X,Y అనేవి విచ్ఛిన్న యాదృచ్ఛిక చలరాశులు. వీటి గణన సాధ్యమయ్యే విలువలు (formula_6,formula_7) తీసుకుంటే i=1,2...n , j=1,2...m. యొక్క సంభావ్యతా విభాజనం ఏకచలరాశిని కింది విధంగా ఉద్దేశించవచ్చు.

formula_17)=P(X=formula_6)

=P(X=formula_6∩Y=formula_20)+P(X=formula_6∩Y=formula_22)

+...+P(X=formula_6∩Y=formula_7)

+...+P(X=formula_6∩Y=formula_26)

=formula_27+formula_28+...+formula_3+...+formula_30=formula_31formula_3

=formula_31formula_34,formula_7)=formula_36. i=1,2 ...n

దీనిని ఉపాంత సంభావ్యతా ద్రవ్య ప్రమేయం (లేదా) X యొక్క వుచ్చిన్న సాంద్రతా ప్రమేయం అని కూడా అంటారు.

అంతేకాకుండా formula_37formula_36.=formula_39+formula_40+...+formula_41=formula_42<formula_37 formula_44=1 .

ఇదేవిధంగా కింది విధంగా నిరుపించవచ్చు.

formula_45)=P(Y=formula_7)=formula_47 formula_44=formula_47formula_34,formula_7)=formula_52. , j=1,2 ...m

ఇది Y యొక్క ఉపాంత సంభావ్యతా ద్రవ్య ప్రమేయం.

షరతు సంభావ్యతా ప్రమేయం :

నిర్వచనం: X,Y అనే ద్విపరిమాణ విచ్ఛిన్న యాదృచ్ఛిక చలరాశులు అయితే ఇచ్చిన Y=y కు X యొక్క షరతు సంభావ్యతా ద్రవ్య ప్రమేయాన్ని formula_53 తో సూచిస్తాం.

దీనిని

formula_53=formula_55 గా నిర్వచ్చిస్తాం. అది

P(Y=y)≠0 అయినప్పుడు మాత్రమే.

షరతు సంభావ్యతా ప్రమేయానికి కూడా సంభవ్యతా ప్రమేయాల నియమాలన్నీ వర్తిస్తాయి.

విచ్ఛిన్న యదృచ్ఛిక చలరాశులు X,Y లు స్వతంత్రాలు కావలంతే ఆవశ్యక పర్యాప్త నియమం.

P(X=formula_6,Y=formula_7)=P(X=formula_6).P(Y=formula_7),(formula_6,Y=formula_7) యొక్క అన్ని విలువలకు

i=1,2...n,

j=1,2...m (X,Y కు)

ఉపాంత సంభావ్యతా ప్రమేయం
ద్విచర యాదృచ్ఛిక సదిశల విభాజన ప్రమేయం
నిర్వచనం
అవిచ్ఛిన్న యాదృచ్ఛిక చలరాశులకు సంయుక్త, ఉపాంత సాంద్రతా ప్రమేయాలు