ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ V ਅਤੇ ਇੱਕ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਅਕਾਰ g ਦਿੱਤੇ ਹੋਣੇ ਤੇ, ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਦੀ ਇੱਕ ਸਪਸ਼ਟ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਇਸਤਰਾਂ ਅੱਗੇ ਲਿਖੇ ਵਾਂਗ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। V ਲਈ ਇੱਕ ਔਰਥੋਨੌਰਮਲ ਬੇਸਿਸ ਯਾਨਿ ਚੁਣੋ ਜਿੱਥੇ μ ≠ ν ਲਈ ਅਤੇ ਹੋਵੇ । ਮੰਨ ਲਓ Let ਹੈ। ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਇਸਤਰਾਂ ਫਿਕਸ ਕਰੋ ਕਿ ਹੋਵੇ (ਯਾਨਿ ਕਿਗਾਮਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਪ੍ਰੰਪਤਾ ਫਿਕਸ ਕਰੋ) । ਫੇਰ ਨਿਸ਼ਾਨਾ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਫੈਲਦਾ ਹੋਇਆ ਗੁਣਨਫਲ ਪ੍ਰਤਿ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਵਿੱਚ ਮੋਨੋਮੀਅਲ ਭੇਜ ਕੇ ਨਿਰਾਲੇ ਤੌਰ ਤੇ ਇੱਕ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਅਲਜਬਰਾ ਤੱਕ ਫੈਲਦਾ ਹੈ। ਸਪੇਸ ਜਿਸ ਉੱਤੇ ਗਾਮਾ ਮੈਟ੍ਰਿਸੀਜ਼ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਦੇ ਹਨ ਹੁਣ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਪੇਸ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਫੇਰ ਵੀ, ਅਜਿਹੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਨੂੰ ਸਪਸ਼ਟ ਤੌਰ ਤੇ ਰਚਣ ਦੀ ਜਰੂਰਤ ਪੈਂਦੀ ਹੈ। ਤੀਜੇ ਅਯਾਮ ਵਿੱਚ, ਗਾਮਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਨੂੰ ਪੌਲੀ ਸਿਗਮਾ ਮੈਟ੍ਰੀਸੀਜ਼ ਹੋਣਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨਾ ਗੈਰਸਾਪੇਖਿਕ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ ਵਰਤੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਜਾਣੇ ਪਛਾਣੇ ਦੋ ਕੰਪਿਨੈਂਟਾਂ ਵਾਲੇ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਨੂੰ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸੇਤਰਾਂ, 4 × 4 ਡੀਰਾਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ 3+1 ਅਯਾਮੀ ਸਾਪੇਖਿਕ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ ਵਰਤੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ 4 ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਵਾਲੇ ਡੀਰਾਕ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਨੂੰ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਆਮ ਤੌਰ ਤੇ, ਜਰੂਰਤ ਮੁਤਾਬਿਕ ਕਿਸਮ ਦੇ ਗਾਮਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਵੇਇਲ-ਬ੍ਰਾਉਇਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਨੂੰ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਇਸ ਬਣਤਰ ਵਿੱਚ, ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਾ Cℓ(V, g), the ਲਾਈ ਅਲਜਬਰਾ so(V, g), ਅਤੇ ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪ Spin(V, g) ਦੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ, ਔਰਥੋਨੌਰਮਲ ਬੇਸਿਸ ਅਤੇ ਗਾਮਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੀ ਚੋਣ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ। ਇਹ ਪ੍ਰੰਪਰਾਵਾਂ ਉੱਤੇ ਗਲਤ ਵਹਿਮੀਆਂ ਪੈਦਾ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਟਰੇਸਾਂ ਵਰਗੇ ਸਥਿਰਾਂਕ ਚੋਣਾਂ ਤੋਂ ਸੁਤੰਤਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ । ਖਾਸ ਕਰਕੇ, ਸਾਰੀਆਂ ਭੌਤਿਕੀ ਤੌਰ ਤੇ ਪਰਖੀਆਂ ਜਾ ਸਕਣ ਵਾਲੀਆਂ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਜਰੂਰ ਹੀ ਅਜਿਹੀਆਂ ਚੋਣਾਂ ਤੋਂ ਸੁਤੰਤਰ ਹੋਣੀਆਂ ਚਾਹੀਦੀਆਂ ਹਨ । ਇਸ ਬਣਤਰ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਸਪਿੱਨੌਰ ਨੂੰ 2 ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਸਪਿੱਨੌਰ ਸੂਚਕਾਂਕਾਂ (ਆਮ ਤੌਰ ਤੇ α, β, γ) ਨਾਲ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਦੇ ਸਾਹਿਤ ਵਿੱਚ, ਸੰਖੇਪ ਸਪੇਸ ਸੂਚਕਾਂਕ ਅਕਸਰ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਨੂੰ ਲਿਖਣ ਲਈ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ , ਚਾਹੇ ਇੱਕ ਸੰਖੇਪ ਸਪਿੱਨੌਰ ਬਣਤਰ ਹੀ ਵਰਤੀ ਜਾਵੇ ।

ਸੰਖੇਪ ਜਾਣਕਾਰੀ
ਜਾਣ ਪਛਾਣ
ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਸਪਿੱਨੌਰ
ਉਦਾਹਰਨਾਂ