ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਲਈ ਇੱਕ ਸਟੈਂਡਰਡ ਬੇਸਿਸ ਚਾਰ ਪਰਸਪਰ ਔਰਥੋਗਨਲ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਸੈੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ;

ਇਹਨਾਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਨੂੰ ਸੰਖੇਪ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੰਝ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ;

ਸਟੈੰਡਰਡ ਬੇਸਿਸ ਦੇ ਸਾਪੇਖਿਕ, ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ v ਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਨੂੰ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਲਿਖਣ ਲਈ ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਧਾਰਨਾ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਨੂੰ v ਦਾ ਟਾਈਮਲਾਈਕ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂਕਿ ਬਾਕੀ ਤਿੰਨ ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਨੂੰ ਸਪੈਸ਼ੀਅਲ ਕੰਪੋਨੈਂਟ (ਸਥਾਨਿਕ ਹਿੱਸੇ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ 4-ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਸਪੈਸ਼ੀਅਲ ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ 3-ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਪਛਾਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। 

ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ v ਅਤੇ w ਦਰਮਿਆਨ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਇਨਰ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਨੂੰ ਇਸਤਰਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ;

ਅਤੇ

ਇੱਥੇ ਮੀਟ੍ਰੀਕ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ ਇੱਕ ਸੂਚਕਾਂਕ ਨੂੰ ਥੱਲੇ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਤਕਨੀਕੀ ਤੌਰ ਤੇ, ਇੱਕ ਨੌਨ-ਡੀਜਨਰੇਟ ਬਾਇਲੀਨੀਅਰ ਅਕਾਰ, ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਅਤੇ ਉਸਦੀ ਦੋਹਰੀ (ਡਿਊਲ) ਸਪੇਸ ਦਰਮਿਆਨ ਨਕਸ਼ਾ ਮੁੱਹਈਆ ਕਰਵਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ, ਮੈਪ (ਨਕਸ਼ਾ) M ਦੀਆਂ ਟੈਨਜੈਂਟ (ਸਪਰਸ਼) ਸਪੇਸਾਂ ਅਤੇ ਕੋਟੈਨਜੈਂਟ ਸਪੇਸਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। M ਅੰਦਰ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ, ਟੈਨਜੈਂਟ ਅਤੇ ਕੋਟੈਨਜੈਂਟ ਸਪੇਸਾਂ ਡਿਊਲ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ । ਜਿਵੇਂ ਇੱਕ ਤਰਕ ਫਿਕਸ ਕਰਕੇ ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਭਰੋਸੇਯੋਗ ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ, ਰੀਸਜ਼ ਰੀਪ੍ਰੈਜ਼ੈਂਟੇਸ਼ਨ ਥਿਊਰਮ ਰਾਹੀਂ, ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਲੀਨੀਅਰ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਦੇ ਐਕਸ਼ਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਇਵੇਂ ਹੀ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਦੇ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ ਲਈ ਵੀ ਇਹੀ ਕੁੱਝ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। 

ਇਸਤਰਾਂ ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਟੈਨਜੈਂਟ (ਸਪਰਸ਼) ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਸਹਿਸਪਰਸ਼ (ਕੋਟੈਨਜੈਂਟ, ਇੱਕ ਲੀਨੀਅਰ ਫੰਕਸ਼ਨਲ) ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਹੋਣਗੇ । M ਦੇ ਅਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨਾਲ ਸਪਰਸ਼ ਸਪੇਸਾਂ ਦੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਾਰਣ ਇਹ ਜਿਆਦਾਤਰ ਇਗਨੋਰ ਕਰ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਥੱਲੇ ਪੈਰਾਂ ਵਿੱਚ ਲਿਖੇ ਸੂਚਕਾਂਕਾਂ (ਲੋਅਰ ਇੰਡੀਸੀਜ਼) ਵਾਲੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਕੋਵੇਰੀਅੰਟ ਵੈਕਟਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਬਾਦ ਵਾਲੀ ਇਸ ਵਿਆਖਿਆ ਵਿੱਚ, ਕੋਵੇਰੀਅੰਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ (ਲੱਗਭੱਗ ਹਮੇਸ਼ਾਂ ਹੀ ਉਲਝਾਓ ਨਾਲ) ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਦੀ ਡਿਊਲ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ (ਲੀਨੀਅਰ ਫੰਕਸ਼ਨਲਾਂ) ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਪਛਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉੱਪਰ ਲਿਖੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਸੂਚਕਾਂਕਾਂ (ਅੱਪਰ ਇੰਡੀਸੀਜ਼) ਵਾਲੇ ਵੈਕਟਰ ਕੌਂਟਰਵੇਰੀਅੰਟ ਵੈਕਟਰ ਕਹੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ । ਇਸੇ ਅੰਦਾਜ਼ ਵਿੱਚ, ਟੈਨਜੈਂਟ ਤੋਂ ਕੋਟੈਨਜੈਂਟ ਸਪੇਸਾਂ ਵੱਲ ਮੈਪ ਦਾ ਉਲਟ, ਜੋ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਵਿੱਚ η ਦੇ ਇਨਵਰਸ (1/ η) ਰਾਹੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਕਿਸੇ ਸੂਚਕਾਂਕ (ਇੰਡੈਕਸ) ਨੂੰ ਉੱਪਰ ਚੁੱਕਣ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਇਨਵਰਸ (ਉਲਟ) ਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ (ਹਿੱਸਿਆਂ) ਨੂੰ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਅਤੇ ਉਸਦੀ ਡਿਊਲ ਸਪੇਸ ਦਰਮਿਆਨ ਇਹਨਾਂ ਨਕਸ਼ਿਆਂ ਨੂੰ ਸੰਗੀਤਿਕ ਸਮਾਨਤਾ ਰਾਹੀਂ (ਫਲੈਟ-ਈਟਾ) and (ਸ਼ਾਰਪ-ਈਟਾ) ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। 

ਕਦੇ ਕਦੇ ਇੰਡੈਕਸ ਜਿਮਨਾਸਟਿਕਸ (ਸੂਚਕਾਂਕ ਕਸ਼ਮਕਸ਼) ਕਹੀ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਵਕਤ ਰਾਹੀਂ ਪ੍ਰਮਾਣਿਤ ਮਜ਼ਬੂਤੀ ਅਤੇ ਫਾਰਮੂਲਾ ਸੂਤਰੀਕਰਨ ਅਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾ ਦਿੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਆਲੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣਾ ਅਤੇ ਕੌੰਟਰਾਵੇਰੀਅੰਟ ਤੋਂ ਕੋਵੇਰੀਅੰਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਵਿੱਚ ਅਤੇ ਕੋਵੇਰੀਅੰਟ ਤੋਂ ਕੌੰਟਰਾਵੇਰੀਅੰਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲਨਾ ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਸਾਰਥਕ ਹੈ। ਗਲਤ ਪ੍ਰਗਟਾਓ ਚਿੰਨ ਅਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ ਫਟਾਫਟ ਜ਼ਾਹਰ ਹੋਣ ਲਈ ਮਜਬੂਰ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ । 

ਚਾਰ-ਅਯਾਮੀ ਯੁਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸਟਾਈਮ
ਸੂਡੋ-ਯੁਕਿਲਡਨ ਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਨਿਯਮ
ਸਟੈਂਡਰਡ ਬੇਸਿਸ
ਅਯਾਮਾਂ ਦੀ ਵੱਖਰੀ ਗਿਣਤੀ