఖ మీద వంద వరకు వెళితే, అంటే 1 నుండి 100 మధ్యలో, ఇరవై అయిదు ప్రధాన సంఖ్యలు కనిపిస్తాయి. లెక్కించి చూసుకొండి. వెయ్యి వరకు వెళితే 168 ప్రధాన సంఖ్యలు కనిపిస్తాయి. అంటే, సంఖ్యా రేఖ మీద దూరం వెళుతూన్న కొద్దీ ప్రధాన సంఖ్యలు కనిపించడం పలచబడుతుంది, లేదా ప్రధాన సంఖ్యల సాంద్రత తగ్గుతుంది. ఈ పలచబడడం గురించి ఈ దిగువ ఇచ్చిన చిన్న ఉపమానం చూడండి.

ఉదాహరణకి ప్రధాన సంఖ్యలు ప్రధాన సంఖ్యలతోటే వివాహాలు చేసుకుంటాయని అనుకుందాం. అప్పుడు సంఖ్యా రేఖ మొదట్లో ఉన్న ప్రధాన సంఖ్యలకి సంబంధాలు దొరకడం తేలిక - పక్క పక్కనే సంబంధాలు దొరుకుతాయి. సంఖ్యా రేఖ మీద దూరం వెళుతూన్న కొద్దీ ప్రధాన సంఖ్యలు పలచబడతాయి కనుక అక్కడ ఉన్న వారు సంబంధాలకోసం ఇరుగునా, పొరుగునా చూస్తే దొరకడం కష్టం; కావలసిన లక్షణాలు ఉన్న సంబంధం కోసం “దేశాంతరాలు” దాటి పోవాలి. ఉదాహరణకి "గూగోల్ ప్లెక్స్" (అంటే, 10 గూగోల్ సార్లు వేసి గుణించగా వచ్చిన సంఖ్య) దగ్గర ఉన్న ప్రధాన సంఖ్యకి సంబంధం కావాలంటే ఇటూ, అటూ "గూగోల్" దూరం వెతక వలసి రావచ్చు. (గూగోల్ అంటే 1 తరువాత 100 సున్నలు, "గూగోల్ ప్లెక్స్" అంటే 1 తరువాత గూగోల్ సున్నలు.)

ఇక్కడ గమనించవలసిన విషయం ఏమిటంటే సంఖ్యా రేఖ మీద అనంతమైన దూరం వెళ్లినా ప్రధాన సంఖ్యలు కనిపిస్తూనే ఉంటాయన్నది ఒక అంశం. అంతే కాదు అనంతంగా ఉన్న పూర్ణ సంఖ్యలన్నిటిని కేవలం ప్రధాన సంఖ్యలు మాత్రమే ఉపయోగించి పుట్టించవచ్చు. (The whole numbers can be produced using nothing but primes.) ఇటువంటి లక్షణాలు ఉండబట్టే ఈ క్షేత్రాన్ని దున్నుతూన్న కొద్దీ వజ్రాలు పుట్టుకొస్తున్నాయి.

ఈ వ్యాసానికి ముఖ్య కారణం చర్చించే ముందు మరొక్క సంగతి తెలుసుకుందాం. సంఖ్యా రేఖ మీద దూరం వెళుతూన్న కొద్దీ ప్రధాన సంఖ్యల తరచుదనం (frequency) లేదా సాంద్రత (density) తగ్గిపోతుంది అని కదా మొదట్లో చెప్పుకున్నాం; అంటే, వాటి మధ్య ఖాళీ లేదా మొర్రి లేదా విరామం (gap) పెరుగుతూ కనిపిస్తుంది. ఈ పెరుగుదలలో ఏదైనా ఒక బాణీ ఉందా అనేది ఆసక్తికరమైన పరిశోధనా అంశమే! ప్రస్తుతానికి ఆ విషయాన్ని కూడా పక్కకి పెట్టి మరొక సంబంధిత అంశాన్ని పరిశీలిద్దాం. సిద్ధాంతపరంగా లెక్క కట్టినప్పుడు 360,000 చుట్టుపట్ల ఈ విరామం సగటున 12.8 “అంకెల దూరం” ఉంటుంది. (గణిత పరిభాషలో చెప్పాలంటే, ఒక సంఖ్య "N" అయితే ఆ చుట్టుపట్ల విరామం విలువ సగటున “నేచురల్ లాగరిథం అఫ్ N,” ("ln N"), అయి ఉంటుంది.) అనగా, ఎక్కడ చూసినా ఈ సగటు విలువ కంటే ఎక్కువలు, తక్కువలు కూడా కనిపిస్తూనే ఉంటాయి. ఉదాహరణకి సంఖ్యా రేఖ మీద 360,000 చుట్టుపట్ల వచ్చే ఈ ప్రధాన సంఖ్యల జంటలని ఈ దిగువ జాబితాలో చూడండి.


కనుక ప్రధాన సంఖ్యల గురించి ఏది చెప్పినా ఆషామాషీగా చెబితే కుదరదు; కొంచెం జాగ్రత్తగా చెప్పాలి.

సంఖ్యా రేఖ మీద ఎంత దూరం వెళ్లినా ప్రధాన సంఖ్యలు కనిపిస్తూనే ఉంటాయని యూక్లిడ్ ఏనాడో అన్నాడు కదా. కాని ఆయన కవల ప్రధాన సంఖ్యల గురించి ఏమీ చెప్పలేదు. గణితశాస్త్రంలో ఒక శిష్టాభిప్రాయం (conjecture) – అంటే, ఇంకా రుజువు కాని ఫలితం – ప్రకారం ఇటువంటి కవల ప్రధాన సంఖ్యలు కూడా సంఖ్యా రేఖ మీద ఎంత దూరం వెళ్లినా అలా కనిపిస్తూనే ఉంటాయిట. ఆ మాటకొస్తే జ్ఞాతి ప్రధాన సంఖ్యలు, షష్ఠ్యంతర ప్రధాన సంఖ్యలు..., వగైరాలు కూడా సంఖ్యా రేఖ మీద ఎంత దూరం వెళ్లినా అలా కనిపిస్తూనే ఉంటాయిట.

ప్రత్యేకమైన ప్రధాన సంఖ్యలు
నియమిత విరామ సమస్య (Bounded Gap Problem)
ప్రధాన (అభాజ్య) సంఖ్యలు
ఆధారాలు